初中數學教學中幾何直觀能力的培養路徑

□貴州省望謨縣第六中學 勾洪飛

幾何直觀是初中數學核心素養的重要組成部分，是學生理解數學知識點、解決數學問題的重要方法之一。教師在教學中應該重視對學生幾何直觀能力的培養與發展，精準解讀新課標，明確初中數學幾何直觀的概念及主要表現形式。而后基于基本內涵，探尋培養學生幾何直觀能力的基本路徑，兼顧整體性與發展性，推進實現學生幾何直觀能力的發展，為他們的高質量數學學習提供有力支撐?；诖?，本文論述了初中數學教學中幾何直觀能力的基本概念，分析了培養學生幾何直觀能力的價值，從直觀表征、直觀分析、直觀解釋及直觀發現四個角度論述了培養學生幾何直觀能力的路徑，旨在讓學生有更好的發展。

一、初中數學教學中幾何直觀能力的概念

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》明確指出了空間觀念與幾何直觀是貫穿義務教育各學段的兩個數學核心素養。由此觀之，幾何直觀能力在支撐學生展開高質量、持續性數學學習中起到了承上啟下的作用。它不僅能夠為學生高效學習幾何知識提供思維、技能方面的助力，還能驅動學生更好地理解并洞察其它抽象的數學知識點，激勵學生多元思考問題，探究知識的本質與內核。初中數學教師應該重視學生幾何直觀能力的培養，為學生高質量的數學學習與實踐探究提供便利。

（一）概念內涵

幾何直觀主要指的是運用圖表或圖形分析問題的意識與習慣。具體而言，學生在數學學習中，根據自己感知到的幾何元素及其組成部分完成遷移，嘗試用數學語言描述自己遷移認知與理解的過程，同時能夠畫出相應的圖形，表示數與形之間的關系，構建知識、問題與圖形之間的直觀模型，以此有效把握知識與問題的本質與內核，具有較為清晰的分析思路，實現對知識、問題的高度抽象與概括。綜合分析可知，教師可以從課前、課中、課后各個環節出發，思考選擇符合學生階段變化和社會發展的教學理念、內容和方式，將幾何直觀這一數學核心素養滲透到初中數學教學之中。

（二）初中階段幾何直觀的表現形式

小學階段的幾何直觀更加重視學生空間想象，換言之，重視學生空間觀念的形成與發展。高中階段的幾何直觀則是讓學生在空間想象基礎上逐漸過渡至直觀想象，減少學生對空間觀念的依賴，從邏輯層面完成直觀想象。從整體角度來分析，初中階段的幾何直觀是要以演繹推理為主線，依據自身的推理經驗，經歷從感悟演變成概念的過程，形成初步的幾何直覺，為高中階段的直觀想象奠定基礎。

從細節角度來分析，學生的幾何直觀表現為以下幾個方面：其一，學生能夠通過尺規作圖、折紙、剪拼等一系列實踐操作活動，初步感知圖形的結構特征；其二，學生能夠利用圖形表示、理解并解釋幾何概念與命題，參與初步的幾何推理活動；其三，學生能夠利用變換、坐標表示圖形的運動與性質，感悟數形結合的思想；其四，學生能夠利用圖表工具表示并分析具體問題情境中的數量關系，構建模型，達成問題的解決。

二、初中數學教學中幾何直觀能力的培養價值

（一）有利于輔助學生理解抽象概念

教師在課堂教學中培養學生的幾何直觀能力，能幫助學生理解抽象概念，為學生的概念解讀提供良好的思考機會。初中階段學生已經具備了一定的思辨性思維，他們能夠基于自身的思維認知基礎，對抽象、復雜的數學概念產生獨特的見解。這時候教師基于學生產生的思考，有意識地啟發、點撥、引領學生從中總結相同之處和不同之處，探尋知識的規律與本質，參與直觀表征等過程，持續深化直觀的數學觀念。

（二）有利于引領學生探尋問題本質

問題是驅動學生高效探究知識的“催化劑”，教師培養學生的幾何直觀能力，能驅動學生從不同的角度探尋問題的本質，引發他們的多元思考。學生以較強的幾何直觀能力為支點，能讓以往單一層次維度的思考逐漸延伸至多元層次維度的思考，看待問題也將從點及面，逐漸趨向問題本質。這種思考過程能讓學生經歷直觀發現、直觀分析及直觀解釋等思考，啟迪多元思路，幫助他們理解和接受抽象的內容與方法。這樣不僅可以幫助學生更好地建立起數與形之間的聯系，還能促進互相轉化，讓他們具備較強的問題探究能力。

（三）有利于驅動學生掌握科學方法

幾何直觀能力的培養能驅動學生掌握科學方法，引領他們站在宏觀角度看待數學問題，逐漸深化對幾何、數學之間關系的深層認知，摸索出解決數學問題的多元、有效方法。在具體實踐中，學生在腦海中內化自己見過、想過、分析過的幾何圖形，并生成與之相關的數量關系，而后基于感知生成創新思維活動，抓住知識本質，有效理解并認知數學知識。整個過程循序漸進、融會貫通、舉一反三，逐漸形成數學學習及問題解決的標準化思路路徑。教師可以將幾何直觀能力分解為直觀表征、直觀分析、直觀解釋、直觀發現，再采用符合學生年齡、認知、階段性知識、信息化技術的教學方法，不僅能夠推動學生改變自己的學習理念，還能推動學生分析自己之前學習方式的不足，把握更加符合自己個性的科學學習方法。

三、初中數學教學中幾何直觀能力的培養路徑

（一）以直觀表征培養幾何直觀能力

傳統的數學教學更加關注學生對書面知識的掌握和認知，但是對學生的思維培養不足，更何況學生的直觀表征的深度發展。此外，初中數學學習中，學生缺乏實際的數學學習和實踐的機會。將直觀表征融入初中數學教學，既能改變以上教學問題，也能促進學生培養幾何直觀能力。直觀表征指的是學生借助具體的圖形表達數學對象，從“形”的角度產生對知識的多元理解，促進學生對相關概念的多維解讀。教師要結合所教學內容，科學設計與“形”相關的元素，鼓勵學生多元辨析，產生視覺上的初步感知，而后基于自身的感知基礎，完成對數學對象的多維解讀，以此達成幾何直觀能力的培育及發展。

以人教版初中數學課本教材第十九章第二節《一次函數》為例，其中的重點知識是讓學生理解一次函數的概念，并了解一次函數的基本特征。學生結合教材，將了解一次函數的代數式為形如y=kx+b（k、b 是常數，k ≠0）。在指導學生分析其基本特征時，如果從圖形的角度進行直觀表征，教師可以讓他們更好地理解。因此，教師可以讓學生從以下兩個步驟著手完成直觀表征：

首先，教師可以通過表格直觀展示其基本規律。教師借助表格，直觀呈現y 隨著x 增長時，增幅是固定的，讓學生初步獲得有關于直觀表征的體驗。

其次，教師可以通過坐標圖直觀呈現函數的規律。學生借助表格，已經了解到一次函數中，y 隨x 增長或下降時，增幅和降幅是固定的這一結論。隨后，教師可以借助幾何圖形，讓學生在幾何圖形中看到圖形呈直線變化的規律，完成深一輪的表征，對“k”和“b”的認知更為深層。

教師在引領學生理解一次函數基本特征的時候，從表格到圖形逐層遞進，直觀化逐漸明顯。學生能夠更為直觀、具體地分析了一次函數的本質，感知了其內涵意蘊。這樣的過程使得學生的概念理解趨于直觀化、特色化、清晰化，實現了幾何直觀能力的培育及發展。

（二）以直觀分析培養幾何直觀能力

傳統的初中數學教學更加注重教師依賴教材的講解和學生的綜合記憶，較少給予學生獨立思考的機會，關注學生抽象能力的提升，而往往忽視了數學知識與生活實際的聯系。這樣的教學不但會影響學生的學習思維，還會影響學生的學習能力。直觀分析在初中數學知識教學中的應用，不僅能夠改善這樣的情況，還能推動學生在探索中學會獨立思考和解決實際問題。因此，教師需要對直觀分析進行深度分析。直觀分析指的是學生借助具體的圖形分析數學問題，這一環節更加側重于學生利用圖形尋求問題解決的基本思路與方法。初中階段的數學問題比較復雜，其中涵蓋的數量關系比較多。學生通過圖形，能摒棄無用或干擾的信息，以更為直觀的方式將相關的數量關系系統表現出來，并基于數量關系建立起相應的模型。這一模型能直觀呈現各種數量關系，讓學生將復雜的語言文字轉換為圖形語言，借此提升他們的幾何直觀能力。

以人教版初中數學課本教材第二十四章第二節《點和圓、直線和圓的位置關系》為例，由這一知識點延伸出來的綜合性問題難度比較大，教師可以選擇一道比較經典的“最值”問題引導學生完成直觀分析過程。學生在解答時往往會存有各種各樣的困難，教師可以引導學生通過數形結合的方式完成分析，尋求問題解決的基本思路。

（三）以直觀解釋培養幾何直觀能力

部分學生很難快速從小學生的身份朝著初中生的身份轉變，而教師又往往更加關注學生對數學公式和解題步驟的記憶和推理，沒有重視學生對數學概念和原理的深度理解和應用。如此教學，不僅會阻礙學生更加牢固掌握數學知識，還會降低初中數學的學習效率。直觀解釋影響下的初中數學教學，能夠改變以上不足，鼓勵學而思相互交流和討論，拓展學習思維。因此，教師需要關注直觀解釋概念的分析。綜合分析可知，直觀解釋是要讓學生借助一些圖形，自主描述數學結論或結果，更加側重于學生基于結論反向推理，完成對知識點的創造性思考，持續深化他們的知識理解與分析素養。因此，教師可以結合具體的教學內容，引領學生利用幾何圖形完成直觀解釋，讓他們創造性地理解并分析數學知識點，引發對知識點的創新思考，促進不同知識內容的整合與構建，讓學生的幾何直觀思維持續深化。

以人教版初中數學課本教材第十四章第二節《完全平方公式》為例，學生在學習中將經歷探索完全平方公式的過程。在指導學生推導時，教師要讓學生學會從幾何的角度完成推理，以求邊長為“a+b”正方形面積的方式驗證這一公式，使學生直觀感受公式的幾何含義，加深對完全平方公式的記憶，借此強化他們的幾何直觀能力。學生經歷了一系列的探究后，能充分認知代數與幾何知識之間的關系，明晰代數的抽象性、繁瑣性，能夠借助幾何圖形的方式直觀、形象地展現出來，以此養成以幾何方式解釋代數知識的意識與理念，在后續的學習中不斷經歷純粹抽象事物的過程。

（四）以直觀發現培養幾何直觀能力

傳統的初中數學教學中，知識之間的聯系性沒有得到教師的關注，導致學生學習的知識存在孤立性，很難推動學生鞏固和記憶知識。而直觀發現與初中數學知識的有效融合，既能推動學生將知識串聯和并聯起來，也能促進學生培養幾何直觀能力。因此，教師需要對直觀發現進行深度思考。分析可知，直觀發現是讓學生借助圖形整體把握所學知識點，自主生成并得出結論。學生在直觀發現的過程中，能樹立全局思維，能夠根據具體的結論構建直觀模型，摸索結論獲得的過程，也可以反向思考，根據直觀圖形得出結論。不管是哪一種過程，都能持續強化學生的幾何直觀能力，讓學生經歷多元思考與辨析的過程。

以人教版初中數學課本教材第一章第五節《有理數的乘方》為例，教師可以為學生出示一道比較經典的推理題，讓學生結合有理數乘方的知識點多元思考，得出解決問題的有效結論。對此，教師可以出示以下推理題：

如圖1 所示，將一個邊長為1 的正方形分割成七個部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，以此類推。

圖1

（1）求圖形⑦的面積。

如上所述，學生在解答以上問題時，能基于問題中所賦予的直觀特征，明確問題解決的過程。從圖1中可以看出，這一算式所求的就是圖形①②③④⑤⑥的面積之和。很顯然，最后所求的結論便是。由此，學生便找到了解決此類問題的方法。直觀發現往往是學生在解決問題的基礎上有了進一步的發現，這一過程將持續深化他們的直覺思維，展現他們創新創造的過程。教師在具體的教學中要鼓勵學生積極延展直觀發現的思維，讓他們在問題解決過程中完成多元、多維且高效的分析，持續發展直觀發現能力，提升學生的直覺經驗，讓學生的幾何直觀能力得到充分發展。

四、結語

綜上所述，在新課改的背景下，初中階段的數學教學要重視學生幾何直觀能力的培養，聚焦新課標，明晰初中階段幾何直觀能力的基本內涵，從意識理念層面明確初中數學教學中幾何直觀能力培養的價值，并從直觀表征、直觀分析、直觀解釋及直觀分析四個維度出發培養學生的幾何直觀能力，使得學生能夠在一系列的學習活動中完成多元、多維的知識理解與探索，獲得幾何直觀能力的深層且多元發展，提升他們的學科核心素養，滿足初中階段學生學科學習能力發展的基本需要。