以數學思想方法為核心的單元整體教學設計與實施

摘 要 學生核心素養的培養必須建立在連續、整體、一致的學習活動基礎之上。以數學思想方法為核心開展單元整體教學研究，可以發揮思想方法在教學內容分析、教學活動設計、教學活動實施中的多重作用。以數學思想方法指導單元整體設計，在單元整體活動中習得和應用數學思想方法，可以實現數學思想方法與單元整體學習的互相促進，發揮兩者在學生素養提升方面的重要價值。

關? 鍵? 詞 數學思想方法；單元整體教學；教學內容；目標方案；教學實踐

引用格式 李建良.以數學思想方法為核心的單元整體教學設計與實施[J].教學與管理，2024（11）：52-56.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，教學內容的結構與組織要關注核心素養發展的整體性和一致性[1]。除了知識、技能的整體性和一致性之外，我們更應該注重“邏輯的連貫性和思想方法的一致性”[2]。呂世虎等認為，數學單元教學可以以重要的數學概念或核心數學知識為主線組織，也可以以數學思想方法為主線組織，還可以以數學核心素養、基本能力為主線組織[3]。王永春指出單元整體設計與教學的核心是整體構建學生的數學認知結構，包括數學知識結構、思想方法、元認知和非智力因素[4]?？梢?，在單元整體教學中，數學思想方法是重要的研究和學習內容。

對于單元整體學習而言，數學思想方法具有組織、串聯和統整的作用。作為教育形態的數學思想方法，既要讓學生自然合理地產生、形成、鞏固和發展，又要盡可能縮短其學習的時間進程[5]。單元整體教學活動具有過程性、長期性、整體性等特點，以單元整體教學的形式開展學習活動，為學生充分經歷數學思想方法習得的各個階段提供了條件。利用數學思想方法習得過程中的操作體驗、明確表達、自覺應用、聯系發展四個階段與單元整體教學過程中的整體感知、概念習得、知識應用、問題解決等階段之間的對應關系，是實現數學思想方法與單元整體教學有機融合的有效途徑。

以數學思想方法為核心的單元整體教學，應突出體現數學思想方法在各研究階段中的價值，其過程一般包括準備階段、設計階段和實施階段（如圖1）。本文以極限思想統領下的“圓”單元為例闡述具體如何開展研究與實踐。

一、準備階段：基于數學思想方法分析教學內容

單元教學內容整體分析可以按照以下步驟開展：首先，分析單元教學重點、難點，確定貫穿于單元教學始終的核心問題；其次，對所選教學內容中蘊含的數學思想方法進行梳理，錨定與核心問題對應的主要數學思想方法；再次，整理各課時內容與主要數學思想方法之間的邏輯關系，使各課時主要教學活動都圍繞該數學思想方法展開；最后，進一步溝通和明確各課時主要內容之間的關系，使整個單元的學習內容聯系得更加緊密。

1.提煉核心問題

數學內容之間的關系紛繁復雜，每個知識點有各自關聯的內容，從單課時的角度進行梳理與分析，則會局限于一題一課的得失，忽視內容之間的整體關聯和共同要素。將教學內容置于全局視角下，能夠更好地厘清知識的來龍去脈，有助于把握教學中的共性問題。如在“圓”這一單元中，最為關鍵的圓的特征、圓的周長、圓的面積三個內容都指向同一個核心問題，即方（多邊形）與圓的轉化。

2.錨定思想方法

有了單元核心問題，還需進一步錨定與該問題相關的主要數學思想方法，思考其如何作用于全局?！皥A”單元的核心問題是方與圓之間的“無縫”銜接與轉化，在此過程中，圓的概念與特征、圓周率與圓周長、圓的轉化及面積公式推導等知識技能的習得始終需要得到極限思想的支持。同樣，極限思想的產生、形成、鞏固和發展，也都必須以該單元的各個內容為載體，兩者互為表里。

3.梳理教學內容

在核心問題和思想方法的基礎上，還需要思考和梳理具體的教學內容，使其更加緊密地圍繞核心問題和思想方法，凸顯單元教學的整體性、一致性和邏輯性。在“圓”單元教學中，為了在已知的多邊形與“圓”單元各部分內容之間形成自然過渡與對應關系，應加入以正六邊形為代表的正多邊形的學習。正多邊形的形狀、周長、面積等內容，為圓的整體認知提供視角，使圓的要素與特征的發現有了素材，明確圓周率探究的起點和方向，也為圓的分割和轉化提供活動經驗（如圖2）。

4.形成整體結構

將單元整體教學的策略、數學思想方法形成的過程和具體的教學內容結合起來進行整體思考，形成教學框架，可以使教學設計與實施的路徑更加清晰，有利于最大限度地發揮三者的教學價值。對“圓”單元而言，如能將正多邊形、圓的特征、圓的周長和圓的面積四個內容組成一個關系緊密的單元，則可將正六邊形的特征、周長和面積研究的過程、經驗和結論，遷移至圓的特征、周長和面積的研究之中。這樣，不僅可以使知識、技能和方法得到更好地運用，還有利于極限思想持續發揮作用。

二、設計階段：依據數學思想方法制定目標方案

在厘清單元整體教學的主線之后，需要確定單元整體目標，合理劃分、調整學習內容并制定課時目標。在具體教學活動的設計過程中，教師應按照循序漸進的原則，根據前期的梳理與分析，結合教學內容自身的邏輯與數學思想方法習得的各個階段，安排恰當的學習素材，設計教學活動，以此達成“幫助學生經歷數學思想方法的習得過程，獲得對數學知識技能的整體認知”的目標。這一階段主要是從教師視角，站在數學思想方法的高度，推動教學活動的整體設計。

1.制定學習目標

學習目標分為單元目標和課時目標。單元目標不是課時目標的簡單疊加，應對單元知識技能進行整體思考和定位，明確數學思想方法在教學過程中的整體促進作用，兼顧學生數學素養的整體提升，以使單元整體教學活動取得長期效果。如可將“圓”單元的整體目標定位為：①經歷正六邊形與圓兩者特征、周長、面積的探究過程，掌握兩者周長、面積的計算方法，比較兩者的異同，對平面圖形形成整體認知；②關注方與圓的轉化這一核心問題，借助正多邊形與圓的多重對應關系，體會極限思想的重要意義并用于指導各內容的學習和探究，熟練運用轉化思想解決問題；③經歷知識技能和思想方法的形成、發展和完善的過程，結合學習素材進行質疑和辨析，發展問題意識、批判精神和創新意識。

課時目標的制定應圍繞核心問題和思想方法，緊扣單元目標，分階段落實?？梢詮娘@性（知識技能）和隱性（思想方法）兩個層面制定各課時目標。特別是隱性目標，應該符合并體現數學思想方法習得的規律（見表1）。

2.搜集學習素材

數學思想方法的獲得有賴于具體的學習活動，而學習活動的設計與組織，又需要以特定的學習素材為載體。因此，應盡可能多地搜集相關的素材，從中獲取教學活動設計的思路。其中，數學史料作為數學發展過程中形成的能反映本學科特征的歷史資料，具有豐富性、科學性、發展性、關聯性等特點，對學習過程具有重要的啟示，是數學學習的重要資源。經過廣泛搜集與精心篩選，筆者最終確定了以下與圓有關的數學史料：① 《墨經》 《幾何原本》 給出的圓的定義；②《周髀算經》趙爽注中關于“圓徑一而周三”的記載；③劉徽 《九章算術注》 對圓面積公式的證明以及求得圓周率的近似值3.14的思路和方法；④祖沖之將圓周率精確到小數點后第七位；⑤ 《九章算術》 記載了圓面積的四種算法并由劉徽給出證明；⑥印度人用“切西瓜”的方法轉化圓并推導其面積公式；⑦開普勒《測量酒桶的新立體幾何》中將圓轉化成三角形推導面積公式。

3.關聯思想方法

在獲得學習素材之后，將其與核心問題、思想方法進行關聯是非常重要的一步工作。從單課時的角度而言，前期收集到的每一種素材都有其特定的價值，但對單元整體而言，為了突出單元核心問題和思想方法，需要進一步圍繞主線以及教學順序組織數學史料。在“圓”單元的相關素材中，結合教學內容與極限思想以及學生的學習基礎和認知特點，應以“割圓術”（以直代曲、極限思想）為軸，圍繞割圓術，按照各課時的目標，安排“圓出于方”“一中同長”“周三徑一”“出入相補”“印度切西瓜法”“開普勒法”等作為素材，以此幫助學生生動形象地理解極限思想，并促使單元整體教學有序推進。

4.設計學習活動

在開展單元整體教學設計時，既要注重各課時的自成一體，又要考慮數學思想方法習得的各個階段與相應學習活動之間的關系，同時還應關注各課時學習活動的前后呼應。其中，單元起始課整體呈現并探究與后續內容有關的問題，以便形成遷移；后續各課時按照單元起始課的學習路徑、方法、結論分別開展研究，深化對各部分內容的認識?！皥A”單元各課時主要活動見表2。

三、實施階段：立足數學思想方法開展教學實踐

在實施單元整體教學活動時，應充分利用數學思想方法獲得的各個階段與單元整體教學各個環節之間的對應關系，一方面要根據單元整體教學過程中的具體內容，幫助學生充分經歷數學思想方法形成的過程；另一方面，要充分發揮各個階段數學思想方法對單元整體教學內容的指導作用。同時，要激發學生各個階段積累的活動經驗，為他們創造在學習活動中積極互動的機會。這一階段主要是從學生立場，幫助學生習得與應用數學思想方法，在用數學思想方法指導學習活動的過程中，促進各教學內容之間、知識技能與思想方法之間的融合。

關于單元整體教學實施的基本策略，何小亞提出“先從整體知識的研究對象、研究方法和用途等方面給學生一個全面的概述，使學生對這個知識單元有一個整體的認識，然后逐個學習”[6]。關于數學思想方法的學習，燕學敏等認為其最鮮明的特征是過程性，要在知識的傳授過程中，由教師把某種特定的數學思想方法全景式地展現給學生，讓學生通過自己的理解、經歷去體驗、領悟和把握[7]。兩種觀點都提到“先整體后局部”，具有高度的一致性，因此這也成為以數學思想方法為核心的單元整體教學的基本策略和路徑。

1.在整體感知中體驗思想方法

在單元整體教學中，第一課時往往起到提綱挈領、觀照全局的作用。此時，不僅要幫助學生對單元知識點形成整體印象，也應借此機會使學生對其中包含的數學思想方法有所體會。如在“圓”單元“正多邊形”一課的學習過程中，在學生研究正六邊形周長與對角線長的倍數關系，以及正六邊形的周長與面積的關系（面積=周長×邊心距÷2）的基礎上，教師請學生提出減小正六邊形與圓之間差距的方法，學生提出：在弓形部分不斷填補小三角形得到不同的正多邊形，以此不斷接近圓。結合自身學習過程與教師提供的劉徽割圓術，學生提出：正多邊形的邊數不斷增加，最終會轉變成圓；反之，要研究圓的問題，也可以將其轉化為正多邊形。在上述活動中，學生對極限思想有了初步的感知和體驗，極限思想的引入使方與圓的轉化有了科學、合理的解釋依據。

2.在概念習得中明確思想方法

學生獲得對數學思想方法的初步感知后，還需要將其運用于特定對象的學習中，并以此為載體進一步明確思想方法。在數學對象特征的刻畫和數學概念的抽象過程中，其中包含的數學思想方法及其價值得到進一步顯現。在“圓的認識”一課中，教師請學生嘗試在正六邊形的基礎上畫出正十二邊形，并重點討論先從中心點出發畫六條等長線段垂直于各邊，再依次連接各端點得到正十二邊形的方法。學生認為，按此畫法可以繼續畫出正二十四邊形等正多邊形，當從中心點出發的等長線段為無數條時，其另一個端點圍成的圖形就是圓，其中心點就是圓心，等長線段就是半徑，有無數條。在這一過程中，學生明確了方與圓的轉化過程中包含的極限思想，通過極限思想驗證了正多邊形與圓之間可以互相轉化的事實，并借此抽象出了圓的概念與特征。

3.在知識應用中鞏固思想方法

在明確數學思想方法之后，學生能否在面對新問題時自覺應用，是思想方法是否被理解與接受的重要判斷標準，也是他們必須要經歷的階段。因此，教師應創造機會讓學生主動應用數學思想方法指導自己的學習活動。在“圓的周長”學習中，學生在用“化曲為直”的實驗操作方法研究周長與直徑的比值時發現，“繞圓”“滾圓”等方法所產生的誤差會對比值的計算造成影響。當學生受困于如何解決測量誤差的問題時，前期活動中蘊含的極限思想便發揮了作用。學生指出，已知正六邊形的周長與對角線長的比值是3，這是非常明確的。以此為出發點，可以逐步用正十二邊形或者正二十四邊形等代替圓，使其便于操作從而減少誤差，在此基礎上總結出方法和規律并進行進一步的研究。按照學生提出的方案，教師借助多媒體軟件演示不同正多邊形周長與對角線長的比值變化規律，幫助學生經歷更加科學合理的圓周率研究過程。教師將學生的方案與劉徽的證明過程進行對比，發現了割圓術（極限思想）在其中發揮的重要作用?？梢?，學習活動中需要恰當的問題情境為學生提供應用數學思想方法的機會，并借此體會數學思想方法的學習價值。

4.在問題解決中發展思想方法

數學思想方法不是孤立的，一方面，它是包含于具體數學知識之中的；另一方面，某一數學思想方法往往與其他思想方法共存于學習內容之中。因此，應以聯系發展的眼光加以對待，在復雜問題的解決過程中綜合運用，形成對數學思想方法的綜合性、深層次理解。在“圓的面積”研究中，學生根據本單元前期研究的過程和結果嘗試設計圓面積的研究方案，提出了“中心分割法”并說明了具體的轉化設想。針對這一方案中存在的矛盾：分的份數越多越精確，但份數多了不利于操作，學生認為可以從簡單情況入手，再把從中得出的結論運用到復雜的情況中，運用“割圓術”（極限思想），借助想象實現圓的“完美”轉化。在具體操作過程中，學生主要運用了“印度切西瓜法”和“開普勒法”分別將圓轉化為平行四邊形和三角形，通過對應關系推導出圓的面積計算公式。在此過程中，極限思想的運用表現為三個層次，首先是運用割圓術實現由圓到方的轉化，其次是借助極限思想解釋圓如何“精確”地轉化為方，再次是在整個過程中實現極限思想與轉化思想的融合。

在單元整體學習過程中，正六邊形的相關問題促使極限思想的萌芽，在圓的認識過程中極限思想逐步成型，運用極限思想改進圓周率的研究方案進一步鞏固對極限思想的認識，在圓的面積公式探究中極限思想得到自覺運用并被用于彌補轉化思想的不足。知識技能的學習與思想方法的習得始終交織在一起，互相促進，互為補益。因此，數學思想方法的習得應以具體的學習活動作為載體，反之，將數學思想方法習得的各階段與教學活動相融合，有助于更好地完成單元整體教學。

因此，對數學思想方法的挖掘和應用，不能淺嘗輒止，而是應該想方設法促使其從始至終都發揮作用。教師應當樹立一種信念，數學思想方法本身也是數學學習的內容和目標，借助單元整體教學這一契機，使學生完整經歷數學思想方法的習得過程，并充分發揮其教學價值，使單元整體活動與數學思想方法的教學效果相得益彰。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 章建躍.邏輯的連貫性和思想方法的一致性[J].中小學數學（高中版），2013（Z2）：132.

[3] 呂世虎，楊婷，吳振英.數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟[J].當代教育與文化，2016，8（04）：41-46.

[4] 王永春.小學數學單元整體設計的理論建構[J].小學數學教育，2021（07）：4-6.

[5] 吳增生.數學思想方法及其教學策略初探[J].數學教育學報，2014，23（03）：11-15.

[6] 何小亞.建構良好的數學認知結構的教學策略[J].數學教育學報，2002（01）：24-27+85.

[7] 燕學敏，華國棟.國內外關于現代數學思想方法的研究綜述與啟示[J].數學教育學報，2008（03）：84-87.

[責任編輯：陳國慶]