運算教學一致性的思考與實踐

王靈勇 姜瀅

［摘? 要］ 運算領域的知識存在一定的內在邏輯關聯，教師要基于整體視角進行結構化教學，體現運算教學的一致性。通過對二年級學生進行調研，以及從教材、學生認知特點、教師的教學進行深入分析，探究學生在“退位減法”計算時易錯的原因?；谛抡n標運算教學一致性理念，研究者提出內容從模糊到清晰、算理從表面到深入、練習從單一到系統等三個方面的對策。

［關鍵詞］ 錯誤；退位減法；算理

一、問題緣起

筆者在教學二年級退位減法（被減數中間和末尾有零）時發現學生雖然做對了題，但是不明白算理。在導學環節筆者出示題目：500-348，讓學生先獨立開展試學，然后請“小先生”展示交流自己的計算方法。

筆者根據學生的反饋情況進行追問深研：“十位上答案5你是怎么想的？”學生A回答：“十位上的0不夠減，需要從百位借出1?！边@時候學生B舉手回答：“我沒算，但是我不明白為什么要向個位退1，所以十位就是9?！?/p>

筆者追問：“你們聽懂了嗎？被減數個位上的‘0、十位上的‘0上面都有退位點，怎么個位是10、十位變成9了呢？”

學生的回答讓筆者陷入了沉思：0上都有退位點，為什么被減數十位上變成9呢？學生理解的難點在哪里？教師在教學中需要特別注意什么呢？

二、深入調查

退位減法的教學中，當哪一位不夠減的時候向高位借“1”，在這一過程中學生運算時常常會出現一些問題。上述課堂教學中學生不明白算理是個別現象，還是普遍現象呢？基于此，筆者對學校三年級4個班160名學生進行了一次調研（測試內容如下）。

1. 列豎式計算

（1）500-298=? （2）350-149=

（3）409-314=? （4）114-107=

（5）135-46=? ?（6）203-193=

（7）814-737=? （8）423-269=

（9）100-591=? （10）6375-486=

（11）403-158= （12）1010-999=

2. 選擇題

（1）在計算500-298時，按照怎樣的順序點退位點（? ?）。

A． 先點十位，再點百位

B． 先點百位，再點十位

C． 沒有規定

（2）如圖1，所表示的豎式計算中，圈出部分所代表的含義是多少？

A． 2? ?B． 1? ?C． 12? ?D． 11

（3）如圖2，所表示的豎式計算中，圈出部分所代表的含義是什么？

A． 10-1? B． 9+1? C． 沒有含義

總體而言，學生對退位運算的理解有難度，錯誤率很高。其中列豎式計算（具體情況統計如表1）中題（7）、題（9）連續退位學生錯誤率分別是35.86%和28.97%；題（1）第一步先確定退位點在哪個位置的錯誤率有14.48%；題（8）退位點表示實際含義學生錯誤率有24.14%；題（11）被減數數中間有0，需要向高位借“1”錯誤率很高，達到了37.93%。

退位有兩種不同的意義，第一種表示向前一位借“1”；第二種表示和原來的數相加。學生在計算過程中忘記和原來的數字相加，類似的錯誤占30%以上。學生受到知識經驗的影響，不能理解退位的意義：有時候要求退位一次卻退位了兩次（如圖3），有時候根本沒有退位卻退位（圖4），有時候不需要退位卻退位（圖5），忘記加原來的數字（圖6），1和0退位后含義混淆（圖7），忘記連續退位（圖8）。

三、成因分析

調研測試中的第一種題是立足于教材內容進行靈活變換，而第二種題是根據退位點的理解改編的。筆者通過對錯例的分析和對學生進行訪談，發現學生退位減法中存在諸多的問題。

1. 思維過程的單一

低年級的學生數學思維比較單一，學生對退位減法算理的理解比較薄弱。學生需要經歷復雜的思維過程才能理解什么時候進行退位運算、怎樣進行退位運算。比如在教學三位數連續退位減法時，多個數位連續進行退位形成了錯綜復雜的思維過程，這是教學的一大難點。特別是十位、百位、千位上相減時，既要從高位上“退1當10”，與本數位上的數字相加再減，同時還要減去借走的1后繼續減，但是低年級的學生思維缺少全局性，導致錯誤頻出。

2. 繁與簡的矛盾

解決退位減法問題蘊含著很多的方法策略和結構化思維路徑，比如前測中學生呈現的問題：該退位1次的時候，卻進行了2次退位；百位和千位退位遺忘，不該退位的時候亂退位；借來1以后忘記和原數相加，連續數位出現退位錯誤頻繁；數位上1和0的退位運算難以區分等。在實際的教學過程中，教師為了提高學生計算技能和速度，常常讓學生在實際的計算過程中省去繁雜的計算過程，以實現計算簡便，達到計算方法自動化水平。

3. 教學中的不足

（1）教學過程過急

運算教學中部分教師為追求正確率和速度，忽視了學生對運算過程的探究，想當然地認為運算課比較簡單，并忽視了學生學習過程的持續推進，對算理的探究教得過急，過早總結運算的方法，用自己的“教”取代了學生的“學”，導致學生對算理悟得不深、學得不透。事實上，學生對連續退位過程意義的理解是比較難的，教師要借助幾何直觀充分展示交流學生的豎式計算過程，激活語言表征，幫助學生理解退位減法算理的本質。

（2）退位意識淡薄

為什么會出現退位減法？數學源于生活，退位減法的產生源于現實生活的需要。比如計算72-45，教材會提供退位減法的過程暗示，個位上2不夠減6，這時需要到十位上借1，表示1個10，12減5等于7。在實際的教學過程中，教師要鼓勵學生采用不同的方法進行計算和對比溝通，體現算理的一致性。比如，有的學生會把72看作75，75減45，得30，再減3得27；有的學生先看十位，先用70減40，再用32減5得27等。教師要讓學生在方法對比辨析中發現不管哪種方法都有退位的過程，其“理”具有一致性，將退位意識根植在學生的頭腦中。

（3）錯因分析不透徹

學生退位減法出錯時，教師往往簡單粗暴地解決，認為是學生審題不認真，計算不認真，過于粗心，打個叉叉，讓學生繼續訂正，或者通過反復的練習加強鞏固。但是在后續的作業中學生仍然頻繁出錯，這樣的教學治標不治本。事實上很多的錯誤并非學生粗心所致，而是由于學生計算能力的不足，計算素養的缺失，對計算方法領悟不透。

四、教學對策

數學課程標準強調課程內容要體現整體性，要體現運算教學的一致性。教師要打通運算及運算之間內在關聯性，體現運算教學的一致性，提高學生的運算能力和推理意識。運算教學一致性不僅體現在教學內容之間存在一致性，也體現在知識背后的思想與方法存在一致性，即所謂的“通法”［１］。

1. 內容展示：由模糊到清晰

培養學生計算技能，教師要讓學生深刻理解每一步運算的道理，要通過問題導學、自主試學、展學交流、研學分析、類比，實現不同方法之間的融會貫通，對算法的理解從混沌變清晰。

（1）算式和圖的類比

案例1? 百以內的退位減法

活動1：學生根據具體情境（如圖9），嘗試列式解答。

活動2：直觀輔助理解算理。

你能看懂小棒圖（如圖9）表示的意思嗎？它和算式之間有怎樣的聯系？說一說自己的想法。

活動3：根據圖列出減法算式。

師：如圖10，看到圖形，你能想到什么算式？

生：314-25。

師：該得幾呢？……

（2）豎式間的溝通

教師要讀懂學生的思維，溝通學生不同的算法，糾正學生錯誤的想法，計算教學才能實現“明理通法”。課堂上，當學生出現很多的計算方法后，教師要選擇典型方法，引導學生對比分析兩組算式之間的區別和聯系。

對比一：如圖11，兩種方法計算順序不同，左邊先十位后個位，右邊先個位后十位。

對比二：如圖12，兩種計算過程不同，左邊先加后減，右邊先減后加。

對比三：如圖13，左右兩邊退位計算的記作方式不同。

學生的思維方式是百花齊放的，在教學中稍縱即逝，課堂上教師要充分利用這些有價值的學生作品開展深度探究，達到“明理通法”，融會貫通。上述案例中，有的學生受口算方法的影響采取了先算高位再算低位；有的學生受巧算方法的影響采用了先減后加；還有的學生對退位進行了個性化的理解。通過不同層次的對比分析，學生明晰了低位算起計算“序”的重要性，規范了退位運算的過程。

2. 算理理解：由表面到本質

教學是一門“慢藝術”，教師要讓學生充分經歷探究算法、理解算理的過程，激活學生已有知識經驗，通過數形結合、動手操作、類比遷移、總結歸納等方法理解算理本質。

（1）圖示——顯現算理

在被減數末尾和中間有零的退位減法中，比如500-403和500-133，教師要鼓勵學生通過畫一畫的方法表示自己的思考過程（如圖14）。

學生通過畫圖來理解減法退位的過程，將十位退1借10，百位退1借100的過程，化退位的思維抽象為直觀。

（2）操作——支撐算理

借助計數器模型，教師要強化學生對位值制的理解，使學生清晰理解退位的整個過程，讓學生通過撥一撥、想一想、說一說將筆算過程展示出來，感受計數器中退位其實是把本來珠子不夠的數位，變得珠子更多。

案例2? 萬以內的退位減法

出示圖15，提問1：個位上1減7不夠減怎么辦？想一想、撥一撥、說一說自己的想法。

請學生上臺演示，邊操作邊交流：個位上不夠減，十位上借1個珠子給個位。

接著教師進行操作演示，一邊在計數器上撥珠子，一邊用數字記錄整個過程，深刻理解退去用減、借來用加的整個過程。

提問2：十位上1個珠子表示什么意思？借給個位后要注意什么？

學生通過交流明確十位上1個10等于個位上10個1，10個1和個位原來的1個珠子合起來得到11，在1的上方用11來記錄。

提問3：現在個位上怎么減？想一想、撥一撥、說一說。

學生交流后，理解11個珠子減去7個，在計數器個位撥去7個珠子。

提問4：仔細觀察，十位上發生了什么變化？又該怎么辦？

學生交流自己的想法，根據個位上的經驗進行遷移運用。

提問5：百位上退1表示什么意思？十位上借1后發生了什么變化？在學生交流的過程中教師把動態變化的過程用數字來記錄，最后在計數器的十位上撥去9個珠子。

學生獨立計算后，教師讓學生完整地表述整個豎式計算的過程。教師順勢進行小結，強調退位減法的注意點、豎式規范的書寫格式以及退位的簡捷標記方法。

連續退位的計算，學生的錯誤率很高，因此在教學中教師要注重將操作演示與抽象算理之間進行勾連，通過學生撥一撥、說一說和教師演示強化，讓學生對退位減法的過程建立深刻的表象，有效突破學習的難點。

（3）運用——扎根算理

數學來源于生活，運用于生活，學生對算理的理解需要在生活情境的運用中找到原型，得到鞏固、強化、扎根。

案例3? “百以內數加減法”片斷

呈現情境：亮亮有4元錢，拿走了3角5分，還剩下多少錢？

學生根據實際情境寫出算式：400-35。

學生嘗試用人民幣模型進行操作，先把1元轉化成10角，然后把10角中的1角轉換成了10分。

教師提問：剛才轉化人民幣的過程和減法過程有著怎樣的聯系？

深入交流：被減數的個位和十位都是0，為什么個位是10減去5，十位上是9減去3？在計算的過程中要注意什么？

通過人民幣的情境來理解退位的過程，激活了學生的已有經驗，將元、角、分單位的轉化與計數單位的轉化建立聯系，既直觀又生動，使學生對算理的理解更加深入。

（4）歸納——內化算理

教師要鼓勵學生嘗試用不同的方式將計算的算理描述出來，給足時間讓他們充分探究、交流、鞏固和總結歸納算理。

①顏色區分。豎式中借助不同的顏色可以有效凸顯退位的過程、計算的順序，如圖16所示，分別用了兩種不同的顏色代表退位的變化和位置值情況。

兩種方法都不約而同用不同的顏色突出重點，化解難點。

②填寫補白。教師要倡導學生把思維的過程用文字寫出來，滲透嘗試與猜想的數學思想。比如筆者在“百以內的退位減法”教學中提出數學問題，列出橫式“52-17”之后，讓學生嘗試用列豎式的方法計算，出示圖17。

用長方形空白填寫位置值，用正方形格子代表退位后數位上數值的變化，這樣的留白填寫能激發學生的創造思維，主動構建數值變化的準確值，在交流碰撞中理解退位的本質含義。

③斜線演示。通過畫圖的形式，幫助學生更好地建構退位減法的解題結構，如圖18，用畫斜線形象地對退位減法的過程進行演示。

教師出示圖18①算式，讓學生們用自己喜歡的符號，表示出退位減；圖18②大部分學生通過知識遷移用畫斜線的方式表示退位；圖18③，還有少部分學生選擇畫圈，代表隱藏起來了，代表數值產生了新的變化。

3. 練習設計：從單一到系統

（1）注重培養學生的退位意識

在練習設計方面，如圖19，教師應該根據數的位值制意義及數的拆分與組成原理，通過動態圖的引導，培養學生的退位運算意識，提高計算的分析能力和思維能力。

（2）注重培養思維的全面性

通過計算打通加減法之間的互逆關系，能培養學生思維的全面性。如圖20，同一種算式，教師先讓學生完成左圖豎式，然后不改變數字而通過改變補白位置，從而讓思維走向全面。

總之，從一個退位“點”的問題開始，教師在退位減法的教學活動中要盡量拉長學生的思維時間，不要急于公布計算的結果。通過”變教為學“的課堂設計，學生在探究性學習的過程中可培養思辨、推理的能力，感悟運算算理的一致性。教師要正視學生的問題，關注學生背后隱藏的想法，引導和鼓勵學生主動嘗試不同維度的“退位計算”，嘗試運用數形結合方法，讓退位運算意識植入學生的腦海里。教師要讓每一個學生都有機會思考，一個會思考的學生可以走得更遠。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（２０２２年版）［M］． 北京：北京師范大學出版社，２０２２．