高中數學自制教具的創新實踐及策略分析

孫家和 朱金鳳

摘? 要：以人教A版《普通高中教科書·數學》的教學實踐為基礎，類比圓規和圓第二規教具的發明過程，從圓錐曲線軌跡的實驗原理抽象出數學模型，啟發學生制作拋物線規、圓錐曲線規. 總結自制教具的原理和一般方法，為學生設計其他數學教具提供參考，從而培養學生的創新意識和實踐能力，發展學生的數學抽象和數學建模等素養.

關鍵詞：教具；圓規；拋物線規；圓錐曲線規

中圖分類號：G633.65???? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0023-04

引用格式：孫家和，朱金鳳. 高中數學自制教具的創新實踐及策略分析［J］. 中國數學教育（高中版），

2024（1）：23-26.

基金項目：2022年度安徽省社會科學創新發展研究課題——中華優秀傳統文化融入高中數學教學的實踐研究（2022CX191）；

安徽省教育科學研究項目——基于新課標的數學建模能力評價的實踐研究（JK18008）.

作者簡介：孫家和（1978— ），男，高級教師，主要從事中學數學教育教學研究；

朱金鳳（1991— ），女，一級教師，主要從事高中數學教育教學研究.

圓規是一種數學作圖工具，最早出現在我國的夏朝，《史記·夏本紀》中就記載了大禹治水“左準繩，右規矩”. 在公元前15世紀的甲骨文中，已有“矩”“規”二字，當時稱為“規”，即圓規. 人類借助圓的定義發明了圓規. 圓錐曲線還包括橢圓、拋物線和雙曲線，有圓規，能否有拋物線規、橢圓規、雙曲線規，甚至是統一的圓錐曲線規呢？

一、追根溯源——圓第二規

圓的定義有很多種，其中最常見的是“平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡”，不妨稱為“第一定義”.“第一定義”可以理解為模型“平面內，一條線段繞著它的一個端點旋轉一周，它的另一個端點所形成的軌跡叫做圓”. 由圓的定義建立模型，發明了圓規，使用圓規時可以先確定圓規針尖的位置，即先確定圓心，再調節圓規兩腳之間的距離，即確定半徑，另一只腳繞著針尖旋轉一周，即可作出圓. 可以看出，圓規作圖的原理中有兩個核心要素，即圓心與半徑.

根據對圓的性質的探究，給出了圓的一種衍生定義——“平面內到兩定點張角為90°的點的軌跡叫做圓”. 類比圓規的發明過程，是否可以根據圓的衍生定義建立模型，發明其他畫圓的教具呢？

通過分析，建立如圖1所示的模型. 圓的衍生定義中的兩個定點可以看作圖1中的圓的直徑的端點A和端點B，當點C與點A，B不重合時，只要保證∠ACB的大小始終為直角，點C所形成的軌跡即為圓. 要將此模型轉化為實物，選定兩個定點并不難實現，需要重點解決的問題是始終保證∠ACB為直角. 如圖2，筆者查閱文獻，結合生活經驗，在直桿AD與BE之間固定直角架C，直角架C可以保證在滑動直桿AD與BE時，∠ACB始終為直角，且直角架C上安裝有畫筆，可以實現畫圓功能. 因此，可以借助圓的衍生定義建立模型設計畫圓裝置，筆者將其稱為圓第二規.

圓的第一定義來源于人們對生活模型的歸納總結，即數學來源于生活. 人們又以圓的第一定義原理為模型，創造發明了圓規教具，即數學是對現實生活的抽象. 進一步對圓的性質進行研究，衍生出圓的其他定義，再借助圓的衍生定義建立模型，設計圓第二規，實現再發明、再創造，提高了學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，培養了數學建模和數學抽象素養. 具體探究過程如圖3所示.

二、類比創造——拋物線規

圓是圓錐曲線中比較簡單的一類曲線，類比圓規與圓第二規教具的建模與創造過程，是否可以嘗試引導學生研究其他曲線規呢？

如圖4，人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊（以下統稱“教材”）中利用信息技術探究拋物線的軌跡，得到拋物線的定義是：平面內與一定點和一定直線（定直線不經過定點）的距離相等的點的軌跡. 教師借助GeoGebra軟件進行動畫演示（如圖5），讓學生直觀感悟軌跡的生成過程. 同樣可以發現，拋物線軌跡的生成離不開兩個非常重要的因素：一個定點與一條定直線. 類比畫圓，引導學生根據拋物線的定義設計一個可以畫拋物線的作圖裝置. 裝置設計的關鍵是確定一個定點與一條定直線，技術難點是在點M的運動過程中，始終保證[MF=MH]（如圖4）.

師生共同討論后，給出兩種設計方案，如圖6和圖7所示. 兩種方案的原理相同，區別是使用的材料不同. 設計的方案是否具有可行性呢？通過CAD軟件優化得到最終平面設計圖方案，如圖8（a）所示；再通過機械軟件SolidWorks2012進行實驗模擬，如圖8（b）所示. 發現該裝置可行性較高，操作性較好. 這是一種多功能拋物線作圖裝置，筆者將其稱為“拋物線規”.

對于圖7，畫橢圓的流程是：把②從①拆下；在繪圖線上繪制平面直角坐標系；調整③中木條的長度；將②⑤固定在橢圓焦點的位置；將筆插入④中，開始繪圖. 對于圖8，通過按鈕10和按鈕11調節小型電動伸縮桿7和電動伸縮桿8的長度，確定其長度，然后將筆放入空心鉸接鏈9，畫出相應的曲線.

上述教具的開發，先從軌跡生成的原理出發建立模型，確定教具結構方案，根據結構特征選定材料，再借助機械軟件SolidWorks2012進行信息技術實驗模擬，最后完成教具的設計與發明，具體探究過程如圖9所示.

三、歸納拓展——圓錐曲線規

借助一個定點與一條定線段或定直線可以畫圓和拋物線，能否作出其他圓錐曲線呢？與拋物線的定義類似，教材中也呈現了橢圓和雙曲線的其他定義.

教材第113頁例6：動點[Mx，y]與定點[F4，0]的距離和M到定直線[l：x=254]的距離的比是常數[45]，求動點M的軌跡.

如圖10，易求得動點M的軌跡是橢圓[x225+y29=1].

教材第125頁例5：動點[Mx，y]與定點[F4，0]的距離和它到定直線[l：x=94]的距離的比是常數[43]，求動點M的軌跡.

如圖11，易求得動點M的軌跡是雙曲線[x29-y27=1].

以上兩道例題，題干中均出現關鍵元素定點和定直線，本質上給出了橢圓與雙曲線的另外一種定義，不妨稱為“第二定義”. 利用GeoGebra軟件從形的角度進行直觀操作（如圖12和圖13），可以驗證利用一個定點和一條定直線確實可以作出橢圓和雙曲線的圖象.

同樣是借助一個定點和一條定直線，為何作出的曲線有的是拋物線，有的是橢圓，有的是雙曲線呢？再將三個實驗進行深入的對比分析.

通過GeoGebra軟件動畫演示與觀察，不難發現圖中[MF]和[MH]比值存在差異，借助GeoGebra軟件度量技術，驗證和總結出如下規律：當[MFMH=1]時，點M形成的軌跡是拋物線；當[01]時，點M形成的軌跡是雙曲線.

在上述實驗結果的基礎上進一步思考：類比拋物線和圓的作圖工具，能否發明一種可以畫橢圓和雙曲線的作圖工具呢？不難想到，可以利用[MFMH]的比值來控制，發明一種集拋物線、橢圓、雙曲線功能于一體的作圖教具.

借助GeoGebra軟件與信息技術實驗模擬，經過反復模擬與動手操作驗證，可以對拋物線作圖裝置（圖8）進行改裝，從而得到一種多功能圓錐曲線作圖裝置，如圖14所示.

<＼＼10.1.5.160＼g＼中數高中2024年飛翔＼中數高中2024年第1期＼圖片13.jpg>[圖14? SolidWorks2012三維立體修改圖]

改裝方法為：將桿a和桿b改為電動伸縮桿，通過改變電動伸縮桿a，b的長度控制[ab]的值，從而可以作出拋物線、橢圓、雙曲線和圓的圖象.

筆者將這種多功能圓錐曲線作圖裝置命名為“圓錐曲線規”.

類比圓規的發明，從拋物線的定義出發，建立模型，發明拋物線規，再通過教材中雙曲線和橢圓的“第二定義”，總結其共性，進行再設計、再創造，完善模型，發明了圓錐曲線規，具體流程如圖15所示.

在圓錐曲線內容的教學中，筆者利用圓錐曲線的不同定義，引導學生抓住其本質，抽象出不同的數學模型，給出不同的教具設計方案，進行教具創新實驗，培養了學生的創新思維和實踐能力，促進了學生對知識的深入理解，提高了學生的數學建模和數學抽象等素養. 同時，模型的抽象與實物化，讓學生掌握了教具設計和制作的一般方法，為以后設計其他數學教具提供了參考，培養了學生的科學精神.

參考文獻：

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