初中數學教材中“二次函數”內容的設計與分析

吳陽 王家正

摘要：教材是教師理解教學內容和培養學生思維能力的有效媒介，本文中以“人教版”“康軒版”“singlee版”初中數學教材中“二次函數”為研究對象進行分析，得出三版教材的編排既有普遍一致性，又有其各自的特色，其中二次函數圖象和性質的呈現方式有兩種.第一種是借助各形式間的關系，遵循從特殊到一般的過程；第二種是運用類比推理，注重知識的系統性.通過對比分析三版教材的特點，為教師開展教學設計或實踐提供更為廣闊的視野或啟發.

關鍵詞：初中數學；教材；二次函數

“函數”作為初中階段數與代數領域的三大主題之一，是學生初步形成抽象能力和推理能力的重要載體.在“函數”內容中“二次函數”是教學的難點，也是學生理解的難點，根本原因在于二次函數的學習需要學生具備一定的數形結合思維，而初中生對“數”和“形”的認識還存在一定的困難.本文中選取人民教育出版社（以下簡稱“人教版”）、中國臺灣康軒文教事業版（以下簡稱“康軒版”）及新加坡singlee版（以下簡稱“singlee版”），就“二次函數”內容的設計進行梳理及分析.

1 三個版本的教材梳理

“人教版”教材在學習二次函數概念的基礎上，引導學生通過函數圖象學習性質.章頭圖以噴泉噴水畫面為情境，呈現噴出的水珠曲線形似二次函數圖象，并帶著三個情境問題進入本章的學習.設計思路如下：第一課時“二次函數”，通過對章封面三個問題的解答，引入二次函數的概念、表達式.第二課時“y=ax2的圖象和性質”，利用描點法畫出a取不同值的函數圖象，總結出a>0及a<0時圖象的開口方向、對稱軸、頂點等性質.第三課時“y=a（x－h）2+k的圖象和性質”與第四課時“y=ax2+bx+c的圖象和性質”設計思路同上.第五課時“二次函數與一元二次方程”，在引入問題情境的基礎上，探討函數與方程根的關系，引導學生從二次函數的角度認識一元二次方程，通過二次函數y=ax2+bx+c，深入探討一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式.第六課時“實際問題與二次函數”，利用二次函數的圖象和性質，刻畫實際問題中變量之間的關系，從而獲得實際問題的答案.

“康軒版”教材從一幅插圖入手，插圖呈現投籃時球所經過的路徑，引入“拋物線”這一概念.設計思路如下：第一課時“二次函數的意義”，在回顧一次函數概念的基礎上，通過正方形邊長與面積的關系闡釋二次函數的概念.第二課時“二次函數的圖形”，分別介紹了y=ax2，y=ax2+k，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k四種不同形式下二次函數的圖形，先對不同系數下的解析式通過描點法畫出函數的圖形，再歸納總結其性質.第三課時“配方法與二次函數的圖形”，利用第三冊學過的配方法將二次函數的一般式化成形如y=a（x－h）2+k的式子，進而掌握它的圖形.第四課時“二次函數的最大值與最小值”，以y=a（x－h）2+k（a＞0）為例，由x-h=0時判斷出函數的最小值，再推出二次函數的頂點就是函數圖形的最低點.第五課時“二次函數圖形與兩軸的交點”，根據x，y軸上的點的縱坐標、橫坐標分別為0，得出圖形與x，y軸的交點坐標；由判別式Δ=b2－4ac、圖形的頂點及開口方向，判斷圖形與x軸交點的個數.第六課時“應用問題”，以函數數問題為例并解答，給出應用二次函數求解實際問題的解題步驟，即設未知數、列式、求值、作答.

“singlee版”教材第二、三冊均涉及二次函數的內容，其中第二冊“二次函數的圖象”，通過三個探究、四個例子探索二次函數的概念、圖象與性質.設計思路如下：探究1，借助正方形的面積與其邊長之間的關系，利用幾何軟件呈現y=x2的圖象，引出二次函數這一概念.探究2，同樣先用繪圖軟件分別繪制出y=x2，y=－x2的圖象，再探究圖象的性質，引出二次函數的一般形式.探究3，在幾何軟件上通過改變一般式中a，b，c的值，得出系數和圖形形狀、位置的關系.四個例子分別對圖象與兩軸交點坐標的求解、a＞0時一般式圖形的繪制、a＜0時一般式圖形的繪制、二次函數的實際應用給出解決方案.第三冊“二次函數的圖象”，繼續學習形式為y=（x－h）（x－k），y=－（x－h）（x－k），y=（x－p）2+q，y=－（x－p）2+q的圖象和性質，方法同第二冊一般式的學習，通過使用繪圖軟件呈現出各形式的圖形，再結合圖象探究其性質.

2 分析

在整個單元中，二次函數的圖象和性質是重點，也是培養學生數學思想方法的突破口.通過上述三個版本的編排可以看出，二次函數圖象和性質的教學方式有兩種形式：一種是借助二次函數各形式間的關系，按從簡單到復雜、從特殊到一般的順序來探討；另一種是運用類比推理，先掌握探索一般式下圖象和性質的方法，再以此方法繼續討論二次函數的交點式、頂點式，注重知識的系統性.如“singlee版”教材，從探索y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象和性質到探究y=（x－h）（x－k），y=（x－p）2+q，優點是利于學生將新知識納入到已有的知識體系中，從而建立起知識間的聯系.關于二次函數各形式的呈現順序，三版教材并無二致.“人教版”“康軒版”教材均從y=x2開始，利用平移關系接著探討y=ax2，y=ax2+k，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k，再通過配方法將一般式y=ax2+bx+c化為y=a（x－h）2+k的形式，進而掌握它的圖象和性質，其優點在于結合二次函數各形式間的關系，在揭示數學知識的本質特征和內在聯系的同時，也強化了學生對數形結合思想的理解.

“人教版”教材將二次函數分為三大板塊，即二次函數的圖象和性質、二次函數與一元二次方程、實際問題與二次函數.相比于“康軒版”和“singlee版”，“人教版”將二次函數與一元二次方程單獨作為一課時，引導學生理解一元二次方程與二次函數的區別和聯系.如，二次函數與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程的根；由一元二次方程根的情況，可以確定二次函數圖象與x軸的位置關系；一元二次方程中x的值最多有兩個，而二次函數中x，y之間的對應值有無數組.經歷知識產生、發展的過程可以使學生感受知識是如何生長出來的.教材這樣的教材安排，有助于學生實現函數與方程的相互轉化，利用函數與方程的思想解決問題.

“康軒版”教材的特點在于增設了“二次函數的最大值與最小值”“ 二次函數圖形與兩軸的交點”這兩小節，從二次函數的圖形特征、一元二次方程的公式解及判別式出發，再回到函數性質中去，讓學生經歷借助直觀圖形理解抽象的二次函數的過程.對比“人教版”，兩版教材都將方程與函數思想貫穿于教材中.不同的是，“康軒版”教材先通過判別式Δ=b2－4ac來判斷一元二次方程根的個數，再由求根公式得出圖形與x軸交點的坐標，強調用數學語言刻畫函數性質.“人教版”教材則是通過二次函數圖象看出其與x軸的位置關系，進而確定一元二次方程根的情況，強調函數圖象與性質的聯系.

數和形是數學的兩大支柱，用信息技術勾勒圖形、研究圖形，可以把代數原理形象地表達出來.“singlee版”教材巧妙地將信息技術應用于教學中，并在教材中提供電子資源網址供學生探索，借助其形象、直觀、生動的特點，引導學生觀察不同參數下圖形的變化.教材探究的思路與“人教版”“康軒版”類似，都是先呈現同一變量不同取值下的圖形，再觀察其形狀、位置的變化，最后得出二次函數的性質.但不同的是，該版本中圖形的呈現不依附于教材，而是通過幾何軟件實現，其開口方向、對稱軸、最值、截距也一目了然，使抽象難懂的二次函數生動形象地展示給學生，學生更易發現其中存在的數學規律.

3 幾點啟示

“二次函數”這部分教材內容，主要涉及二次函數的概念、圖象、性質以及其他相關知識，同時也涉及相關數學思想方法的研究.教師通過引入實際問題幫助學生形成函數概念，引領學生經歷從實際問題中抽象出數學知識的過程.在研究函數性質時，并非直接將性質呈現給學生，而是借助直觀圖形學習二次函數的性質，通過圖象探索函數與方程的關系，以此體會數形結合思想在二次函數中的應用，進而促進抽象思維的形成.

“人教版”和“康軒版”教材都有從函數的角度來討論一元二次方程.兩版教材都是將函數圖象與方程的解（根）進行聯系.這種螺旋上升的編排結構可以使方程與函數有機結合，層層深入，滲透函數與方程思想，有助于學生實現函數與方程之間的相互轉化.《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出在“互聯網+”時代，教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果.對于“singlee版”教材使用幾何軟件輔助學生學習，教師在實際教學中有效融入信息技術，可以幫助學生從多方位認識函數的特點，把握函數的本質.