創新試題·強化思維·凸顯素養

王世朋 錢良辰 胡浩

摘? 要：通過對2023年全國新高考Ⅰ卷的維度分析與命題特色透視，闡述新高考數學試題之印象，并對新課程標準、新教材、新高考背景下的復習教學提出建議.

關鍵詞：新高考；數學試題；維度分析；特色透視；備考建議

中圖分類號：G633.6????? 文獻標識碼：A ????文章編號：1673-8284（2024）01-0050-07

引用格式：王世朋，錢良辰，胡浩. 創新試題·強化思維·凸顯素養：2023年全國新高考Ⅰ卷試題

分析與備考建議［J］. 中國數學教育（高中版），2024（1）：50-56.

基金項目：合肥市“十三五”規劃課題——高中生數學活動經驗內容與獲得途徑的實踐研究（HJ19042）.

作者簡介：王世朋（1982— ），男，中學高級教師，主要從事數學課堂教學與信息技術輔助教學研究；

錢良辰（1991— ），男，中學一級教師，主要從事試題和信息技術輔助教學研究；

胡浩（1968— ），男，正高級教師，安徽省特級教師，主要從事中學數學課程、教材與教學研究.

研究和分析高考試題，把握考試動向，能為高三復習備考工作指明方向. 文章重點圍繞2023年高考數學全國新高考Ⅰ卷試題，對其在試卷維度、命題特色方面呈現的特點進行分析，發揮高考的育人功能和導向推動作用，并結合后期的復習，給出一些備考建議.

一、試卷維度分析

為了更細致和全面地進行分析，對2023年全國新高考Ⅰ卷的考查項目（重點是必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值、考查要求和考查載體）、考點分布及主干知識所占分值進行統計，如表1和表2所示.

基于上面的統計，不難看出：2023年全國新高考Ⅰ卷強化對主干知識的重點考查，要求學生深刻理解基本概念、性質和原理；突出對學生數學思維的測試，考查學生基于真實情境分析問題和解決問題的能力，凸顯對數學核心素養的測評.

二、命題特色透視

1. 注重基礎，考查主干知識

高考數學全國卷試題堅持以“一核、四層、四翼”為命題出發點，聚焦學科核心內容，堅持對主干知識和常規方法的考查，凸顯對數學關鍵能力和數學核心素養的考查. 2023年全國新高考Ⅰ卷中的試題很好地貫徹了這一理念，突出主干知識，強化對基礎知識的考查. 例如，第1題考查集合的交集運算，第2題考查復數的運算，第3題考查平面向量的坐標運算，第4題考查復合函數的單調性，第9題考查數據的數字特征，第13題考查計數問題，這些試題都是對學生基礎知識掌握情況的測試. 再從主干知識來看，三角函數與解三角形涉及兩道客觀題、一道解答題，共20分；數列涉及一道客觀題和一道解答題，共17分；立體幾何涉及兩道客觀題和一道解答題，共22分；解析幾何涉及三道客觀題和一道解答題，共27分；概率統計涉及兩道客觀題和一道解答題，共22分；函數與導數涉及兩道客觀題和一道解答題，共22分. 整份試卷很好地體現了高考重點知識重點考查、促進教學回歸課堂與教材、夯實學生成長的基礎功能.

例1 （第3題）已知向量[a=1，1，b=1，-1]，若[a+λb⊥a+μb]，則（??? ）.

（A）[λ+μ=1]???????????????? （B）[λ+μ=-1]

（C）[λμ=1]??????????????????? （D）[λμ=-1]

解法1：因為[a=1，1，b=1，-1]，

所以[a+λb=1+λ，1-λ]，[a+μb=1+μ，1-μ].

由[a+λb⊥a+μb]，得[a+λb ? a+μb=0]，

即[1+λ1+μ+1-λ1-μ=0].

整理，得[λμ=-1]．

故答案選D．

解法2：由[a+λb⊥a+μb]，得[a+λb ? a+μb=0，]

即[a2+λ+μa ? b+λμb2=0].

因為[a=b=2，a ? b=0]，

所以[λμ=-1].

故答案選D.

【評析】以向量的坐標計算為背景，考查向量的模及向量垂直問題. 解法1根據向量[a，b]的坐標，分別表示出向量[a+λb，] [a+μb]的坐標，把條件直譯為方程進行求解，體現通性通法；解法2根據已知條件得到關于[a， b，a ? b]的關系式，再利用向量[a，b]的坐標進行求解，該方法計算量稍小.

2. 真實情境，考查關鍵能力

試題中充分體現了創新問題的設計. 例如，第10題以噪聲污染問題為背景定義聲壓級，結合對數運算和不等式，旨在考查學生的邏輯推理能力、數學運算能力和數學建模能力. 又如，第12題以正方體的內接幾何體為背景，重點對學生的空間想象能力、邏輯思維能力和創新能力進行考查，尤其是選項C和選項D，可以聯想將簽字筆或月餅等實物放入正方體盒子中的生活情境，有利于考查學生的直觀想象能力. 再如，第21題以真實情境為背景考查概率統計和數列的相關知識，實現了對學生數學建模能力和運算求解能力的考查.

例2 （第12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：[m]）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（??? ）.

（A）直徑為[0.99 m]的球體

（B）所有棱長均為[1.4 m]的四面體

（C）底面直徑為[0.01 m]，高為[1.8 m]的圓柱體

（D）底面直徑為[1.2 m]，高為[0.01 m]的圓柱體

解：對于選項A，因為[0.99 m<1 m]，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以球體能夠被整體放入正方體內，故選項A正確.

對于選項B，因為正方體的面對角線長為[2 m]，且[2 m>1.4 m]，所以該四面體能夠被整體放入正方體內，故選項B正確.

對于選項C，因為正方體的體對角線長為[3 m]，且[3 m<1.8 m]，所以該圓柱體不能夠被整體放入正方體內，故選項C錯誤.

對于選項D，因為[1.2 m>1 m]，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓. 如圖1，若底面直徑為[1.2 m]的圓柱與正方體的上、下底面均相切，設圓柱的底面圓心為[O1]，與正方體的下底面的切點為[M]，可知[AC1⊥][O1M，O1M=0.6 m]，則[tan∠CAC1=CC1AC=O1MAO1]，即[12=][0.6AO1]，解得[AO1=0.62 m]. 則圓柱的高為[3-2×0.62≈]

[0.035 2>0.01]. 所以該圓柱能夠被整體放入正方體內.故選項D正確.

綜上所述，答案選ABD.

【評析】以正方體的內接幾何體為背景，考查學生的邏輯推理能力和空間想象能力. 選項A和選項B很容易確定. 對于選項C，柱體沿著正方體體對角線所在直線放置，容易確定選項C錯誤. 對于選項D，可以先看到圓柱體底面不能放在正方體底面正方形內，沿用選項C的想法，可以判斷選項D正確. 對選項C和選項D的判斷可以聯想將簽字筆或月餅等實物放入正方體盒子中的生活情境，對學生的直觀想象能力進行了充分考查.

3. 突出理性，考查學科素養

理性思維在數學核心素養中起著最本質、最核心的作用. 試題突出地將關鍵能力與數學應用、數學探索、數學文化統一到理性思維的主線上，實現了對數學核心素養的重點考查. 對邏輯推理素養的考查在大多數試題中都有體現. 例如，第4題、第6題、第7題、第11題、第12題、第15題、第16題、第18題、第19題和第22題. 特別是第11題，以抽象函數為背景，重點考查學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算素養，是學生綜合素養的體現.

例3 （第11題）已知函數[fx]的定義域為R，[fxy=y2fx+x2fy]，則（??? ）．

（A）[f0=0]

（B）[f1=0]

（C）[fx]是偶函數

（D）[x=0]為[fx]的極小值點

解：由題意，知[fxy=y2fx+x2fy].

對于選項A，令[x=y=0]，得[f0=0f0+0f0=0，]故選項A正確.

對于選項B，令[x=y=1]，得[f1=1f1+1f1]，則[f1=0]，故選項B正確.

對于選項C，令[x=y=-1]，[f1=f-1+f-1=][2f-1]，則[f-1=0]. 令[y=-1]，得[f-x=fx+x2 ·]

[f-1=fx]. 因為函數[fx]的定義域為R，所以函數[fx]為偶函數，故選項C正確.

對于選項D，當[x2y2≠0]時，對[fxy=y2fx+][x2fy]兩邊同時除以[x2y2]，得到[fxyx2y2=fxx2+fyy2]. 故可以設[fxx2=lnx x≠0]，則[fx=x2lnx，x≠ 0，0，x=0.]

當[x>0]時，[fx=x2lnx]，則[fx=2xlnx+x2 ?][1x=x2lnx+1]. 令[fx<0]，得[00]，得[x>1e]；故[fx]在[0， 1e]上單調遞減，在[1e，+∞]上單調遞增. 因為[fx]為偶函數，所以[fx]在[-1e，0]上單調遞增，在[-∞，-1e]上單調遞減. 顯然，此時[x=0]是[fx]的極大值點，故選項D錯誤. 也可以令[fx=0]，顯然符合題設條件，此時[fx]無極值，故選項D錯誤.

綜上所述，答案選ABC.

【評析】利用賦值法能較容易確定選項A、選項B和選項C的正誤. 對于選項D，要注意到條件可以處理為[fxyx2y2=fxx2+fyy2，xy≠0]，其形式為[gxy=][gx+][gy]，該函數的基本原型為對數函數. 由此可以構造函數[fx=x2lnx，x≠ 0，0，x=0.] 而該題并沒有要求函數為非常函數，故直接令[fx=0]即可確定結果. 該題以學生熟悉的抽象函數為出發點命制，知識起點低，但對學生思維能力的要求逐漸提高.

4. 破除套路，強化靈活應用

2023年全國新高考Ⅰ卷中部分試題對主干知識的考查改變了以往的命題形式或調整了考查順序，旨在引導師生改變原有認識，真正體現對學生“四基”的考查，突出“四能”. 例如，第8題的三角恒等變換、第19題的導數、第20題的數列均改變了考查順序. 另外，第20題對數列的考查以求和或與不等式結合的命題形式，圍繞等差數列的定義和性質，注重對式子的分析與處理，在考查學生邏輯推理和數學運算素養的同時，考查學生的臨場應變能力. 解答題第22題同樣打破了解析幾何試題求解的基本套路，需要通過放縮把雙變量問題轉化為單變量問題，再構造函數求解，充分考查了學生對不同知識的靈活運用能力.

例4 （第20題）設等差數列[an]的公差為[d]，且[d>1]．令[bn=n2+nan]，記[Sn，Tn]分別為數列[an， bn]的前[n]項和．

（1）若[3a2=3a1+a3，S3+T3=21]，求[an]的通項公式；

（2）若[bn]為等差數列，且[S99-T99=99]，求[d]．

解：（1）因為[an]為等差數列， [3a2=3a1+a3]，

所以[3d=a1+2d]，解得[a1=d].

所以[S3=3a2=3a1+d=6d].

因為[T3=b1+b2+b3=2d+62d+123d=9d]，

所以[S3+T3=6d+9d=21]，即[2d2-7d+3=0].

解得[d=3]或[d=12]（舍去）.

所以[an=a1+n-1d=3n].

（2）因為[bn]為等差數列，

所以[2b2=b1+b3]，即[12a2=2a1+12a3].

所以[61a2-1a3=6da2a3=1a1]，

即[a21-3a1d+2d2=0].

解得[a1=d]或[a1=2d].

由[d>1]，得[an>0].

因為[S99-T99=99]，

所以由等差數列性質知[99a50-99b50=99]，

即[a50-b50=1].

所以[a50-2 550a50=1]，即[a250-a50-2 550=0].

解得[a50=51]或[a50=-50]（舍去）.

當[a1=2d]時，[a50=a1+49d=51d=51]，

解得[d=1]，與[d>1]矛盾，無解；

當[a1=d]時，[a50=a1+49d=50d=51]，

解得[d=5150].

綜上所述，[d=5150].

【評析】第（1）小題，根據等差數列的通項公式建立方程求解即可. 第（2）小題，由[bn]為等差數列，得[a1=d]或[a1=2d]. 再由等差數列的性質，得[a50-b50=1]. 分類討論即可得解. 關鍵是對條件“[bn]為等差數列”進行轉化，最優選擇是考慮前三項，再討論檢驗.

5. 服務選才，指向教考銜接

高考的核心功能是立德樹人、服務選才、引導教學. 加強教考銜接是高考命題改革的既定方針. 例如，第21題和第22題特別強調對學生邏輯思維能力和創新能力的考查，與《教育部關于做好2023年普通高校招生工作的通知》中提到的“服務人才培養質量提升和現代化建設人才選拔”的選拔要求高度契合. 試題堅持素養導向、能力為重，對發揮科學選拔與育人導向功能有著積極的示范和引領作用，以考促學，為后期數學教學明確了努力的方向.

例5 （第22題）在直角坐標系[xOy]中，點[P]到[x]軸的距離等于點[P]到點[0， 12]的距離，記動點[P]的軌跡為[W]．

（1）求[W]的方程；

（2）已知矩形[ABCD]有三個頂點在[W]上，證明：矩形[ABCD]的周長大于[33]．

解：（1）設[Px，y]，則[y=x2+y-122].

兩邊平方并化簡，得[y=x2+14].

故[W]的方程為[y=x2+14].

（2）（方法1）設矩形的三個頂點[Aa，a2+14，][Bb，b2+14，Cc，c2+14]在[W]上，且[a

則[kABkBC=-1，a+b

令[kAB=b2+14-a2+14b-a=a+b=m<0].

同理，令[kBC=b+c=n>0]，且[mn=-1]，

則[m=-1n].

設矩形周長為[C]，由對稱性知[m≥n].

不妨設[0

則[12C=AB+BC=b-a1+m2+c-b1+n2≥][c-a1+n2=n+1n1+n2].

由[n>0]，易知[n+1n1+n2>0].

令[fx=x+1x21+x2，x∈0，1]，

得[fx=2x+1x22x-1x].

令[fx=0]，解得[x=22].

當[x∈0， 22]時，[fx<0]，此時[fx]單調遞減；

當[x∈22，1]時，[fx>0]，此時[fx]單調遞增.

則[fxmin=f22=274].

故[12C≥274=332]，即[C≥33].

由上可知，兩個等號成立的條件分別為[n=1]，[n=22]，顯然不成立.

故[C>33]，得證.

（方法2）不妨設點[A，B，D]在[W]上，且[BA⊥DA].

依題意，設[Aa，a2+14].

易知直線[BA]，[DA]的斜率均存在且不為0，

則設[BA]，[DA]的斜率分別為[k]和[-1k].

由對稱性，不妨設[k≤1].

直線[AB]的方程為[y=kx-a+a2+14]，

聯立方程，得[y=x2+14，y=kx-a+a2+14.]

整理，得[x2-kx+ka-a2=0].

因為判別式[Δ=k2-4ka-a2=k-2a2>0]，

所以[k≠2a].

所以[AB=1+k2k-2a].

同理，可得[AD=1+1k21k+2a].

故[AB+AD=1+k2k-2a+1+1k21k+2a]

[≥1+k2k-2a+1k+2a]

[≥1+k2k+1k]

[=1+k2k+1k].

令[x=k>0]，得[fx=x+1x21+x2，x>0].

下同方法1.

【評析】該題考查了拋物線和不等式的綜合應用. 第（1）小題直譯條件，列出方程化簡即可，然而結果并非拋物線的標準方程. 第（2）小題求解的前半部分是對圓錐曲線的一般處理方式，方法1設點和方法2設直線的目的均是要把矩形的半周長表達出來. 再通過放縮，把雙變量問題轉化為單變量問題. 最后構造函數，利用導數研究單調性和最值. 求解該小題最大的難點不在于對圓錐曲線的處理，而在于對放縮法的運用. 該題整體難度較大，鮮明地體現出高考的選拔性.

三、復習備考建議

1. 回歸教材，挖掘教材資源

教材永遠是最好的備考素材. 在當前的復習備考中，回歸教材很多時候僅停留在口頭上，行動上基本沒有實際舉措. 即使有回顧，大多數也是基于復習資料一帶而過. 學生長期困于復習資料和海量的題目中，甚至在高考復習期間也從未翻看過教材. 這些都是極其可怕的現象. 2023年全國新高考Ⅰ卷中有很多試題可以在教材中找到相關素材. 例如，第7題考查等差數列的性質，與人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）選擇性必修第二冊第25頁習題的第7題幾乎一致；第8題考查三角恒等變換，與人教A版教材必修第一冊第229頁習題第9題的題干條件相似，均是兩角差正弦公式的直接展開，結合方程思想來處理；第21題的第（2）小題考查了概率和數列的交會問題（馬爾科夫模型），而在人教A版教材選擇性必修第二冊第39頁的例12中有過類似的研究，這是典型的對學生知識遷移能力的考查. 總之，高考復習備考中，師生不能忽視教材，更不能拋棄教材，需要認真研究教材中基于情境設置的例題和課后習題，當然也要特別重視對教材中“閱讀與思考”“探究與發現”材料的運用，甚至可以組織備課組教師對教材上的相應資源進行有效整合、合理改編，生成課堂復習素材和課后訓練主材，以提升復習備考效率.

2. 有效引導，培養數學思維

在高考復習備考過程中，師生要把思想與方法訓練放在首位，把核心素養的落實謹記于心. 對于高考試題，師生要加強研究，明確問題導向，避免盲目刷題、機械應試，以增強復習備考的效率. 死記公式和機械訓練只能實現簡單模仿，不能做到舉一反三. 缺乏理解和運用能力的非創新性人才培養并不是教育的最終目的. 要想真正提高學生解決問題的水平，教與學必須做出積極調整，即加強對學生數學思維的訓練. 要想擁有創新性思維方式，學生不僅要真正掌握基礎知識，還要有靈活運用知識解決問題的能力. 事實上，學生通過自身較難進行行為調整，此時教師的引導作用就顯得意義重大. 對于復習教學工作，首先，教師要能轉變教學理念，認識到思維的培養需要學生的親身體驗，需要教師強化教學活動的設計和引領. 其次，在課堂中，教師要積極調整傳統的教學行為，從原有的填鴨式教育，滿堂灌、一言堂的授課方式，轉變為合作式、探究式和體驗式的課堂教學. 最后，還需要教師充分調動學生的主觀能動性，把課堂還給學生，讓真實、有效的生生對話、師生對話時常發生在課堂中，讓學習在課堂中真正發生，切實提升學生思維的深度和廣度. 雖然學生的數學思維存在差異，但是教師的有效引導對改善和提升學生的數學思維品質必然可以發揮積極的作用，需要教師長期堅持.

3. 強化發展，提升創新能力

2023年全國新高考Ⅰ卷特別融入創新試題的考查，對學生分析問題、解決問題的能力要求很高. 例如，第20題區別于以往的數列試題，是僅基于等差數列基本概念命制的創新題. 所謂創新試題，雖然在試題呈現方式或設問角度方面比較新穎，但是其考查的基礎知識、基本技能和基本思想不變，即“萬變不離其宗”，只要抓住問題的本質，面對創新試題也能做到游刃有余. 在教學過程中，教師不僅要強化對學生“四基”的培養，還要提升學生的遷移類比能力. 同時，教師要不斷強化對學生的學法指導，從學生學情出發，增強指導的具體性、可操作性和有效性，幫助學生調適好心態，以積極的態度、務實的舉措、科學的方法學好每節課，完成每次訓練.

參考文獻：

［1］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］教育部考試中心. 創設情境發揮育人作用? 深化基礎考查核心素養：2022年高考數學全國卷試題評析［J］. 中國考試，2022（7）：14-19.