學科育人視域下的“數學美”滲透

華秀祥

［摘? 要］ “數學美”是立體、多元的。從學習的視角來看數學美，不能只看到數學的“本質美”，還要看到數學的“育人美”。學生通過數學學習變得更會看（觀察）、更會想（思考）、更會說（表達），讓自身的成長更有力量。

［關鍵詞］ 數學美；本質美；思維；立德樹人

美是人們對事物的一種感覺。希臘語審美（Aesthetikos）原意就是感覺。對于美而言，客觀的本質屬性就是審美的對象，能引發人們從各個角度觀察與追求：一方面，人們借助數學能夠很好地認識、理解和表達現實世界中的那些具體的、具有規律性的東西。正如馬克思所說，美的客觀本質屬性相對穩定，具有規律性；另一方面，數學本身具有美的本質屬性（簡潔、對稱、周期、和諧）。許多數學家不僅從邏輯的角度，還從美的角度審視數學結論。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）規定的數學學習的“總目標”提出：“對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學美，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心，養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神?！保郏保菘偰繕税选靶蕾p數學美”跟“興趣”“信心”“習慣”等放在了一起，將其列入了“情感態度與價值觀”。數學美的教學分布在新課標“學段目標”中：一、二年級“感受數學美”，三、四年級“體驗數學美”，五、六年級“體驗并欣賞數學美”，七、八、九年級“欣賞并嘗試創造美”。

一、欣賞數學的“本質美”

愛因斯坦說：“美，本質上終究是簡單性?！薄吨芤住は缔o》中記載：“易則易知，簡則易從……易簡而天下之理得矣?！敝袊軐W倡導大道至簡，人們普遍認為恰到好處的簡潔是一種美。數學的首要特點就是它的簡潔性［２］。

“用字母表示數”主題單元教學含有字母乘法算式的簡寫，用含有字母的乘法算式表示數量關系比文字簡單，學生有深刻的體會?？刹豢梢员硎镜酶唵?？面對教師的問題，學生一臉疑惑，教師用“小度講故事”的形式讓學生自學。含有字母乘法算式的簡寫規則是本單元教學的重點和難點，學生單靠自學肯定不能將知識內化。

首先，讓學生開展小組合作學習，組內交流自己的收獲；然后，第二組的4個學生到講臺與全班交流，其他5個小組進行補充。在組與組、生與生的思辨中，學生知道：含有字母的乘法算式，乘號可以簡寫成“·”，或者省略不寫。字母和數字相乘，如果要省略乘號，必須把數字寫在字母的前面；字母和1相乘時，字母前面的1可以省略不寫；兩個相同的字母相乘，可以寫成字母的平方，表示兩個相同的字母相乘。教師讓學生講述自己的體會，學生一致認同數學的“簡潔美”。那一刻，數學的簡潔美已經在學生的心中播下了種子。

學以致用——教師首先讓學生把4×a以及正方形周長（C＝4×a）和面積（S＝a×a）計算公式用更簡單的形式表示，使學生熟悉簡寫規則；然后通過游戲進行深度學習：要求學生辨析a＋a可不可以簡寫？如果可以，怎么簡寫？表示什么意義？它和a×a有什么區別？教師精準拋出一系列和字母學習主題有關的深度核心問題后，學生進行了熱烈的討論。圍繞這些核心問題，學生能在質疑、辯論、反思中感受數學的簡潔美。

簡潔美體現了大自然的普遍規律，這就是大自然的統一性，也是科學家常說的秩序。比如，圓不論大小，周長與直徑的比都是一個固定的常數，這個常數是一個不可思議的無理數π。比如，多邊形中三角形內角和180°，直角三角形的勾股定理，長方形、平方四邊形、三角形、梯形面積公式統一，長方體、圓柱、圓錐體積公式統一，頂點、棱、面個數關系的歐拉公式等。正是因為大自然以及數與圖形的統一性，使人們認識了簡潔美。

二、把握數學的“育人美”

小學數學教學的根本任務是“立德樹人”。讓學生體驗數學的美不是靠告知和灌輸，而是教師要在單元整體目標的引領下創造合適的情境、活動，運用合適的載體，讓學生在真實的活動中，在與有形之物、無形之思的碰撞與互動中體會數學的育人美。

數學的美是創造，是簡單中的復雜，是無序中的有序。機械模仿不是美，遷移、應用、創新才是美?！坝米帜副硎緮怠币徽n設有北京旅游的情境：1個房間有4張鋪位，2個房間有4×2=8（張）鋪位，3個房間有4×3=12（張）鋪位，4個房間有4×4=16（張）鋪位……這樣的情境機械重復，學生憑借已有知識就能解答，無法激起興趣。

教師讓學生用1個算式概括這里的所有的計算，于是有學生提出：可以用a表示房間的數量，4×a就是一共的鋪位數。從用具體的數表示房間的個數，到用抽象的字母a表示房間的個數，這是學生思維一次大的跨越。課堂上部分學生先是疑惑，聽了同伴的解釋后恍然大悟：字母a神通廣大，不僅可以表示1間房，還可以表示2間房，在這里它可以表示任意房間的數量。這時有個學生補充說：“這里的字母a雖然神通廣大，但它只能表示1、2、3……這樣的自然數，字母a表示的數不可能無限大?！甭犕晁脑?，學生都安靜了下來，他們的思維在飛速運轉，片刻之后有些學生輕輕點頭表示默認，用燦爛的笑容為同伴點贊。數學思維的美，數學嚴謹的美，充滿了整個教室！

教師拋出新的問題：“有誰能理解他說的4×a表示什么意思？”這一次舉手的學生很多，似乎都理解了。一個女生說：“4×a表示鋪位的張數?！贝蟛糠謱W生不再舉手，表示同意。只有一個男生高高舉手，他說：“這里的4×a 還可以表示鋪位的張數是房間數量的4倍?！?/p>

教師裝作不懂，讓他接著解釋：“a是房間的個數，4×a就表示鋪位數量是房間數量的4倍?！甭犃怂慕忉?，其他學生鼓掌表示贊同，教師也笑了，掌聲讓他清楚學生已經掌握了這個知識點。教師在黑板上認真地板書：4×a既可以表示鋪位數，又可以表示鋪位數是房間數的4倍。在鋪位數的下面標注“數量”，4倍下面標注“關系”，旨在強調含有字母的乘法算式不但可以用來表示數量，而且可以用來表示兩個數量之間的關系。欣賞著黑板上簡潔的結構性板書，數學的簡潔美讓每一位學生都看得真真切切。

數學的美在于通透。通透中見美，是數學育人美的重要特征。通透與美總是緊密相連的，唯有通透才能感受到數學的美［３］。一節數學課，學生走進教室，40分鐘后走出教室，會有什么變化？這與教師對教學內容的理解是否通透，對學生日常經驗以及在其他情境中已經獲得的先前知識是否了解有關。教師只有將教學內容、教學目標、教學評價和學生已有認知理解通透了，才能設計出適合學生的情境化的教學材料，確立學生的“最近發展區”，學生才能在教師的幫助下走向深度學習，才能感受到數學通透的育人美。

蘇教版四年級下冊“可能性”單元例題：口袋里有1個紅球和1個黃球，從口袋里任意摸出1個球，可能摸出哪種顏色的球？日常經驗中學生已經知道，可能摸出紅球，也可能摸出黃球。學生已經會解決的簡單實際問題，教材到底想讓學生通透理解什么數學知識？其實教材是想讓學生通透理解“隨機現象”，即在一定條件下，在個別實驗或觀察中呈現不確定性，但在大量重復實驗或觀察中其結果又具有一定規律性的現象。學生通過小組合作，從口袋里隨便摸出1個球，觀察后放回，一共摸了10次。小組長記錄10次摸出球的顏色，把6個小組的摸球情況都一一展示到黑板上。

第1組：黃、黃、黃、黃、黃、黃、紅、黃、黃、黃；

第2組：紅、紅、紅、紅、黃、紅、黃、黃、紅、黃；

第3組：黃、黃、紅、紅、紅、紅、黃、紅、紅、紅；

第4組：紅、黃、紅、黃、黃、黃、紅、紅、黃、黃；

第5組：紅、黃、紅、黃、黃、紅、紅、紅、黃、紅；

第6組：黃、黃、黃、黃、黃、黃、黃、紅、紅、黃。

每個小組口袋里都是1個紅球和1個黃球，可是摸出的結果卻不一樣。橫向比較，會發現：第1、6小組到第7、8次才摸到紅球，第2、4、5小組第1次就摸到了紅球，第2小組連續摸到紅球，可第6小組幾乎到最后才摸到紅球?？v向比較，會發現：同樣都是第一次，2、4、5小組摸到的是紅球，1、3、6小組摸到的是黃球……教師在黑板上整齊展示，讓學生通透理解“隨機”的含義：在摸球之前不能確定摸出球的顏色，上一次摸出球的顏色也不能影響下一次摸出球的顏色，任意摸一次的結果都是隨機的。

教學試一試：口袋里有2個紅球，任意摸出1個球，可能摸出哪個球？摸出的一定是紅球嗎？為什么？這個問題學生回答摸出的一定是紅球，因為口袋里只有紅球，但少有學生會思考得通透，可能摸出左邊的紅球，也可能摸出右邊的紅球?！霸囈辉嚒苯虒W的是“確定性現象”，但“確定性現象”中也有“隨機現象”。一會兒左邊的紅球，一會兒右邊的紅球，學生的理解真能通透嗎？他們會關注紅球的左右嗎？大多數學生只會關注2個紅球。課堂上教師將口袋里的2個紅球標上1號和2號，方便學生準確記載摸出的是幾號紅球，這種可視性的標簽讓學生通透理解了“確定性現象”中的“隨機現象”。摸出的一定是紅色的球，但可能是1號的紅球，也可能是2號的紅球，并且它們出現的機會是隨機的。教師在課堂上讓“隨機現象”“確定性現象”變得可視，變得通透，變得美麗。

三、美美與共，立德樹人

數學的本質美與生俱來，它的簡潔、對稱、周期、和諧具有一般性。數學與其他學科融合在一起，也是國際課程的發展趨勢。新課標豐富了“綜合與實踐”的內容，與跨學科知識、歷史文化有機結合。數學是一種語言，成為人們表達現實世界的工具，與人們的生活息息相關。

對稱是物體在某種變換下保持不變的性質。圖形中有對稱美，物體中有對稱美，代數中同樣有對稱美，比如a＋b＝b＋a；a×b＝b×a；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2中a和b可以交換。對稱現象在生活中隨處可見：埃及的金字塔、西安古城、彩色的蝴蝶、運動的足球……對稱給人以平衡、典雅、和諧、穩定的感覺，人們逐漸把對稱演化為美的享受。

自然界有很多周而復始、綿延不絕的現象，人們稱這樣的現象具有周期性。仰望星空，會發現星空圍繞北極星旋轉具有周期性；生活在海邊，會發現海水潮起潮落的循環具有周期性；耕種田野，會感悟季節春種秋收的交替具有周期性；生活中太陽升起落下，日復一日；月亮陰晴圓缺，月復一月；氣候四季交替，年復一年。一年中春夏秋冬四季輪回，一周中星期一到星期日7天循環，一天中24個小時不停輪轉。數學以及生活中處處都有“周期美”。

和諧出自《管子·兵法》：“和合故而能諧”，是指人與人之間配合適當、和平共處，人們把和諧作為審美的標準。和諧不等于相等，比如一幅畫包含多種顏色，和諧并不是這幅畫中所有顏色占有相同的面積，而是根據繪畫的內容以及顏色的深淺確定適當的比例；把一條長度為1的直線段分為不相等的2段，長段為x，短段為1－x，古希臘認為最美的比例應當是長段/整段＝短段/長段，也就是x∶1＝（1－x）∶x，得到方程x2＋x－1＝0的解x＝0.618，這便是數學上最美的黃金分割點。

在美的課堂教學中，學生結合這些美的教學材料，深度走進小學數學：課前學生會預習，課中學生從數學的角度去觀察，課后學生會用數學的眼光看世界，讓學生既能從數學的角度去分析問題、解決問題，又能用數學的語言去發現問題、提出問題；課前學生有想法，課中學生的思維得到提升，課后學生思考問題變得更加全面，尤其是批判性思維的發展，讓學生在生活中會有更多奇妙的創造；課前學生能用自己的語言表達，課中學生學習用專業的數學語言表達，課后學生借助數學語言很好地認識、理解和表達現實世界中那些具有共性的、規律性的東西。

美可以陶冶人的道德情操，增加生活樂趣；美可以改善人的思維品質，提高行為素養。美的數學課堂讓學生的學習更美好，讓學生的成長更有力量。數學的“本質美”與“育人美”二者融合，一切皆美，此乃數學美的大境界。

參考文獻：

［１］ 張義磊. 讓兒童感受數學之美，發展學科素養［Ｊ］. 教育家，２０２２（２０）：６５.

［２］ 許衛兵. 小學數學整體建構教學［Ｍ］. 上海：上海教育出版社，２０２１.

［３］ 田慧生. 深度學習：走向核心素養［Ｍ］. 北京：教育科學出版社，２０１９.