文化之所向 素養之所往

李建英 易良斌

摘要：近年來數學文化類試題以越來越高的比例出現在考生視野中.通過對2022年浙江省各地區數學中考文化類試題的賞析，挖掘數學文化的工具價值、人文價值、思維價值和素養價值，總結出“以‘著名與成果為引領，挖掘數學文化”“以‘綜合與實踐為依托，著力素養提升”“以‘跨學科學習為契機，拓展數學價值”滲透數學文化的三條教學啟示.

關鍵詞：數學文化；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程內容中指出“關注數學學科發展與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化”［1］，旨在教學活動中創設和積累以數學文化為背景的問題，滲透數學文化，突出文化價值，讓數學文化落地生根.

1 文化試題數量、內容與類型剖析

通過對2022年浙江省九個地區中考數學試卷中數學文化類試題的統計，發現共有20道以數學文化為背景的試題，其中杭州、寧波、溫州卷各有3題，其他地區除麗水卷外均有2題.中考數學文化試題的具體內容和考查知識點見表1.

通過對2018-2022年浙江省中考數學試卷的分析，發現數學文化類試題在2022年的比重尤其突出（如圖1），試題內容除了涉及數學史、數學美等，還增加了更多數學與人文社會及其他學科融合的試題.

2 數學文化類試題賞析

對2022年浙江省中考數學文化類試題進行賞析，發現不同的試題背景下，數學文化創造著不同的價值.命題者分別從融合多學科、滲透數學史、凸顯數學美、串聯現代科技的視角挖掘數學文化的工具價值、人文價值、思維價值和素養價值.

2.1 融合多學科，體現工具價值

例1 （嘉興卷＼515）某動物園利用杠桿原理稱象：如圖2，在點P處掛一根質地均勻且足夠長的鋼梁（呈水平狀態），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計）分別懸掛在鋼梁的點A，B處，當鋼梁保持水平時，彈簧秤讀數為k（單位：N）.若鐵籠固定不動，移動彈簧秤使BP擴大到原來的n（n>1）倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數為??? （單位：N）（用含n，k的代數式表示）.

2.2 滲透數學史，體現人文價值

從2022年浙江省中考數學文化類試題的類型可以看出，數學史占總數量的44%，足以看出命題者對數學史的重視程度.不同的命題人會選擇不同的載體融入數學史，有外揚型、內嵌型和引譯型.外揚型是基于數學家的著名成就，增設條件，改變情境.內嵌型是問題本身看不出數學文化，但在解題中需要借鑒數學史帶來的啟示解決問題.引譯型是直接引用數學著作中的問題，用譯文映射到考題中.

2.2.1 外揚型滲透，展示文化貢獻

賞析：此題將勾股定理、趙爽弦圖、黃金分割等數學文化巧妙地串聯起來，勾股定理是刻畫直角三角形三邊關系的重要定理，它的證明方法達五百多種，具有豐富的文化價值，而趙爽弦圖就是其中之一.勾股圖和趙爽弦圖在教材中均有呈現，分別來自八年級上冊第二章的閱讀材料和“探索勾股定理”的合作學習，給考生以親切感.解決本題的關鍵是利用趙爽弦圖，將正方形ABGF與正方形JKLM的面積比轉化成線段比，結合趙爽弦圖的圖象特征，得到△FMG的三邊之比為1∶2∶5.

解決此題的過程貫通了正方形、銳角三角函數、直角三角形的性質、相似三角形、解直角三角形等初中數學幾何核心知識間的聯系，同時滲透了方程、轉化、數形結合等思想方法.解題余味濃厚，計算發現C是EH的黃金分割點，L是CM的黃金分割點.通過此題不僅向學生展示了文化貢獻，提升思維層級，還寓意著在巨人的肩膀上不斷前行.

2.2.2 內嵌型滲透，凸顯文化意義

例3 （湖州卷·16）如圖4，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，tan∠ABO=3，以AB為邊向上作正方形ABCD.若

賞析：趙爽弦圖中蘊含著豐富的幾何特征和代數結構，被稱為“中國數學界的圖騰”.命題者在反比例函數的背景下將趙爽弦圖內嵌其中，圖5將數形結合思想體現得酣暢透徹.解題的關鍵是需要將圖中的“斜”正方形轉為“正”正方形，俗稱“改斜歸正”.構圖的啟發來源于趙爽弦圖，既可以如圖5構造外弦圖，也可以如圖6構造內弦圖.將數學文化以這種內嵌式的方式進行滲透，增強學生的幾何直觀、模型意識、模型觀念等核心素養，凸顯數學文化的意義.

2.2.3 引譯型滲透，揭示文化發展

賞析：《九章算術》是一本反映我國古代數學成就的重要著作，全書總結了246個古人在生產生活中遇到的數學問題，此題就是其中之一.命題者既關注情境應用，也關注文化滲透.首先以引譯型的方式將古代問題呈現在考生面前，引用部分是為了提升學生對我國數學成就的文化自信，增強民族自豪感;譯文部分揭示了文化的發展，也為保證考試的公平性.本題主要考查學生根據具體問題中的數量關系列出方程，建立模型觀念.

2.3 凸顯數學美，體現思維價值

例5 （杭州卷·16題）圖7是以點O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對折，點B落在⊙O上的點D處（不與點A重合），連接CB，CD，AD.設CD與直徑AB交于點E.若AD=ED，

2.4 關聯前瞻性，體現素養價值

例6 （金華卷·16）圖8是光伏發電場景，其示意圖如圖9，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖10）.繞各中心點（A，A′

（1）點F的高度EF為? ? m；

（2）設∠DAB=α，∠D′A′B′=β，則α與β的數量關系是??? .

賞析：此題以光伏發電的場景為背景，看似是一個陌生的背景，實則在浙教版七年級下冊第一章閱讀材料“地球有多大”中就有預設，因此在考試中同樣具有公平性.我國在太陽能光伏發電產業的發展占據全球前列，因而該試題是展現數學成果在人類發展中的作用.

命題者將光伏發電這樣的現代科技抽象成數學問題，反映數學應用于生活，服務于生活.

解決本題的關鍵是靈活運用光的反射原理，如圖11，結合特殊角的三角函數值、平行線的性質，通過∠NAG=∠MA′G，轉化得到∠FAN與∠FA′M的數量關系，進而求解.解決此題既可以讓學生體會數學在社會和科技發展中的應用，又能培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界［2］，這正是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出的數學課程要培養的學生核心素養的三個方面.

3 教學啟示

3.1 以“著名與成果”為引領，挖掘數學文化

在教學中，教師要善于挖掘教材中關于數學成果的介紹.如，浙教版教材在八年級上冊的作業題中記載有《九章算術》中的一道數學題［3］，教學中要以此為契機，組織學生開展對該書的閱讀活動，弘揚民族自信，拓寬學生視野，并在閱讀后征集更多有趣的數學問題進行研究.又如，浙教版八年級下冊第二章閱讀材料中記載了《幾何原本》《大衍歷》《田畝比類乘除捷法》等書中對于一元二次方程的不同解法，教師在教學中可嘗試讓學生整理解法，關注古代解法與現代解法的異曲同工之妙，體會數學思想方法，也可以找出不同解法的優缺點，培養反思質疑精神.

3.2 以“綜合與實踐”為依托，著力素養提升

筆者對浙教版六本初中數學教材的“綜合與實踐”內容進行了整理，共有110個學習資源，這些資源大多集中在閱讀材料、設計題和探究活動的位置，這些位置的內容有助于學生更系統化、整體化和結構化地理解數學知識，使學生更有效地進行知識遷移.如浙教版九年級上冊第一章的設計題，需要學生設計實驗探索一個物體自由沿著斜面作直線運動時，路程與時間的關系.學生親自經歷設計方案、實驗過程、獲取數據以及畫圖、猜想函數式、檢驗等各環節，鞏固二次函數的有關知識，培養模型觀念，使得學生的思維具有開放性和獨創性.又如浙教版九年級下冊第一章探究活動，需學生探究sin18°和黃金比的關系，教學中可以融入對黃金三角形、五角星等圖形的探究，引導學生一題多解，使學生思維具有統整性和靈活性.

3.3 以“跨學科學習”為契機，拓展數學價值

為了拓展數學的價值，跨學科的研究是必不可少或缺的.跨學科學習是指從課內到課外開展項目化學習，以提升學生從數學的角度觀察真實世界，解決現實問題的素養，感受數學與其他學科的融合，培養學生的多元化思考.如“體育與心率”項目以怎樣運動更健康更有效為驅動性問題，融合了模型觀念，依托信息技術，融合了生物學知識儲備和體育運動數據收集處理等內容.通過項目學習，學生在建立數學模型的過程當中提升運用知識分析問題、解決問題的能力.以“跨學科學習”為契機培養學生的實踐與創新能力、應用意識與合作意識，感悟數學的應用價值和現實意義，進一步激發學習數學的興趣，增強學習數學的信心，最終實現立德樹人的育人目標.

命題者將數學文化融入試題，教師將數學文化滲入教學，學生將數學文化擁入靈魂［4］，只有教、學、評一致，方能發揮數學文化的最大價值，促進數學素養的全面形成.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］李海東.基于發展學生核心素養的初中數學教學［J］.中國數學教育，2019（7）：3-8，13.

［3］周燚.例析“數學史”在初中數學課堂教學中的實踐［J］.數學教學通訊，2020（8）：21-23，54.

［4］伍先俊.數學文化如何滲入高職數學教育教學中［J］.中國高新區，2018（14）：53-54.