對高中數學有效問題的思考與實踐

邱明朗

［摘? 要］ 問題教學作為高中數學教學的重要教學模式，其在培養學生學習能力、學習興趣，發展學生數學思維，提高學生數學應用能力等方面有著重要作用. 為了提高問題教學的有效性，教師應在問題的設計上下功夫. 文章分析了問題設計中存在的一些問題，剖析了有效問題的特征，提出常用的有效問題的設計策略，以期在有效問題的引領下，讓課堂變得更高效.

［關鍵詞］ 問題教學；有效問題；設計策略

問題教學就是以問題為主線，將知識點以問題的形式呈現在學生面前，引導學生通過獨立思考、合作探究來探索、尋求解決問題的方法，以此掌握知識，培養技能. 問題教學為學生提供了一個合作、交流、發現的平臺，在這樣的平臺上學習有助于提升學生的自主學習能力，有助于發展學生的數學思維，有助于培養學生的創新意識. 在問題教學中，問題的有效與否直接關系到教學效果. 因此，教師在設計問題時需要仔細研究教學、研究教材、研究學生，從而設計有效問題，成就高效課堂. 不過，問題教學中也存在一些低效或無效的問題，筆者基于這些的問題，談幾點對有效問題的認識，僅供參考！

存在的問題

在實際教學中，部分教師因為對有效問題的理解不夠深入，使問題設計出現了一些不盡如人意的情況，主要表現在以下幾個方面：

（1）問題設計脫離了學生的實際情況. 教師設計問題時，若脫離學生的實際情況，則容易因問題的難易程度設置不當而影響教學效率. 若問題設計得過易，學生無須思考就能解決，這樣難以誘發學生思考，難以激發學生的探究欲；若問題設計得過難，學生經過思考仍然感覺“高攀不起”，難以激發學生的學習信心和學習興趣.

（2）問題設計忽視了學生的心理因素. 在問題教學中，為了凸顯問題的價值，部分教師常將課堂打造成“滿堂問”的課堂，忽視學生的心理因素的變化，使學生在學習中出現了厭煩情緒，這樣的課堂顯然難以激發學生的學習動機，難以調動學生參與課堂的積極性，難以激發學生的學習熱情.

（3）問題設計脫離了課堂教學主題. 有時教師沒有考慮為何設計問題——只是為了“問題”而設計“問題”，問題因偏離主題可有可無. 這樣的問題不僅會消耗學生的學習精力，還會因為無效使教學效率大打折扣.

可見，以上問題的存在，影響教學的有效性. 要知道，數學學習過程不單是接受知識的過程，也是發現、分析、解決問題的過程，還是發展、創造新知識的過程. 在數學學習過程中，往往需要一些有針對性的、有目的性的，符合學生實際的、誘發學生思考的、激發學生動機的有效問題的引導. 因此，在教學中設計有效的問題就顯得尤為重要，值得教師深入探究和仔細研究. 那么有效問題有何特征？在教學中如何建構呢？

有效問題的特征

有效問題應從學生的實際情況出發，緊緊圍繞教學目標和教學內容設計，應具有一定的探究性、目的性和指向性，能激發學生的探究欲，鼓勵學生去質疑、分析和推理，從而提升學生的學習技能，提高學生的思維能力，促進學生全面發展. 仔細研究有效問題，發現其具有以下基本特征.

1. 問題圍繞教學目標設計

問題為實現教學目標服務，有效問題應圍繞教學目標、緊扣教學主題而設計，只有這樣才能突出教學重點和突破教學難點，幫助學生掌握疑難點，真正做到有的放矢. 如果漫無目的地設計問題，那么學生無法根據問題掌握知識的本質和核心，這樣既達不到教學目的，還會分散學生的注意力，影響教學效果.

（2）結合問題（1）的運算結果，你能發現什么結論？

以上問題是在探究“等差數列性質”時設計的，教師先讓學生獨立解題，而后合作交流.

師：問題（1）的運算結果是什么？（對比發現規律）

師：根據問題（1）的運算結果，你能得到一般結論嗎？

師：你能證明這個結論嗎？（學生合作完成）

師：根據以上性質，你還有什么發現？還能得到什么結論？

……

以上問題是緊緊圍繞“等差數列的性質”而設計的，引導學生自主發現、猜想、驗證，通過獨立思考、合作探究逐漸突出教學重點、突破教學難點. 以上問題的設計是自然流暢的，有效的，通過由淺入深的層疊問題引導學生摘到“桃子”.

2. 問題符合學生的實際認知水平

有效問題應基于學生的“最近發展區”而設計. 若問題基于“現在發展區”而設計，難度太小，學生不需要思考就能解決，難以引發學生深度思考，不利于學生發展；若問題基于“將來發展區”而設計，難度太大，學生“跳一跳”仍然夠不著“桃子”，這樣容易挫傷學生的學習信心，同樣不利于學生發展. 因此問題必須基于學生的“最近發展區”而設計，讓學生感覺“桃子”觸手可及，但要“跳一跳”才能摘得到，這樣才能真正提高學生探索問題的熱情，提升教學品質.

（1）請給a，b一組具體值，使直線l與橢圓C相交.

（2）如果直線l與橢圓C相切，那么a，b滿足什么條件？

（3）若a+b=1，直線l與橢圓C的位置關系是什么？

（4）若想求出直線l的方程，可以添加一個什么條件呢？

以上問題是在復習“直線與圓錐曲線的位置關系”時設計的，問題的難度不大，具有一定的開放性，讓學生有一種既熟悉又陌生的感覺，極大地調動了學生參與的積極性. 同時，借助問題（5）引導學生將橢圓問題的解決經驗遷移至雙曲線和拋物線問題上，既鞏固了知識，又實現了知識遷移；既順應了學生的個性發展，又提升了教學有效性.

3. 問題關注學生的心理因素

若想借助問題調動學生學習的積極性，誘發學生主動學習，激發學生的求知欲望，則問題應該是學生想要的，新穎激趣的，有誘惑力.

案例3 對數的概念.

師：下列兩行數中，第一行是2的指數，第二行是2的冪數.

第一行：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，11，12，13，14，….

第二行：1，2，4，8，16，32，64，128， 256，512，1024，2048，4096，8192，16384，….

師：你們從第二行數中任意取兩個數，我不用筆算就能快速給出它們相乘的結果，你們信嗎？

（很多學生投來疑惑的眼神）

生1：16×128.

師：2048.

生2：64×256.

師：16384.

（學生投來佩服的眼神）

師：其實你們也可以，將兩行數對應起來一起看，觀察第一行中對應數的和，你們有什么發現嗎？

（學生通過觀察、交流，發現了秘密.）

師：你們知道其中的數學原理嗎？

對數的概念比較抽象、難以理解，而巧妙地利用數字游戲不僅能夠激發學生的好奇心，吸引學生的注意力，還可以有效培養學生的問題意識. 另外，教師引入數字游戲還有一層深意，即帶領學生重溫對數發明史，讓學生體會數學的價值，認識數學的本質，激發學生學習數學的興趣. 實踐證明，當學生的學習興趣被激發后，課堂教學往往能取到事半功倍的效果.

有效問題的建構

了解了有效問題的特征，那么在實際教學中應如何設計有效問題呢？筆者結合教學經驗，介紹幾種常用的設計策略.

1. 情境化設計

數學源于生活、用于生活，只有將數學與生活有機地融合在一起，有意義的學習才有可能發生. 因此，在實際教學中，教師不妨將問題置于某個情境中，以此拉近學生與數學的距離. 實踐證明，數學與生活的聯系越緊密，越能調動學生的探究欲，越能拉近學生思維與問題的距離，這樣既能淡化數學的抽象感，又能讓學生真切地體會到數學知識的應用價值，讓學生感覺數學學習是一件有趣且有價值的事情，以此激發學生想學、樂學，提高教學的有效性. 另外，借助情境化設計，有助于培養學生的形象思維能力和抽象思維能力，有助于發展學生的創造性思維.

案例4 任意角.

在新課引入環節，教師設計了以下問題情境.

情境1：回顧舊知.

初中時是如何定義角的？你所了解的角的取值范圍是什么？

情境2：聯系生活.

生活中有很多角不在［0，360°］內，你能列舉一些實例嗎？

以上情境從學生的認知水平出發，引導學生回顧初中所學的角，為接下來角的推廣做鋪墊. 另外，借助情境引導學生聯想生活中的角（如體操運動中的翻轉、跳水運動中的翻轉等），這時學生能夠發現生活中有很多角不在［0，360°］內，以此讓學生體會推廣角的必要性，激發學生推廣角的熱情.

2. 針對化設計

有效問題的設計既要緊扣教學目標，又要順應學生的思維發展，應從學生的認知水平出發，按照知識發展的邏輯順序精心開展，從而通過有序化、針對化的引導，實現教學過程的高效化. 反之，若問題的設計偏離主題，或不符合教學客觀律的教學順序，課堂將陷入無序狀態，不利于教學活動的順利開展.

案例5 探究“一元二次不等式的解法”.

在教學中，單一地講授不等式的具體解法，不僅會讓學生感覺課堂枯燥乏味，而且難以呈現不等式與方程、函數等相關知識的內在聯系. 因此，探究“一元二次不等式的解法”時，教師從學生熟悉的方程入手，通過問題有序化、針對化的設計，培養學生探究數學的熱情. （問題如下）

（1）解下列方程：①x2－1=0；②x2－2x+1=0；③2x2－x－3=0；④x2+x+1=0.

（2）畫函數y=2x+1的圖象，結合圖象寫出當自變量x>1時，函數值y的范圍；當y<1時，自變量x的范圍.

（3）畫函數y=2x2－x－1的圖象，并求其零點.

（4）觀察y=2x2－x－1的圖象，分別寫出當圖象在x軸上方、下方時，自變量x的范圍.

（5）聯系舊知，你能為一元二次不等式下定義嗎？

（6）如何求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）.

（7）請自己列舉幾個一元二次不等式，與同桌交流并求解.

（8）你掌握了幾種解一元二次不等式的方法？

在上述案例中，以探究“一元二次不等式的解法”為主線，從學生的已有知識和經驗出發，引導學生通過回憶、觀察、分析，將函數、方程、不等式等相關知識緊密地聯系在一起，歸納多種常用的解題方法. 以上問題的設計體現了知識發展的邏輯順序，通過由淺入深、由特殊到一般的教學順序，調動學生自主探究的積極性，提升了學生的數學學習信心.

3. 層次化設計

問題設計的難易程度直接關系到問題設計的有效性，因此教師設計有效問題時需要把控好“度”. 面對那些難度較大，不利于理解的問題，教師可以將其拆分成有層次、有梯度的問題串，讓知識的發生過程伴隨著由淺入深的問題逐步展開. 當然，在設計這些層次性問題時，除了考慮難度外，還要關注其啟發性、邏輯性、探索性，這樣才能確保學生在解決好最近發展區內的問題后自動地進入下一個層級，讓思維能力和學習能力不斷提升.

案例6 對數的概念.

（1）已知2x=1，則x=______；已知2x=4，則x=______；已知2x=8，則x=______；已知2x=9，則x=______；已知2x=－1，則x=______.

（2）2x=9，2x=－1中的x一定存在嗎？若存在，答案唯一嗎？

（3）已知x2=4，則x=______；已知x2=5，則x=______. 出現根式對你有何啟發？

在實際概念教學中，大多數教師只關注概念的嚴密性，導入方式比較單一，常常是講完概念后就進行大量訓練，這樣的概念教學死板、千篇一律，難以激發學生學習的積極性. 另外，直接講解概念而不讓學生經歷概念形成的過程，則無法揭示概念的內涵和外延，這樣學生難以應用概念解決問題. 為了改變這一現象，在對數概念教學中，教師從方程的角度出發，與學生一起復習指數運算與指數函數，利用環環相扣的問題讓學生經歷對數形成的過程，領悟引入新概念、新符號的必要性. 另外，通過啟發性問題的引導，逐漸揭示了概念的本質，實現了認知深化.

當然，有效問題設計策略并不局限于上述幾種，還有趣味化設計、實驗化設計、整體化設計等多種策略. 不過無論應用何種策略，都應符合有效問題的基本特征，以此發揮問題教學的優勢，讓學生在有效問題的引領下思考、成長和發展.