圓錐曲線綜合問題中幾何性質的應用分析

基金項目：北京市海淀區“十四五”規劃重點課題——中學生數學運算能力評價方式與提升策略研究（HDGH20210212）.

作者簡介：崔鵬（1984— ），男，高級教師，主要從事高中數學教學和學科德育研究．

摘? 要：通過實例分析圓錐曲線中幾何圖形性質的應用，引導學生通過轉化深入挖掘幾何位置關系，進而獲得坐標運算結果，總結歸納常見幾何圖形的幾何性質及其坐標化的方法，提供了系統科學的復習方式和解題策略．

關鍵詞：圓錐曲線；幾何性質；解題策略

中圖分類號：G633.65????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0061-04

引用格式：崔鵬. 圓錐曲線綜合問題中幾何性質的應用分析：以一道橢圓綜合問題為例［J］. 中國數

學教育（高中版），2024（1）：61-64.

一、問題背景

在近些年的高考圓錐曲線試題中，對幾何圖形的性質考查較多，突出考查幾何直觀素養，因此需要整體把握圓錐曲線的復習. 在圓錐曲線的復習中，整體把握圓錐曲線的橫向類比和縱向發展非常重要. 所謂橫向類比，指的是從直線和圓延伸到橢圓、雙曲線和拋物線的過程. 直線和圓的性質不僅可以獨立設置題目單獨考查，還可以與圓錐曲線綜合考查. 所謂縱向發展，指的是對圓錐曲線性質的深入研究，即從簡單的標準方程、幾何性質的研究到較為復雜的弦長、面積、定值定點等問題的研究.

本文選取一道經典橢圓綜合問題作為案例. 該題涉及的幾何圖形及其研究思路具有較強的代表性，通過變式研究和解題邏輯分析，為學生對圓錐曲線內容的復習提供了思路.

二、問題討論

1. 問題描述

例? 已知A，B，C是橢圓W：[x24+y2=1]上的三個點，O是坐標原點.

（1）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；

（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

解：（1）橢圓W：[x24+y2=1]的右頂點B的坐標為（2，0）.

因為四邊形OABC為菱形，

所以AC與OB相互垂直平分.

設[A1，m]，代入橢圓方程，得[14]+ m2 = 1，

即m =[±32].

所以菱形OABC的面積是[12][OB]·[AC]=[12]× 2 × 2[m]=[3].

（2）假設四邊形OABC為菱形. 點B不是橢圓W的頂點，且直線AC不過原點，設直線AC的方程為[y=kx+m][k≠0，m≠0].

聯立方程，得[x24+y2=1，y=kx+m.]

整理，得[1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0].

設[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

則[x1+x2=-8km1+4k2，] [y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+4k2．]

所以線段AC的中點為[M-4km1+4k2， m1+4k2].

因為M為直線AC和直線OB的交點，

所以直線OB的斜率為[-14k].

所以直線AC與直線OB不垂直.

所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾.

解題邏輯分析：正確提取菱形的性質是求解該題的關鍵. 我們可以抓住“菱形對角線互相垂直且平分”這一條件進行分析，解題時選擇對角線AC所在的直線與橢圓方程聯立.

【評析】該題對于圖形幾何性質的考查具有很強的代表性. 在考后的追蹤過程中發現，很多學生解決問題時直接利用對邊相等，即令[OA=BC]，[AB=][OC]，進而得到[x1=x2-xB]和[x2=xB-x1]，最終因關系式“不對稱”而無法運用根與系數的關系. 這樣的思考過程真實地反映了學生對題目信息的提取和轉化能力還比較欠缺. 也可以說，學生并沒有掌握菱形的基本特征. 實際上，[OA=BC]，[AB=OC]僅僅表明平行四邊形的對邊相等，而刻畫菱形至少還需要一對鄰邊相等. 學生在考試中看到與坐標相關的等式就直接代入坐標進行計算，而忽略了對圖形的幾何特征的分析，導致距離有效的坐標運算相去甚遠. 在教學中，教師在把握教材的同時，更要注意培養學生對問題的理解和轉化能力. 例如，此題中的菱形，其重要性質是對角線互相垂直，這雖為必要條件，卻是獲得“對稱”形式坐標運算的最直接方式. 類似地，如果題目中涉及等腰三角形，使用三線合一或許優于直接計算等腰三角形兩腰的長度；如果題目中涉及矩形，使用鄰邊垂直或許優于使用對角線長相等；等等. 總之，在解決問題前對幾何圖形的性質分析很關鍵，如何獲得最優的坐標運算形式，需要教師在復習中引領學生重點落實.

2. 變式討論

針對此題，提供如下三個變式，以進一步探討.

變式1：已知A，B，C是橢圓W：[x24+y2=1]上的三個點，O是坐標原點. 當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為平行四邊形，并說明理由.

解：假設四邊形OABC為平行四邊形. 點B不是橢圓W的頂點，且直線AC不經過原點，設直線AC的方程為[y=kx+m][k≠ 0，m≠ 0].

聯立方程，得[x24+y2=1，y=kx+m.]

整理，得[1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0].

因為[Δ=8km2-41+4k24m2-4>0]，

所以[4k2-m2+1>0].

設[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

則[x1+x2=-8km1+4k2，y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+4k2].

所以點B的坐標為[-8km1+4k2， 2m1+4k2.]

代入橢圓的方程，整理，得[4k2+1=4m2]，滿足[4k2-m2+1>0].

所以四邊形OABC可以是平行四邊形.

解題邏輯分析：平行四邊形的對角線互相平分，對邊平行且相等，轉化為坐標運算時，可以考慮用對角線互相平分的關系，方便運算.

變式2：已知A，B，C是橢圓W：[x24+y2=1]上的三個點，O是坐標原點. 當點B不是橢圓W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為矩形，并說明理由.

解：假設四邊形OABC為矩形，則其必定為平行四邊形.

因為點B不是橢圓W的頂點，且直線AC不經過原點，

所以設直線AC的方程為[y=kx+m][k≠0，m≠0].

聯立方程，得[x24+y2=1，y=kx+m.]

整理，得[1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0].

因為[Δ=8km2-41+4k24m2-4>0]，

所以[4k2-m2+1>0].

設[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

則[x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2].

由于四邊形OABC為平行四邊形，所以由變式1可得[4k2+1=4m2].

由題意，知OA⊥OC.

所以[x1x2+y1y2=0].

代入、整理，得[x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+]

[kmx1+x2+m2=0]，

即[4k2+4=5m2].

解得[m2=3，k2=114.]

所以四邊形OABC可以是矩形.

解題邏輯分析：對于矩形，學生熟知的性質是對角線相等且互相平分. 就該題來說，兩條對角線的長度計算量都較大，因此推薦選擇從位置關系入手考慮（如鄰邊相互垂直），從而簡化運算.

變式3：已知橢圓[W： x42+y216=1]. 直線[l]過[1，0]，與橢圓[W]交于[A]，[B]兩點，[M]為橢圓[W]的左頂點. 是否存在直線[l]使得[∠AMB=60°]？如果存在，求出直線[l]的方程；如果不存在，說明理由.

解：當直線[l]的斜率存在時，設直線[l]的方程為[y=kx-1]，設[Ax1，y1]，[Bx2，y2].

聯立方程，得[y=kx-1，x24+y216=1.]

消去[y]，得[4+k2x2-2k2x+k2-16=0].

所以[x1+x2=2k24+k2]，[x1x2=k2-164+k2].

所以[MA ? MB=x1+2x2+2+y1y2]

[=x1+2x2+2+k2x1-1x2-1]

[=k2+1x1x2+2-k2x1+x2+4+k2]

[=-3k24+k2<0].

綜上所述，[MA ? MB<0]恒成立，[∠AMB]為鈍角.

所以不存在直線[l]使得[∠AMB=60°].

解題邏輯分析：對60°角的解讀是求解該題的關鍵，應該先通過數量積運算判斷[MA ? MB]的符號，進而轉化為根與系數的關系. 如果結果小于等于0，可以直接否定結論；否則，再考慮計算相關的邊長.

【評析】三個變式是對例題的延伸，也是對幾何圖形特征的進一步對比. 涉及幾何圖形的性質問題，我們首要選擇能夠盡快實現坐標化的方法，并且需要使運算冪次盡量低、運算結構盡量對稱，從而用根與系數的關系等已知條件進行代換. 故對于變式1和變式2中出現的平行四邊形和矩形，我們都有意識地避開了弦長的計算，轉化為中點關系和鄰邊的關系進行求解. 變式3中的60°角的解讀其實是一個難點. 很多學生看到60°角直接考慮用余弦定理或者向量的數量積，代入線段長度的運算中. 實際上，60°角是一個銳角，先判斷數量積的符號即可以確定[∠AMB]與90°的大小關系，也便于將所求問題轉化為坐標運算. 如果將60°角改為90°角，其難度就降低了.

三、解題策略分析

圓錐曲線的綜合題，一般設置兩道小題. 第（1）小題主要求圓錐曲線的方程，引導學生從曲線定義及幾何性質的角度準確求解，并注意檢驗結果的正確性，一般難度不大. 第（2）小題題型變化靈活，以橢圓為背景，輔以圓、特殊多邊形和直線等進行綜合考查，研究對象主要有面積、弦長、方程、參數取值、角等，研究的問題主要有存在性問題、最值問題、定值定點、幾何性質（如三點共線、位置關系）等，與函數和不等式等知識交會，對學生對數學思想方法的掌握情況及推理能力和運算能力要求較高，是學生備考中的難點.

復習圓錐曲線內容時應該關注以下幾個維度.

（1）直觀理解.

我們提倡學生善于畫圖，但不能局限于圖. 圖可以清晰、直觀地反映題目中所給的條件，但是也可能限制了學生的空間想象而造成對圖形和變量關系的片面理解. 只有理解了題目中的圖形和變量關系，才能做出合理想象，這樣對圖形的認識才會更加直觀、全面.

（2）關注轉化.

在解題時，先看看能否將問題和條件（尤其是幾何條件）適當處理后再坐標化，這樣往往可以簡化運算. 例如，題目中涉及角相等或三角形面積問題，可以轉化為線段的比例關系；題目中涉及三點共線問題，可以轉化向量平行；等等.

常見的幾何量的坐標化方法有如下幾種.

① 線段的長：弦長公式（兩點間的距離公式）.

② 三角形的面積：[S=12aha]，[S=12absinC]，轉化為四邊形的面積.

③ 夾角：向量數量積，余弦定理，正弦定理及面積公式.

④ 面積之比：面積比轉化為線段比，進而轉化為坐標差之比.

⑤ 常見的幾何圖形：等腰三角形（三線合一），平行四邊形（對角線互相平分），菱形（對角線垂直），矩形（臨邊垂直），正方形，圓，等等.

（3）深挖條件.

注意深入挖掘題目中隱含的幾何特征進行坐標代換，選擇恰當的解題途徑，盡量避開煩瑣的推導. 求解解析幾何問題，在注重通性通法的同時要貼合題目的條件，從題目中條件和結論的結構特點出發尋找解決方法. 例如，“橢圓上一點P與焦點F1，F2的連線互相垂直”可以解讀為[PF12+PF22=F1F22]或者[PF1 ?][PF2=0]. 顯然，[PF1 ? PF2=0]的運算要簡潔一些.

（4）加強計算.

圓錐曲線綜合問題對運算能力有一定的要求. 學生不僅要熟悉基本的運算方法和技巧，還要在分析問題時注意解法的簡化和規范. 復習時，首先，學生要掌握解決典型問題的通性通法（如直線和曲線方程聯立后的二次方程的處理方法、弦長公式的基本形式等）；其次，學生要打破傳統解題方法的思維定式，因為并非所有問題都需要聯立方程或依賴根與系數的關系求解，坐標法解題的要領是將題目中的條件轉化為方便處理的代數形式.

例如，本文例題的第（2）小題在判斷四邊形OABC是否為菱形時，可以采用以下方法.

設[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

則[OA=x12+y12=x12+1-x124=3x124+1].

同理，可得[OC=3x224+1].

若四邊形OABC為菱形，

則必有[OA=OC]，即有[x1=x2].

這與點B不是橢圓W的頂點矛盾，問題得證.

本文通過一道例題及其變式，提供了針對圓錐曲線綜合問題中幾何圖形性質的分析方法. 這些方法主要是思維層面的建議，旨在培養和發展學生的數學核心素養. 有些圓錐曲線綜合問題運算量較大，可以有效考查學生的數學運算素養，鍛煉學生迎難而上的意志品質. 在教學中，教師要引導學生深入思考運算思路和運算方法，幫助學生選擇最優解法，從而簡化運算過程，提升學生的運算能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］崔鵬. 一道新型最值問題的解法分析與變式應用［J］. 高中數學教與學（上半月），2022（5）：30-31，49.

［3］章建躍. 樹立課程意識? 落實核心素養［J］.? 數學通報，2016，55（5）：1-4，14.