小學數學“聯結課堂”的三個基本要素特征

【摘 要】新課標要求學生“有關聯地學”和教師“有結構地教”。要實現這一要求，有效“聯結”是一個追求的方向，構建“聯結課堂”是一條有效途徑?！奥摻Y課堂”以結構化為特征，以整體建構為目標，促進師生聯結力的發展。教師圍繞課堂教學中的基本組成要素構建“聯結課堂”，要凸顯以下三個特征：教師維度要具有結構化思想和聯結能力；教材維度要提供結構化內容和聯結支架；學生維度要進行結構化理解和聯結思考。

【關鍵詞】小學數學 聯結課堂 基本要素 主要特征

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出，“幫助學生建立……結構化的數學知識體系”，讓他們“了解數學知識的……結構與關聯”[1]85，教師通過“整體設計，分步實施”，適當進行結構化整合等手段，“促進學生對數學教學內容的整體理解與把握”[1]86。要實現上述要求，有效“聯結”是一個方向，它是數學學科特質的體現。在當前的數學課堂教學中，教師和學生的聯結意識和能力還比較弱，與新課標的要求有一定差距。因此，努力構建一個數學“聯結課堂”是當前的形勢所需。

所謂數學“聯結課堂”，是指數學教師在課堂教學中，在結構化思想和聯結意識的統領下，厘清某一層級整體的內在結構關聯，找準相應的聯結路徑，搭建聯結支架，帶領學生通過對聯結點的捕捉和進階聯網等一系列聯結思考活動，實現學生“有關聯地學”和教師“有結構地教”，進而發展師生的聯結力，達成整體建構的目標。

數學“聯結課堂”以結構化為特征，以整體建構為目標。構建數學“聯結課堂”首先要弄清那些起本質作用的基本要素的特征。圍繞教師、教材和學生這三個基本組成要素，我們認為“聯結課堂”的有效構建至少需要具備以下三個方面的主要特征（見圖1）。

圖1 小學數學“聯結課堂”的主要特征

一、教師維度：具有結構化思想和聯結能力

教學中有效聯結的開啟者和主導者是教師，如果教師沒有結構化思想和聯結意識，那就不可能有聯結教學的行為。當然，有了思想和意識，如果操作層面的聯結能力較弱，有效聯結也難以深度發生。因此，一位教師頭腦中是否具有結構化思想和行為中有沒有聯結能力是能否構建“聯結課堂”的前提性要素。

數學教師的結構化思想體現在哪些方面？第一，頭腦中要有整體規劃和長程的思想，用長遠眼光審視整體，知會“昨天”，看清“今天”，放眼“明天”，既見樹木，更見森林[2]。第二，心中要有結構意識，針對不同層級的整體，都能有意識地去溝通元素與整體、元素與元素之間的內在結構關聯，教學中能主動挖掘“構”功能，會用結構本質進行整體聯結，追求“1+1＞2”的效果。例如，講授“小數加減”這一課，具有結構化思想和聯結意識的教師在備課時會首先將這一內容放到“加減計算”的整體中去審視，弄清小學階段該整體的構成元素有“整數加減”（“昨天”已學）、“小數加減”（“今天”在學）和“分數加減”（“明天”要學）。接著去梳理元素之間的內在結構關聯，發現它們之間“法不同、理相同”，被共同本質統領著。該整體中起著紐帶作用的聯結點就是“相同計數單位個數的加減”，這樣就通過“聯動找點”梳理出了加減計算的共同本質。在掌握了整體聯結后，教師就可以進行整體規劃，布下前有孕伏、不斷進階、一脈相承的結構化藍圖，并在分階段實施中抓住共同本質進行教學，有力地促進結構化遷移，享受“構”功能帶來的紅利。

當教師頭腦中有了結構化思想和聯結意識之后，還要看他能不能把思想、意識轉化為行動，即觀察他在“有結構地教”各環節的“聯結力”表現。我們將數學課堂觀察評價分為“一般性評價（共性）”和“聯結力評價（特質）”，兩者各占50分，總分100分?？荚u一位數學教師“聯結課堂”開展的有效程度，從整體上來說，可觀察該教師在整個教學過程中是否具有聯結意識，備課時是否進行了結構化設計，以及上課時是否開展了結構聯結實踐。具體可運用下面的評價量表來初步評估數學教師的結構化聯結力教學水平（見表1）。

二、教材維度：提供結構化內容和聯結支架

從教材維度來看，有效聯結活動能否發生，主要看能否給學生提供具有結構化特征的學習材料（可用教材或對教材進行二次開發設計）?！霸O計體現結構化特征的課程內容”是新課標提出的五條課程理念之一[1]2。學習內容的呈現是否具有結構化特征會產生不同的學習路徑，獲得不同的學習效果。在給學生提供結構化學習內容的時候，為了使聯結學習活動順利展開，教師可以為學生搭建一個聯結支架，在操作層面引領導航。給學生提供了合適的結構化內容和聯結支架，就為學生的聯結學習活動打好了基礎。

什么樣的學習內容是具有結構化特征的呢？我們認為，首先，要具有整體性。這個整體可分為很多層級，可大可小。教師在確定了某一層級的整體后，提供給學生的學習材料要系統完整，為實現最終的整體建構做好內容保障。其次，要對結構化學習具有驅動作用。教師要將學習材料由散狀分布轉為有結構地呈現，以利于學生開展分類探究、對比辨析、聯結本質、溝通遷移等一系列結構化學習活動。最后，學習內容要能促進聯結活動順利開展。教師要吃透相關聯內容的邏輯序列，按內在邏輯引領學生進行整體建構活動。

如何給初具結構化特征的內容進一步搭建一個聯結支架，以便深入展開聯結學習活動？“聯結課堂”的聯結路徑按范圍進階分為課時、單元、板塊等，按是否新授又可分為新知探索路徑和練習復習路徑。不同的路徑有各自的聯結支架搭建策略，但都要圍繞聯結點或模塊結構來設計輔助支架。①單課時新授類型。既可以活用教材結構來搭建聯結支架，又可以根據改革需要對教材進行整合重組，設計結構化統整后的新課時聯結支架。該類型主要圍繞聯結點通過“點動成線”搭建線性聯結支架。②單元歸總和板塊梳理類型。該類型由于知識和方法的綜合性較強，聯結維度比較豐富，教師可以圍繞聯結點運用“線動成面”和“面動構體”等策略，給學生的結構化學習提供平面聯結支架和立體聯結支架。③練習復習題類型。該類型主要為新知模塊的形成和鞏固服務，以結構化練習（整理）取代碎片化題海（重復），實現以少勝多的聯結功效。教師可以圍繞模塊結構本質給學生設計結構化題組型聯結支架。

例如，“三位數乘兩位數”這節課，要完成“三位數乘兩位數”的算理算法探究，同時又是小學階段整數筆算的收官課。因此，這節課既有單課時新授的目標，又有聯結梳理的任務。要完成這些任務，教師可以為學生提供具有結構化特征的整體學習內容和推進序列（聯結支架）：

用豎式計算13×2→13×12→113×12→12×

113（交換位置驗算）。

教師通過四個進階流程“一材多變”的多次探究，使學生明白：兩位數乘一位數是“算一層”；兩位數乘兩位數是“算二層”；三位數乘兩位數還是“算二層”（量變質不變），實現了結構遷移；兩位數乘三位數是“算三層”，進行了結構拓展。學生通過步步深入地對比辨析和聯結遷移，明白了整數豎式筆算的本質內涵（聯結點）是“算幾層由下面這個乘數的位數決定”，這樣，以后不管學幾位數乘幾位數，學生都能按照這個結構本質進行類推了，從而實現了該系列內容的整體建構[3]。

又如，學習“商不變規律”一課，其模塊結構本質是探索“被除數和除數怎樣變化時商才不變”。為了強化該模塊中被除數和除數的聯結規律，在練習應用階段，教師可為學生提供這樣的題組型聯結支架進行鞏固深化：

（80○□）÷（20○□）=4，在○里填加減乘除符號，在□里填數字。

在該聯結支架的引領下，學生通過開放式組合可以填出一系列的題組算式，在填的過程中學生會發現：“數字相同運算符號不同”和“運算符號相同數字不同”以及“運算符號和數字都不同”這幾種情況都不能實現“商不變”的目標，并且“同時加或減相同的數”商也變了，只有“同時乘或除以一個相同的數（0除外）”商才不變，而且□里的數可以是整數（除不盡也可以）、小數、分數或字母……通過這樣的結構化題組訓練，學生深化了對“商不變規律”本質特征的認識，聯結思維獲得了發展。

三、學生維度：進行結構化理解和聯結思考

教師具有了聯結的意識和能力，行動上也給學生提供了結構化的學習內容，搭建好了聯結支架，最終考查有效聯結活動是否深度發生，落腳點還是在學生。因此，“聯結課堂”能否成功構建關鍵在于學生是否進行了結構化理解和聯結思考。獲得“結構化理解”是結構化學習追求的目標，要達到這一目標，就要有效開展聯結思考活動，通過聯結性思維對所學的知識和方法進行整體深度認知，獲得融會貫通的系統性結構，進而實現整體建構[4]。

學生的結構化理解表現在哪些地方？數學結構化學習的思維方式從“散點狀態”轉變為“整體思考”，學習結果由“碎片疊加”轉變為“系統入構”，學習過程表現為主動求聯、對比辨析、本質溝通、結構遷移等。學生通過結構化的深度理解，實現對數學知識和方法的整體建構。具體表現在兩個方面：①結構化知識。所獲得的結構化數學知識具有整體性和邏輯性，有利于記憶；所獲得的結構化數學知識具有關聯性，有利于結構化理解和應用；所獲得的結構化數學知識具有類推性，有利于舉一反三。②結構化方法。所形成的結構化方法能運用同化和順應自主開展數學學習活動；能自覺運用各種表征方式結構化地理解數學知識和解決數學問題；能夠關聯各種元素實現數學認知方法的有效遷移。

“聯結思考能力”這一特質素養如何觀察評估？學生的聯結思考能力是“聯結力”的核心部分，它是指學生在學習思考過程中將相關的數學知識與技能、思維與方法聯結起來形成網狀結構的能力。具體來說，就是學生在面對數學新知識、新問題時，能主動關聯已有認知結構，激活解決當前問題的相關聯結經驗，運用多元表征等手段展開提取與分析，借助聯結的力量形成整體認知結構網，并能主動通過結構化遷移應用到類似的新情境中。評估時，由低到高可以將學生的水平層級分為“不會聯結”“知識關聯”“多元聯結”“反思遷移”，教師具體可運用以下測評量表（見表2）來考查學生是否“有關聯地學”[5]。

表2 學生數學聯結力等級測評量表

水平層級 測評要素 具體描述

水平0

不會聯結 孤立、點狀 不能激活已有知識來解決新問題，不能建立信息之間的關聯，學習處于孤立無序狀態

水平1

知識關聯 單聯、線性 能結合學習的問題有序羅列、關聯、提取所需知識，但關聯維度比較單一，無法多角度進行聯結

水平2

多元聯結 多聯、平面 能多途徑聯結提取學習新知所需的信息，能對所學新知的意義進行多角度解釋和多元表征，并獲得較完整的認知結構

水平3

反思遷移 網狀、立體 能整體聯結出知識之間的立體網狀結構，能主動對所獲知識和方法進行結構化反思，并能將學習方法和策略通過結構化遷移運用到后續同類學習中

例如，探索“三角形的面積計算方法”時，聯結能力弱的學生不會用已有的平行四邊形面積公式的推導經驗來解決這一新問題，難以建立起相互關聯。處于“知識關聯”水平的學生可以把三角形轉化成已學過的圖形來進行推導，還知道用割補法來進行等積變形，但由于關聯維度比較單一，他們不知道三角形怎么割補（割補方法不同，難以直接類推），無法通過多角度聯結找到新的轉化方法。處于“多元聯結”水平的學生能多途徑尋找聯結關系，他們能從平行四邊形中連接對角線，發現可以將平行四邊形分成兩個完全一樣的三角形，然后逆向思考得出“兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形”，找到了“倍拼”的轉化方法（有兩種倍拼方式）；同時還能變換方向繼續通過割補找到轉化方法，通過轉化前后的對應關系推導出三角形的面積計算公式，形成新的認知結構。達到“反思遷移”水平的學生，除了會用上述方法之外，還能進行整體聯結，他們通過結構化反思發現平面圖形這個整體中的梯形和三角形有結構相通之處，本節課的策略和方法完全可以類推運用到梯形面積公式的推導中去，從而有效進行結構化遷移，并能將平行四邊形、三角形和梯形的面積計算方法進行歸總梳理，最終聯結成該板塊知識和方法的立體結構網，實現整體建構。

數學的最大魅力在于它的相通性。相通性體現在聯結上。數學學習中大量的內容都是通過“以舊迎新”“化新為舊”來往前推進的，推進的抓手就是元素與元素之間、元素與整體之間的聯結，這就是數學學科的特質。

影響“聯結課堂”構建的因素有很多，本文只從三個基本維度展開分析。這三個基本維度是為了研究需要而細分出來的。在教學實踐中，這三個基本維度不可分割地有機結合在一起發生作用，它們具有進階性。首先，教師備課時用結構化思想去鉆研和開發教材，為學生設計出結構化的內容，搭建好聯結支架。其次，課堂上教師發揮自己的聯結能力，帶領學生對結構化的學習任務展開聯結思考活動，達成結構化理解的目標。最后，從整體建構高度實現學生“有關聯地學”和教師“有結構地教”，從而構建起一個靈動的“聯結課堂”。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 陳力，朱華鋒.數學結構化教學深度發生的策略探究[J].小學數學教育，2021（Z3）：7-9.

[3] 陳力.數學結構化教學中“聯結點”的動態進階織網策略[J].教學與管理，2023（11）：42-45.

[4] 陸泉萍.求聯驅動：催化數學理解的自然進階[J].數學學習與研究，2021（8）：120-122.

[5] 葛素兒.數學聯結力：內涵、價值與測評例舉[J].小學數學教師，2023（5）：5-9.

本文系浙江省重點課題“基于結構化的數學聯結教學研究”（立項號：Z2021030）主要成果之一。

（作者系浙江省武義縣教育局教研室正高級教師）

責任編輯：趙繼瑩