類比遷移 提升能力 落實素養

李明樹

1 教材內容分析

義務教育階段數學課程內容由數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個學習領域組成.初中階段，圖形與幾何領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題.圓是平面幾何中基本的圖形之一，它不僅在“圖形與幾何”領域中有著重要地位，而且是進一步學習其他數學知識的重要基礎.《義務教育數學課程標準（2022年版）》對圓有10點要求，其中“④了解三角形的內心與外心.⑥能用尺規作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和內接正六邊形”.蘇科版九年級上冊第二章“對稱圖形——圓”是在小學學習圓的基礎上，系統地研究圓的概念、性質，與圓有關的位置關系，正多邊形和圓，圓的有關計算及證明.教材中，本節課程的“操作與思考”部分是通過“過一個點、兩個點、三個點作圓”的探究活動，類比“兩點確定一條直線”的研究方法，進而得到“不在同一直線上的三點確定一個圓”的結論；“嘗試與交流”部分是運用尺規作圖作任意三角形外接圓并發現三角形的外心的位置特征，其實質是運用了數學中轉化的數學思想方法，促進學生理解尺規作圖的原理是垂徑定理的運用.

2 學情分析

九年級學生在知識儲備和思維能力上均逐漸趨于豐富和成熟.學生在學習本章之前，通過對稱、平移、旋轉以及推理等方式認識了點、線、面、角、相交線、平行線及三角形、四邊形等“直線型”幾何圖形的性質，積累了一定的數學活動經驗.同時，學生已經掌握了尺規作圖的基本技能和方法，能夠運用尺規作圖法解決數學問題.教師通過數字平臺提前發布學習任務，以便了解學情并對數據進行精準分析.因此，基于學情的視角進行有效的教學設計思路為：以教材為基礎，強化合情推理與演繹推理的融合，同時加強代數推理的滲透，以呼應初中階段圖形與幾何領域的三個主題.

3 教學目標設置

經歷“不在一條直線上的三點確定一個圓”的探索過程，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念；能夠利用尺規，過不在同一直線上的三點畫出一個圓；理解類比、轉化的數學思想，發展推理能力.

4 教學重難點

教學重點：探索“不在一條直線上的三點確定一個圓”的本質.

教學難點：通過類比，經歷確定圓的條件的探索過程，說明“過不在同一直線上的三點有且只有一個圓”.

5 教學過程

5.1 前學

（1）從畫圓的過程描述圓的定義：.

（2）從集合的角度描述圓的定義：.

（3）圓具有兩個要素，①，②，其中確定圓的位置，確定圓的大小.

（4）如圖1，用尺規作圖法作線段AB的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（5）如圖2是一張圓形紙片，如何確定圓形紙片的圓心？請用多種方法解決.

設計意圖：教師提前通過數字平臺發布課程包，引導學生線上或線下自主探究，同伴互評.利用任務激發學生學習的動機，以便了解學生對圓的概念、尺規作圖、垂徑定理等知識的掌握情況，為學生提供自學、互助、交流的機會，同時為本節課內容的學習提供必要的知識儲備，進而確定和調整課堂教學的起點及節奏.

5.2 共學

（Ⅰ）創設情境，發現、提出問題

情境一：兩點確定一條直線.

操作1：在平面內任取一點A，過點A畫直線.

追問：可以畫多少條直線？

操作2：在平面內任取兩點A，B，過點A和點B畫一條直線.

追問：可以畫多少條直線？

操作3：在平面內任取三個點呢？你有何發現？

設計意圖：通過對“兩點確定一條直線”的復習回顧，加深對“確定”一詞的理解，為研究“確定圓的條件”提供研究思路和方法.

情境二：考古學家在長沙馬王堆漢墓挖掘時，發現了一圓形瓷器碎片（如圖3），你能幫助考古學家畫出這個碎片所在的整圓嗎？從數學的角度，需要確定圓形瓷器碎片的哪幾個要素？

設計意圖：情境旨在引導學生思考畫圓需要確定圓的兩要素——圓心和半徑，從而引出本節課的學習任務——如何確定圓？確定圓的條件是什么？既激發了學生的求知欲，又明確了本節課的學習目標.

（Ⅱ）實踐探索，分析、解決問題

實踐探索一：探索“不在同一條直線上的三點確定一個圓”.

操作1：在圖4中作一個圓，使它經過已知點A.

追問：這樣的圓可以作多少個？為什么？

設計意圖：通過操作、觀察與思考，學生能夠感受到畫圓的兩個要素——圓心和半徑.由于圓心的位置具有隨機性，半徑亦隨之變化，圓的位置和大小均無法確定，因此經過任意點A可以畫無數個圓，為探索操作2提供思路.

操作2：在圖5中作一個圓，使它經過已知點A，B.

追問：這樣的圓可以作多少個？它們的圓心在什么圖形上？

設計意圖：基于操作1積累的經驗，引導學生尋找圓心O，使OA＝OB，再運用數學動態軟件的“動畫”功能使圓心O運動起來，同時選擇“追蹤”圓，進而發現“同時經過已知點A，B的圓有無數個”“圓心O在線段AB的垂直平分線上”的重要規律.

操作3：你能作一個圓，使它經過A，B，C三點嗎？如果能，這樣的圓可以作多少個？圓心在什么位置？如果不能，請說明理由.

追問1：圓如果過這三個點，其圓心與點A，B，C有何關系？

追問2：經過A，B兩點的圓的圓心有何特征？經過B，C兩點的圓的圓心呢？經過A，C兩點的圓的圓心呢？

追問3：最終，你有什么發現？

歸納總結：.

設計意圖：操作3可分三步進行探索.第一步（如圖6），當A，B，C三點在同一條直線上時，引導學生分別作線段AB，BC的垂直平分線l1，l2，觀察發現l1與l2沒有交點，進一步通過幾何推理說明l1與l2互相平行，從而發現“經過共線的三點無法確定一個圓”.第二步（如圖7和圖8），當A，B，C三點不在一條直線上時，引導學生分別作線段AB，BC的垂直平分線l1，l2，觀察發現l1與l2交于一點，再進一步說明OA＝OB＝OC，從而得出“經過不共線的三點可以確定一個圓”的重要結論.第三步，學生利用數學動態軟件，拖動圖5中的點C，觀察點A，B，C三點經歷“共線”到“不共線”的變化過程，同時觀察到l1，l2由平行到相交的轉換，動態呈現幾何圖形的運動與內部關聯.此環節注重引導學生體會利用“交集法”確定圓心位置解決問題的思想方法，讓學生經歷“觀察與操作—探索與猜想—推理”的認識過程，幫助學生從“存在性”“唯一性”兩個方面理解“確定”一詞的含義，促進學生形成科學地、能動地認識世界的良好品質，同時強化了合情推理和演繹推理的融合，實現信息技術與學科教學的深度融合.

例1 已知點A（2，1），B（-1，-2）.

（1）若點C（5，4），試判斷點A，B，C是否可以確定一個圓，并說明理由；

（2）若點C（m，n），且點A，B，C可以確定一個圓，試探究m，n的數量關系.

設計意圖：引導學生，從“數”與“形”兩個角度進行自主探究、合作交流，深化數形結合數學思想方法的滲透.學生通過求經過確定的兩點A，B的一次函數解析式，再將點C的坐標代入一次函數解析式來判斷，從正反兩個角度強化對“不在同一直線上的三點確定一個圓”的理解，發展代數推理能力.學生在平面直角坐標系中作直線AB，再描出點C，從“形”的視角直觀發現并驗證猜想.教師需要引導學生領悟在探究問題的過程中代數推理和幾何推理相輔相成，螺旋上升.

實踐探索二：歸納三角形的外接圓概念.

三角形的外接圓：三角形的三個頂點可以確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形.

設計意圖：學生在上一環節探索活動中積累了“不在同一直線上的三點確定一個圓”的學習經驗.引導學生將“不共線的三點”視作“三角形的三個頂點”，亦可將“三角形的三個頂點”視作“不共線的三點”.觀察圖9發現，△ABC位于⊙O的內部，同時三個頂點A，B，C均在圓上，故稱⊙O是△ABC的“外接圓”；⊙O在△ABC的外部，同時三個頂點A，B，C均在圓上，故稱△ABC是⊙O的“內接三角形”.促使學生充分理解“外接”和“內接”的內涵，感悟哲學辯證統一的觀點.

實踐探索三：用尺規作圖法作“三角形的外接圓”.

操作4：如圖10，已知銳角三角形ABC，用直尺和圓規作銳角三角形ABC的外接圓.

學生閱讀教材第51頁“嘗試與交流”內容，完成尺規作圖并思考以下問題：

（1）銳角三角形ABC有幾個外接圓？

（2）如何確定三角形的外心？外心到三角形三個頂點的距離有何關系？

（3）圓有幾個內接三角形？

（4）三角形的外接圓有什么性質？

設計意圖：基于前面的探索活動，學生積累了一定的數學活動經驗，在學生已有經驗的基礎上注重引導學生掌握作三角形外接圓的技能，通過操作活動進一步加深對“不在同一直線上的三點確定一個圓”的理解.

例2 請用直尺和圓規分別作出圖11中直角三角形和鈍角三角形的外接圓；觀察所畫圖形，你發現三角形的外心和三角形有何位置關系？

設計意圖：基于上述操作，學生自主、獨立完成作圖.教師引導學生先猜想，再作圖，最后觀察三角形外心的位置特點發現規律.當△ABC是銳角三角形時，外心O在三角形內部；當△ABC是直角三角形時，外心O在直角三角形斜邊的中點處；當△ABC是鈍角角三角形時，外心O在三角形外部.為后續求外接圓的半徑做好鋪墊.運用數學動態軟件，拖動△ABC的任意頂點改變△ABC的形狀，直觀呈現△ABC外心的位置，最后通過說理來驗證OA＝OB＝OC，進一步發展學生的幾何直觀和演繹推理能力.

（Ⅲ）知識遷移，內化、運用結論

課堂練習：

（1）請用今天所學的知識解決情境二的問題，并與同伴分享.

（2）如圖12，A，B，C三點表示不共線的三個工廠，要建立一個供水站，使它到這三個工廠的距離相等，求作供水站的位置.（不寫作法，尺規作圖，保留作圖痕跡.）

（3）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求△ABC的外接圓的半徑.

設計意圖：第（1）題引導學生利用所學知識解決情境二的問題，即可在“圓形瓷器碎片”的圓弧上任取不重合的三點A，B，C，再分別作弦AB，BC的垂直平分線l1，l2交于點O，以點O為圓心，OA為半徑作圓可使“碎片復原”；第（2）題旨在培養學生從數學外部走向數學內部，學會將生活問題數學化；第（3）題利用“直角三角形的外心在直角三角形的斜邊處”，綜合勾股定理相關知識解決問題，為后續學習圓周角及其性質作鋪墊.

（Ⅳ）課堂小結，梳理、構建結構

本節課你學習了哪些知識？

獲得了哪些方法？

感悟了哪些數學思想方法？

還有什么疑惑？

設計意圖：引導學生借助思維導圖或知識圖譜呈現本節課所學的知識點及與前后知識的關聯，再一次明確本節課知識在本章的地位及價值，歸納分類討論、尺規作圖、動靜結合等方法的注意事項，進一步感悟類比轉化、數形結合的數學思想方法，明確合情推理及演繹推理融合的重要性.

5.3 延學

（1）根據“不在一條直線上的三點確定一個圓”這一結論，試說明平面內任意四點是否可以確定一個圓？如果可以，四邊形應滿足怎樣的條件？

（2）例題1變式：在△ABC中，已知點A（2，1），B（-1，-2），C（m，n）.試探究m，n滿足怎樣的關系時，△ABC的外心在△ABC的某條邊上？若外心在△ABC的內（外）部呢？

設計意圖：問題（1）注重引導學生將四邊形問題轉化為三角形來研究，進而對后續圓周角及其性質、圓的內接四邊形的學習埋下伏筆.在實踐探索三中學生借助教材中提供的銳角三角形作外接圓時發現其外心在三角形內部，例2中再分別作直角三角形、鈍角三角形的外接圓并觀察其外心的位置，進而得到“三角形的外心位置與三角形的形狀有關”的結論.問題（2）既是例1的變式，也是從代數推理的角度對“結論”加以證明，使學生明白“看到的現象”必須通過邏輯推理驗證方可成為“正確的結論”，培養學生嚴謹的治學態度.

6 思考

6.1 混合式教學可提高課堂教學的精準度

數字平臺為學生提供了多元學習場景，“前學”課程資源可實時精準診斷學情，為設計以學情、素養為導向的學習活動提供了有力的數據保障.數學動態軟件的使用為學生提供了多維度的探究體驗，使動靜結合變為可能.“共學”環節凸顯學生的主體地位，教學目標精準，學習過程扎實，思想方法靈活，教學狀態靈動；“延學”部分的設置既是課堂教學的延續，又是作業創新的手段.

6.2 素養導向的探究活動可實現教學評一體化

本節課以“四基”為起點，“四能”為突破，教學目標指向發展學生的推理能力、幾何直觀、應用意識等，強化代數推理與幾何推理的融合；以知識為載體，注重情境的真實化、探究的系統化、方法的多元化、知識的結構化、思想的統整化，學習過程體現學生的主體地位；充分體現評價的多元化，采用線上評價、線下評價、線上線下相結合的方式評價，以實現多維動態掌握學情.