基于問題鏈的跨學科項目式學習設計

鄭蓉蓉 蔣逸卿 唐恒鈞

摘? 要：跨學科項目式學習引導學生在解決真實且具有挑戰性的問題中學習不同學科領域的知識，產生整合性的成果與理解. 以“飛揚的羽毛球”為例呈現了跨學科項目從素材靈感發展到主題、目標的確定再到流程設計直至具體實施過程的完整思考線路，并以問題鏈為實施過程的抓手，推動學生持續探索，促進整合性理解的形成. 同時，闡述了跨學科項目式學習需要注意項目內容主線安排、各科教師協調溝通和教學延續性等方面的問題.

關鍵詞：跨學科；項目式學習；案例設計；問題鏈

中圖分類號：G633.6???? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0006-08

引用格式：鄭蓉蓉，蔣逸卿，唐恒鈞. 基于問題鏈的跨學科項目式學習設計：以“飛揚的羽毛球”

為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（1）：6-13.

基金項目：全國教育科學規劃課題教育部重點課題——指向深度理解的“問題鏈教學”研究（DHA200318）.

作者簡介：鄭蓉蓉（1999— ），女，碩士研究生，主要從事數學課程與教學研究；

蔣逸卿（2000— ），男，碩士研究生，主要從事數學課程與教學研究；

唐恒鈞（1979— ），男，教授，博士生導師，主要從事數學課程與教學研究.

一、問題提出

現代社會需要復合型和創新型的高素質人才，要求學生具備自主思考及分析和解決現實世界中各種真實問題的能力. 但是我國分科課程的教學模式固化了學科藩籬，在一定程度上阻礙了復合型、創新型人才的培養.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指明要“強調數學與生活以及其他學科之間的聯系”，《義務教育課程方案（2022年版）》明確提出不少于10%的跨學科主題要求，兩者均體現出教育發展進程中學科跨界與融合的必然趨勢. 這種趨勢在數學學科中體現得尤為深刻. 數學學科具有天然的學科交叉性質，不僅內部各分支呈現交叉互融的態勢，向外也能全方位地滲透到各個學科與各個領域之中. 立足如此學科本質的數學核心素養更具統整性和綜合性，呼喚更開放的數學課程觀，以凸顯跨學科的必要性與重要意義.

數學跨學科教學與項目式學習均是對傳統教學方式的變革，并共同指向對學生數學核心素養的培育. 但是兩者也存在不同的側重點，跨學科教學更側重學科界限、學科邏輯與學科視角的跨越，而項目式學習則更側重引導學生對知識的主動建構從而解決問題. 數學跨學科項目式學習基于課程統整視域重新審視項目式學習，基于學科又超越學科，是實現課程綜合化、真實化和實踐化的有效嘗試.

目前，作為新興的教學模式，跨學科項目式學習仍處于探索時期，實踐過程中存在新舊觀念對立、新舊思維轉換、新舊實踐沖突等多層次矛盾，導致課程設計與實施、學科整合與交流方面出現問題. 基于此，本文以羽毛球為素材，開發數學跨學科項目式學習的設計流程與設計實例，為跨學科項目式學習的設計過程提供借鑒.

二、跨學科項目設計路徑

現有文獻普遍認為項目主題與項目目標是跨學科項目式學習設計的起始點，并基于學科內容關聯、學生的興趣愛好等角度確定項目主題，結合不同學科課程標準的要求確定項目目標. 這樣的起點設計固然有一定道理，但給人割裂之感，究其緣由是沒有呈現出一個項目從素材靈感發展到確定主題和目標的關聯線索. 一個跨學科項目往往起源于相關情境下的素材靈感，經過一定的整合形成初步的項目主題. 那么，如何判斷該主題是否具備跨學科項目應用的價值呢？多角度的關聯分析是判斷、檢驗和確定項目主題所必需的，包括項目主題與本學科（數學）學習的關聯，以及與其他學科課程的關聯. 其中，學科核心概念是關聯分析的落腳點，只有把握了學科核心概念，才能貫通學科知識的整合與聯結點，構建跨學科知識網絡. 主題界定了項目式學習的領域，而目標則確定了項目式學習的方向. 因此，主題是目標達成的載體，跨學科項目式學習設計應該先通過多角度關聯檢驗后確定項目主題，再以主題為基礎確定項目目標，進而在分析目標的過程中調整和完善項目主題. 具體路徑如圖1所示.

1. 跨學科項目主題確定

本案例起始于對羽毛球運動素材數理分析的想法，經過對可行性的判斷及羽毛球運動相關素材的篩選，初步形成“飛揚的羽毛球”的主題. 為判斷其應用價值，以關鍵概念為抓手，從數學學習關聯和學科課程關聯兩個方面進行關聯分析.

立足數學學習關聯，以“飛揚的羽毛球”為主題的項目式學習包含“函數”這一數學學科核心概念，并基于“函數與數學模型”“導數的幾何意義”“直線與方程”三個指向思維的核心知識，以及其中蘊含的函數與方程、數學建模等思想方法，發展學生的數學抽象、數學建模等素養. 由此可見，該主題具備與數學學科緊密聯系的條件.

立足學科課程關聯，以“飛揚的羽毛球”為主題的項目式學習與高中數學中的“函數與數學模型”“導數的概念及其意義”、初中數學中的“一次函數及其相關性質”“二次函數及其相關性質”、高中物理中的“機械運動與物理模型（尤其是‘質點一節）”、高中體育中的“球類運動”內容的關聯度都很高. 由此可見，該主題具備與數學、物理、體育學科緊密關聯的條件.

綜合上述分析，確定該主題以“模型”為跨學科知識的整合與聯結點. 首先，與高中數學函數與數學模型、導數的幾何意義、直線與方程等核心知識聯系，統整其他可以探究的相關知識，指向數學學科核心概念函數和坐標系；其次，與高中物理質點模型內容關聯，指向物理學科核心概念機械運動和坐標系；最后，整合高中體育球類運動核心知識羽毛球規則與裁判方法、羽毛球局部戰術原理，指向體育學科核心概念運動技能. 由此可見，該主題具備一定的跨學科項目應用的價值. 該主題下具體學習內容如表1所示.

注：由于體育與健康課程標準中球類運動系列只選取足球為案例，因此表中呈現足球的相關要求，羽毛球運動與此類似.

2. 跨學科項目目標確定

確定主題后，按照設計路徑以主題內容為基礎進行目標分析. 與一般學科項目式學習中教師把知識和技能作為主要目標不同，跨學科項目式學習項目目標的確定是以處在跨學科知識脈絡上的核心知識和關鍵能力為目標. 項目目標詳細內容如表2所示.

三、跨學科項目流程設計

1. 設計思路

項目式學習的設計強調“以終為始”，即根據最終呈現的項目成果逆向反推項目活動. 因此，只需要找準項目的初始態和最終態，再通過一系列活動消除兩種狀態之間的差異，最終的項目成果便得以呈現. 以“飛揚的羽毛球”項目為例，項目中具體活動的拆解思路如圖2所示.

2. 項目流程

依據圖2所示的項目拆解思路，可知“飛揚的羽毛球”項目中有4條邏輯線貫穿其中：項目實施流程線，活動線，知識（能力）線，素養線. 4條邏輯線體現了項目實施過程中對應的學生活動、蘊含的知識與能力及培養的綜合素養，具體流程詳見圖3.

四、跨學科項目實施過程

1. 引入

情境創設：生命在于運動，運動使生命更具活力！大家平時喜歡做什么運動呢？羽毛球運動因其不受場地限制、容易上手頗受大眾喜愛.

教師活動：播放中國國家羽毛球隊的比賽片段.

引出主題：運動員的擊球技術之所以精妙，是因為在日復一日的訓練中形成了肌肉記憶，對擊球位置、擊球角度的把控已經達到了爐火純青的地步. 那么，如何做到對擊球位置、擊球角度的精準把控呢？今天就讓我們一起來研究.

【設計意圖】羽毛球主題的提出提高了學生體育訓練的興趣及運動健康意識，是對“五育并舉”總體要求的落實. 同時，播放中國國家羽毛球隊的比賽片段能夠增強學生的民族自信心，激發學生的民族自豪感，進而引出項目主題，為后續一系列問題的提出埋下伏筆.

2. 明確研究對象

任務1：選取擊球技術.

問題1：羽毛球比賽中有哪些常見的擊球動作？

教師活動：播放體育教師的教學視頻，帶領學生回顧羽毛球的擊球動作，并選擇最常見的后場扣殺球與后場網前吊球做出相應的動作技巧展示.

任務2：確定擊球線路.

教師活動：放映課前物理教師帶領學生利用高速攝影機拍攝的擊球線路圖.

問題2：后場扣殺球與后場網前吊球的擊球線路如何？

【設計意圖】通過引導學生回憶常見擊球動作，幫助學生細化研究對象. 在利用高速攝影機拍攝的擊球線路圖片抽象擊球線路的過程中，將運動的羽毛球看作一個質點，得到其運動線路如圖4和圖5所示. 運用了物理中“質點”的有關內容，培養了學生的科學思維與運動認知能力.

3. 確定研究方案

任務3：選擇合適的數學模型.

問題3：如何定量刻畫羽毛球的運行線路（運動軌跡）？

教師活動：激活學生的數學抽象和數學建模經驗，如回顧從具體實例中抽象共同本質特征得到向量概念的過程，回顧進行數學建?；顒訒r積累的利用函數構建模型并解決問題的過程與方法，思考定量刻畫羽毛球運動軌跡的方法.

子問題1：如何選擇合適的數學模型刻畫羽毛球的運動變化規律？

學生活動：根據之前獲得的羽毛球運動過程中不同時刻的照片，各小組依據收集到的數據，建立適當坐標系繪制散點圖，并匯報所選擇的函數模型.

對于后場扣殺球：

小組1：根據繪制出的散點圖，發現后場扣殺球的運行線路近似為一條直線，總體呈現下降趨勢，選擇斜率小于0的一次函數，設函數模型為[fx=kx+b k<0].

小組2：結合圖象及物理中拋體運動模型的知識，認為后場扣殺球的運行線路近似斜向下的斜拋運動，故選擇開口向下的二次函數，設函數模型為[φx=ax2+][bx+c a<0].

對于后場網前吊球：

小組1：根據繪制出的散點圖發現，后場網前吊球的運行線路近似拋物線，因此選擇開口向下的二次函數，設函數模型為[gx=ax2+bx+c a<0].

小組2：結合圖象及物理中拋體運動模型的知識，認為后場網前吊球的運行線路近似平拋運動，故選擇開口向下的二次函數，設函數模型為[φx=ax2+bx+]

[c a<0].

子問題2：結合數學和物理學科知識分析，對于后場扣殺球的運行線路，為何選擇一次函數模型與二次函數模型皆合理，并且擬合的效果十分接近？

【設計意圖】首先，激發學生利用數學模型解決實際問題的意識，發展學生的數學建模素養；其次，在選擇函數模型的過程中，學生的思維得到了發散，能從數學或物理的角度思考并解釋選擇的理由. 子問題2引導學生探究兩種模型擬合效果相近的原因，學生需要結合實際情況考慮后場扣殺球的運動特點，并回歸對函數模型選擇緣由的再分析中. 此時，學生在教師的引導下不再囿于用一門學科知識探究問題，而是創造性地整合數學和物理等學科的知識和思想方法進行綜合分析，形成了對極限、以直代曲思想的整合性理解.

任務4：線路量化分析.

問題4：如何借助所選擇的函數模型定量刻畫所有可行的擊球線路？

子問題1：高質量的后場扣殺球與后場網前吊球需要滿足哪些條件？

教師活動：先指導學生以小組為單位自由討論，列出高質量后場扣殺球和后場網前吊球需要滿足的條件并進行分組匯報，再帶領學生回顧羽毛球場地的參數、界內界外判定的依據、后場扣殺球和后場網前吊球的動作技術要領，引導學生完善條件，結果如表3所示.

表3? 后場扣殺球和后場網前吊球需要滿足的條件

[擊球技術????? 需要滿足的條件??? 后場扣殺球??? 經過球網時，球須高出球網上沿；球的落點需在界內，即不能越過底線??? 后場網前吊球??? 經過球網時，球盡量緊貼球網上沿飛過；球的落點需在前發球線和球網之間??? ]

子問題2：如何將上述條件轉化為數學語言？

教師活動：引導學生借助所選擇的函數模型表示這些相等關系和不等關系.

學生活動：通過分析后場扣殺球和后場網前吊球需要滿足的條件，結合函數模型，列出相應的等式（不等式）建立方程組和不等式組.

以小組1所得模型為例，列出關系式. 沿扣球方向剖面如圖6所示，設擊球點為[A]，球網下端點和上端點分別記為[C]和[D]，對方場地底線記為點[B]，人與球網的距離為[l l∈0，6.7]，擊球點高度為[h].

根據球場參數，可知點[A]的坐標為[0，h]，點[D]的坐標為[l，1.55]，點[B]的坐標為[l+6.7，0]. 將擊球條件轉化為數學語言，如表4所示.

沿吊球方向剖面如圖7所示，前發球線記為點[E]，落點記為[F]，設人與球網的距離為[l1][ l1∈5.94，6.7]，球網與落點之間距離為[l2 l2∈0，2]. 根據球場參數可知點[E][l1+2，0]，羽毛球落點[F][l1+l2，0]，所需滿足條件的數學語言如表5所示.

子問題3：如何求解擊球角度？

師生活動：教師布置任務，學生自主查找文獻資料明確羽毛球擊球角度的定義. 課上學生展開小組合作交流，探尋求解擊球角度的數學方法，最后由組長總結匯報.

對于后場扣殺球：擊球角度和球運行軌跡所在直線與[x]軸的夾角相等，根據斜率和傾斜角的關系可知，擊球角度與該一次函數圖象的傾斜角互補. 因此，只需要求出斜率的范圍，再借助反三角函數便可以得到擊球角度的恰當范圍. 根據已知條件及前面所得結果列出方程組[kl+b>1.55，kl+6.7+b≤ 0，f0=h.] 由[k]的存在性，解得斜率[k]的范圍為[1.55-hl，-h6.7+l]，[l]與[h]之間存在如下關系：[l ≤ 6.7h-1.551.55]，[h ≥ 1.556.7+l6.7]. 因此，理論上高質量的后場扣殺球擊球角度[θ1]的范圍為[θ1∈arctan1.55-hl，arctan-h6.7+l，l∈0，6.7.]

對于后場網前吊球：仍然通過計算斜率得出擊球角度，只不過此時需要求出擊球點[A]處的導數從而得到點[A]處切線的斜率[kA]. 根據已知條件列出方程組[al21+bl1+c=1.55，al1+l22+bl1+l2+c=0，g0=h，0 ≤ l2 ≤ 2.] 求解方程組可以得到[a=hl2-1.55l1+l2l1l2l1+l2，b=1.55l1+l22-hl22l1+l2l1l2l1+l2.] 斜率[kA=gxA=b]，因此高質量的后場網前吊球擊球角度為[θ2=arctankA=arctan1.55l1+l22-hl22l1+l2l1l2l1+l2.]

【設計意圖】讓學生充分運用跨學科知識和能力解決擊球線路量化分析中不斷生成的新問題，使得經歷數學建模全過程的目標得以實現，并體會數學知識在現實生活中的廣泛應用性. 同時，在將描述性語言轉化為符號化語言的過程中感受數學的簡潔之美、邏輯之美和應用之美.

任務5：設計方案.

問題5：得到擊球位置與擊球角度的關系式后，如何確定個人的制勝方案？

學生活動：回顧擊球角度的計算過程與結果，根據組內成員自身身體參數設計制勝方案，如表6和表7所示.

【設計意圖】學生借助量化結果，合乎邏輯地設計方案以解決問題，體會數學的價值，提高實踐能力，提升創新思維和科學素養.

4. 呈現研究成果

任務6：測試落網率.

問題6：如何評判設計的方案是否有效？

師生活動：教師先帶領學生進行前測，記錄落網率，再引導學生利用依據個人數據設計出的方案擊球，測試落網率并與先前數據進行比較. 對落網頻繁、動作技術生疏的學生進行針對性指導，共同尋找設計方案與實際操作過程中的問題，并在課上與課下不斷完善方案.

【設計意圖】在制定方案后，引導學生對方案的效果加以評估，培養學生在解決問題后形成進行評價、完善的意識，幫助學生形成嚴謹、求實的科學態度. 值得注意的是，學生根據自主設計的方案進行首次落網率測試應該已經經過了一定時間的訓練，且之后仍需要監測落網率以對方案進行持續評估和動態調整，體現了跨學科項目式學習教學上的延續性.

五、跨學科項目注意要點

第一，關注項目內容主線的安排. 跨學科項目中涉及多學科內容，極易出現本末倒置的情況. 數學跨學科應該是數學與其他學科雙向互動甚至多向轉換的研究內容. 從項目整體來看，項目的邏輯起點可以在其他學科，但是核心部分的落腳點一定是在數學學科. 項目執行過程中重要的是尋找其他學科與數學學科之間的聯系，進而運用數學的思想與方法分析、解決其他學科中的問題. 例如，在“飛揚的羽毛球”項目中，以羽毛球的動作技能引入，涉及物理學科的內容，但是項目最核心的部分是對羽毛球運行線路的量化分析，學生經歷數學建模的全過程，運用數學建模的思想方法解決羽毛球擊球技術的優化問題，奠定了數學在該項目中的首要學科地位.

第二，跨學科項目式學習并不要求教師是全能的. 在跨學科項目式學習中，重要的是各學科教師之間協調溝通，必要時集體備課. 跨學科意識是教師設計跨學科項目式學習的前提，并不要求教師門門精通. 遇到一些專業性強的內容時，主學科教師可以向其他學科教師尋求幫助，既可以促進學科間的溝通和交流，也提升了項目的科學性. 主學科教師能夠以專業性知識為學生提供精準指導. 例如，在“飛揚的羽毛球”項目中，雖然以數學學科為主學科，但是其中蘊含豐富的跨學科內容，可能觸及數學教師的知識盲區，因此數學教師可以與體育教師、物理教師進行交流，探討有關內容，三科教師通力合作，為項目式學習帶來更豐富的內容.

第三，跨學科項目式學習在教學上可以具有延續性. 與一般項目式學習相比，跨學科項目式學習中蘊含的跨學科內容更明顯、更豐富，各學科教師之間、課堂之間的信息交互更暢通，內容更完整. 因而，項目成果展示完成并不代表項目的終結，教學可以延續到課后或者其他學科的課堂教學中. 跨學科項目式學習整合多門學科內容，甚至需要多個學科教師提供支持，這與傳統的課堂不同，各學科教師可以延續項目內容，提取其中與本學科關聯的關鍵概念繼續深化教學. 例如，在“飛揚的羽毛球”項目中，在完成運動員最佳擊球位置與擊球角度方案的設計之后，體育教師可以轉變為教學的主導者，在體育課上帶領學生按照方案進行實際操作，測算成功概率以檢驗方案的優化效果，延續和優化項目成果，幫助學生進一步深化與理解項目式教學成果.

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