以問題為導向的深度學習

趙慶準　馮莉瓊

摘 要：三新背景下，滿堂灌的傳統教學模式已經很難適應新高考，隨著新課改的逐步推進，課堂上需要學生主動思考與積極參與，以問題為抓手，開展課堂教學，是培養學生學科核心素養的有效手段，本文以“正弦函數、余弦函數的圖象”為例，以問題為導向進行教學，促進學生思維的轉化與發展，走向深度學習.

關鍵詞：深度學習；正弦函數；余弦函數；問題導向

1 問題提出

以問題為導向的深度學習，其目的是促進學生對知識的深度理解與吸收，提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力.

現階段的高中數學教學，教師的教育理念與教學能力有了一定的提高，但是在教學設計與課堂教學方面，顯得比較隨意、淺顯、孤立，這就使得學生對新知的學習浮于淺表，思維并沒有得到提高.合理設計教學過程，以問題為中心，促進學生積極參與到學習中來，激發學生學習的興趣和知識之間的遷移與應用，走向深度學習，是促進學生數學思維的發展，提高學生核心素養與解決問題能力的關鍵所在.教學過程中，問題的設計要有計劃性、要科學合理，既能激發學生學習的積極性，還能提升學生對知識的深度理解.

筆者以高中數學“正弦函數、余弦函數的圖象”為例，就以問題為導向的深度學習在高中數學教學中的具體應用進行實踐與思考.

2 案例分析

2.1 教材內容

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中對三角函數的圖象提出要求：借助單位圓理解三角函數的定義，能畫出三角函數的圖象，了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大（?。┲?依據課標要求，通過本節課的學習，能繪制正弦函數和余弦函數的圖象，掌握正弦函數和余弦函數的基本特征，增強數形結合的能力.

正弦函數、余弦函數的圖象選自《普通高中教科書數學必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數》的第四節，三角函數是基本初等函數里重要的一員，既有其他基本初等函數的共同特征，同時又有自身個性化的性質（如周期性、對稱性等）.三角函數既是刻畫生活中周期現象問題的數學模型，又是后續學習三角函數性質的基礎，在高中數學知識體系中具有承上啟下的作用.

2.2 學生學情

本節課的主要內容是學會用“五點作圖法”刻畫正、余弦函數的圖象，學生在學習了一次函數、二次函數、指數函數和對數函數的圖象與性質后，對利用描點法畫函數圖象、研究函數的一般思路已經有了進一步的認識.同時，前面對三角函數的概念及誘導公式的學習，也從知識層面對本節課的學習做好了準備.但學生還可能在以下幾個方面存在困惑：

（1）三角函數的定義與圖象上任意一點之間的關系認識不到位，利用三角函數定義的幾何意義繪制函數圖象是學生的一大難點.如：如何準確畫出正弦函數圖象上任意一點（x₀，sin x₀）.

（2）余弦函數圖象與正弦函數圖象之間的平移關系理解不到位.如：作余弦函數圖象時，不易聯系誘導公式，利用圖象變換得到圖象.

因此在教學中借助信息技術，給學生呈現作圖過程.作正弦函數的圖象遵循從整體到局部，再從局部到整體，從特殊到一般的原則，整堂課以問題驅動教學，引導學生思考“利用單位圓中正弦函數的定義、弧長公式描出任意點（x₀，sin x₀）”，從而突破“借助單位圓，用描點法作y＝sin x，x∈［0，2π］的圖象”這個難點.

2.3 教學目標

（1）經歷繪制正弦函數圖象的過程，掌握繪制正弦函數圖象的“五點作圖法”.

（2）經歷繪制余弦函數圖象的過程，理解函數圖象變換的思想^［1］.

（3）通過本節課的學習，體會數形結合思想，提升數學抽象、直觀想象的核心素養與合作探究學習的能力.

2.4 教學重點及難點

（1）重點：正弦函數、余弦函數的圖象.

（2）難點：如何得到正弦函數的圖象.

2.5 教學過程

讓同學們課前準備好本節課所需材料：塑料瓶、長方形白紙板、細線、支架.

活動1：小組合作完成該活動.請同學們將塑料瓶的底部扎出一個小孔，使其成為一個漏斗，掛在架子上，一個簡易的單擺就形成了（如圖1所示），在漏斗下方放一塊白紙板，在板的中間畫一條虛線代表坐標系的橫軸.把漏斗裝入細沙并拉離平衡位置，讓其自由擺動，同時勻速拉動白色紙板，在紙板上就會得到一條曲線，在物理中，把它叫做簡諧運動，并將其抽象出來，就可以得到如圖2的曲線，我們把它叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.

【設計意圖】簡諧運動實驗的開展，對學生來說是一個比較新穎的探究過程，既可以讓學生對正弦曲線、余弦曲線有一個直觀形象的了解，激發學生探索新知的欲望，引出本節課的內容，還能加強學科之間的聯系，讓學生了解數學并不是“無用”的，數學來源于生活，服務于生活，提高學生的直觀想象能力.

師：三角函數是我們學習的一類新的基本初等函數，根據之前我們研究函數的思路，請同學們思考我們應該怎樣研究三角函數？研究什么問題？

生：研究一個新的函數，應從以下三個方面進行，函數的定義—函數的圖象—函數的性質.

師：這位同學回答得很好，前面我們學習了三角函數的定義，剛剛在活動中我們又了解了簡諧運動的大致圖象，本節課我們將學習如何繪制正弦函數、余弦函數的圖象.

追問：（1）根據三角函數的定義，需要繪制正弦函數在整個定義域上的函數圖象嗎？（2）繪制一個新函數圖象的基本步驟是什么？

生：我們可以通過列表、描點、連線，先畫出y＝sin x在［0，2π］的圖象，由誘導公式sin（α±2kπ）＝sin α，cos（α±2kπ）＝cos α可以發現，正弦函數、余弦函數的最小正周期為2π，最后通過平移得到y＝sin x在整個定義域R上的圖象.

【設計意圖】教師提出問題，學生進行思考并回答，體現教師為主導，學生為主體的教育理念.教師對學生的回答給予及時的評價與肯定，很大程度上鼓勵了學生的自信心，增強了學生學習的積極性.讓學生復習得出研究三角函數圖象的思路和方法，為后面圖象的探究做準備.

師：繪制正弦函數y＝sin x的圖象，我們需要精準的確定點的坐標，請同學們思考在［0，2π］上如何精準地刻畫出任意一點C的坐標呢？

活動2：為解決如何精準地刻畫出任意一點C的坐標這一問題，教師帶領學生回顧三角函數的定義：在單位圓中，點C的橫坐標x₀實質就是指以OA為始邊，以OB為終邊的角，即AOB＝x₀，如圖3所示.過點B向x軸作垂線，垂足為M，則線段MB的長即為｜sin x₀｜，對于任意一個橫坐標x₀，其縱坐標我們可以用幾何方法精準描出.

【設計意圖】教師引導學生，根據正弦函數的定義確定一個點C（x₀，sin x₀）的位置，降低學生對點C（x₀，sin x₀）的理解難度，為后續刻畫其他點做準備，在這一環節中，學生以問題為導向，以活動任務為驅動，展開了一場師生共同參與的互動，能幫助學生看到知識點之間的聯系，有助于學生對新知進行深度思考.

在繪制函數圖象上任意一點的過程中，如何在坐標系里確定橫坐標x₀是這節課的一大難點.教師可以帶領學生一同完成這一過程，用“手工細線纏繞”的方法找到弧AOB，再用一根沒有彈性的細線，從原點出發，在x軸正方向上量出橫坐標x₀的長度，即可得到橫坐標x₀的位置，這一過程體現了“化曲為直”的化歸思想與數形結合的思想.

活動3：類比指數函數、對數函數圖象的畫法，如何畫出函數y＝sin x，x∈［0，2π］的圖象？

師生活動：讓學生大膽地動手實踐，學生會出現以下兩種情況，然后教師再進行指導與點評，和學生共同完成這一環節.

生甲：在區間［0，2π］內盡可能多地取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接

（如圖4）.

生乙：在區間［0，2π］內取12等分，按照上述方法在坐標紙上逐一繪制，再用光滑的曲線連接（如圖5）.

師生互動：根據學生完成情況，教師用幾何畫板展示上述兩種繪圖過程，讓學生觀察并思考，哪種方法更符合實際？為什么？（多媒體展示，讓學生欣賞作圖過程，體會作圖的精確性）.

【設計意圖】本節課的重點是畫正弦函數的圖象，從抽象的概念到具體圖象的形成，既能培養學生的動手操作能力，增強學生學習的主體意識；又促進了學生數學知識的建構與數學思想方法的形成，培養學生善于思考、善于合作的良好學習習慣.

通過課件演示讓學生直觀感受正弦函數圖象的形成過程，并讓學生親自動手實踐，體會數與形的完美結合^［2］，兩種不同的畫法讓學生很容易想到畫正弦函數的圖象并不是點越多越好，而是要抓住關鍵的幾個點，這給后續“五點作圖法”的學習做了鋪墊.

師：請同學們思考為什么要把圓12等分？其他等分可以嗎？在精確度不是很高的情況下，確定正弦函數的圖象，應重點抓住哪些關鍵點？至少需要哪幾個點？

師生互動：引導學生觀察圖象，學生可以發現，在函數y＝sin x，x∈［0，2π］的圖象上，（0，0），π2，1，（π，0），3π2，－1，（2π，0）這五個點對正弦函數形狀的確定起著關鍵性作用.在坐標系中描出這五個點，根據圖象的走勢，再用平滑的曲線將其連接起來，即可得到函數圖象，這種方法叫做“五點（作圖）法”.

【設計意圖】通過引導學生觀察圖象，歸納得出“五點作圖法”在畫正弦函數圖象中的作用，這是本節課的一大重點，也是后續畫任意一個三角函數圖象的基礎，應重點和學生強調三角函數的圖象特征，培養學生的直觀想象、數學抽象等核心素養.

師：根據函數y＝sin x，x∈［0，2π］的圖象，請同學們畫出正弦函數y＝sin x，x∈R的圖象.

師生互動：學生畫圖，教師予以指導和點評.終邊相同的角有相同的三角函數值，所以只要將函數y＝sin x，x∈［0，2π］的圖象向左、右平行移動（每次2π個單位長度），就可以得到正弦函數y＝sin x，x∈R的圖象，讓學生體會圖象從部分到整體的變化過程，體會化復雜為簡單的化歸思想.

畫出完整的圖象以后，教師指出，正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線.

師：請同學們思考正弦函數圖象研究完了，如何研究余弦函數圖象呢？

師生互動：在這個環節中有的學生會類比研究正弦函數圖象的方法，利用描點法來刻畫余弦函數的圖象，教師應對學生給予充分的肯定，同時，引導學生猜想正弦函數與余弦函數之間的關系，自然而然引出前面所學的誘導公式，通過平移即可將正弦函數變成余弦函數.

生：通過誘導公式cos x＝sinx＋π2，可以實現兩者之間的轉化.

師：根據上述問題，思考正弦函數y＝sin x和余弦函數y＝cos x的圖象有什么關系？

生：根據誘導公式cos x＝sinx＋π2，我們把正弦函數y＝sin x的圖象向左平移π2個單位長度以后，即可得到余弦函數y＝cos x的圖象.（教師用課件演示正弦曲線平移為余弦曲線的過程，如圖6）.

追問：你能在兩個函數圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？

活動4：教師可以先選擇一個具體的點，和學生一起進行分析，然后上升到對一般點的分析，得到圖象之后還可以再利用圖象進行驗證.

預設的答案：設（x₀，y₀）是函數y＝cos x圖象上任意一點，則有y₀＝cos x₀＝sinx₀＋π2.

令x₀＋π2＝t₀，則y₀＝sin t₀，即在函數y＝sin x圖象上有對應點（t₀，y₀）.

比較兩個點（t₀，y₀）與（x₀，y₀）.因為x₀＋π2＝t₀，即x₀＝t₀－π2，

所以點（x₀，y₀）可以看作是點（t₀，y₀）向左平移π2個單位長度得到的，只要將函數y＝sin x圖象上的點向左平移π2個單位長度可得到函數y＝cos x的圖象，如圖6所示.（余弦函數y＝cos x，x∈R的圖象叫做余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線）

【設計意圖】如何刻畫余弦函數的圖象，教材中是以一個探究的形式出現，根據學生學情和認知水平，筆者把教材中的探究問題分為兩個問題，難度逐層增加，引導學生思考sin x和cos x的關系，并從解析式之間的關系思考函數圖象之間的關系，既符合學生的現階段的認知，又可以激發學生通過圖象變換得到余弦函數圖象的探索欲望.同時用課件演示正弦曲線平移為余弦曲線的過程，使學生更好地掌握正弦函數與余弦函數圖象間的關系.

活動4的開展是對正弦函數與余弦函數圖象平移結論的一個升華，讓學生不僅從“形”的角度深刻感受到函數圖象平移過程的動態美，而且還從“數”的角度認識到數學的嚴謹，是學生對知識進行遷移與應用的良好契機，促進了學生對知識的學習與理解，增強學生的深度思考與邏輯思維的轉化能力.

師：類比正弦函數圖象的五個關鍵點，找出余弦函數y＝cos x在區間［0，2π］上相應的五個關鍵點，如圖7.

【設計意圖】在學生熟悉圖象特征后，引出余弦函數y＝cos x在區間［0，2π］上相應的五個關鍵點（0，1），π2，0，（π，－1），3π2，0，（2，1），在精確度要求不太高時，只要畫出這五個關鍵點，余弦函數的圖象就基本確定.

師：類似于用“五點法”畫正弦函數的圖象，你能找出余弦函數在區間［－π，π］上相應的五個關鍵點嗎？可以畫出y＝cos x，x∈［－π，π］的簡圖嗎？

【設計意圖】通過正弦函數與余弦函數的相互關系，在類比的過程中畫出余弦函數的圖象，體會知識間的聯系和類比的數學思想^［3］.

追問：如何用“五點法”作出下列函數的簡圖？

（1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］；

（2）y＝－cos x，x∈［0，2π］.

師生活動：學生先獨立完成，然后就解題思路和結果進行展示交流，教師點評并給出規范的解答.

【設計意圖】通過例題檢驗學生對五點作圖法的掌握情況，鞏固畫法步驟.通過分析圖象變換，深化對三角函數圖象關系的理解，并為后續學習三角函數的性質作好鋪墊，增強學生的直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心素養.

2.6 課堂小結

先由學生回憶本節課學習內容，自行總結歸納并回答，教師再作補充完善.

【設計意圖】對課堂知識和思想的總結，加深對正弦函數、余弦函數的理解，提升學生的概括能力，養成學習—總結—學習的良好習慣，培養學生歸納總結和語言表達能力，自主構建知識體系.

作業布置

（1）必做題：①課本34頁練習1，②用“五點法”畫出y＝sin 2x，x∈［0，π］的圖象.

（2）思考題：用“五點法”畫出y＝sin 2x＋π6，x∈［0，π］的圖象，并思考其圖象可由y＝sin 2x，x∈［0，π］的圖象如何變換而來？

【設計意圖】作業的布置旨在增強學生對所學新知的遷移與應用.既有必做題，也有思考題，符合分層教學的原則，必做題讓學生鞏固所學知識，思考題是對本節課“五點作圖法”的鞏固與應用，讓學有余力的學生有發揮的空間，是對本節課內容的拓展與延伸.通過分層作業的布置，充分激發不同層次學生的潛能與積極性，促進學生的自主發展，注重學生的個體發展，使每個層次的學生都有所進步.

3 反思總結

3.1 以教學目標為指引，問題為主線設計教學活動

整堂課以預設的學習目標為指引，以問題串的形式展開，小組合作探究完成具體的實踐活動，學生在課堂上進行了深度思考，真正參與到課堂活動中來，無論是從思維層面，還是理論層面，學生都得到了很好的提升，增強了學生分析和解決問題的能力，調動了學習的熱情，真正體現了教師只是課堂活動的組織者和引導者，學生才是課堂的中心這一基本理念.立足學生學情，設計優質有效的教學設計是確保高中數學課堂活動成功開展的核心和關鍵，也是培養學生進行深度學習的有效途徑，更是培育數學學科核心素養的關鍵.

3.2 以問題為導向，促進學生進行深度學習

通過問題為導向的深度學習，才能真正讓學生進行深度思考與深度理解，在這個過程中強調學生的主體地位，要學會主動學習，隨著問題與活動的開展，教師將學生的學習興趣與自信心引到一個新的高度，精心設計教學問題與實踐活動，具有啟發與指導作用，學生在學習的過程中，逐漸認識到學習數學的有趣性，體會數學研究的價值，從而提高學生的學科核心素養.

為了促進學生進行深度學習，教師應當充分發揮學科特點，積極挖掘教材，精心設計教學問題.在教學實踐中，通過適當的引導，喚起學生的已有認知，建立起新舊知識間的橋梁，從而使學生掌握知識的本質，在問題的解決中體會數學的價值，從而達到深度學習的要求^［4］.

參考文獻

［1］楊龍.理性精神引領下的數學課堂教學研究——以“正弦函數、余弦函數的圖象”為例［J］.中學數學月刊，2022（11）：32--34．

［2］練富強.“同課異構”彰顯教學設計，反思數學教學——“正、余弦函數的圖象”同課異構教學設計有感［J］.課程教育研究（新教師教學），2014（5）：269-＋282.

［3］毛春艷.高中數學課堂教學目標確定的可實施性的研究與實踐［D］.武漢：華中師范大學，2016．

［4］趙世恩，劉子鈺.“問題導向”下促進深度學習的教學實踐研究——以小學數學為例［J］.課程·教材·教法，2023，43（1）：131--137．