基于核心素養的數學公式教學設計

譚驥

摘 要：兩角差的余弦公式作為三角恒等變換公式中的“母公式”，其發現與推導過程極為重要，為后續兩角和、二倍角等公式的生成提供方法借鑒。教師教學“兩角差的余弦公式”時，可以引導學生在探究中發現并體悟兩角差的余弦公式，將學生思維引向深層，凸顯數學公式學習的深度，在公式的主動生成中發展學生的數學學科核心素養。

關鍵詞：數學公式；教學設計；核心素養；兩角差的余弦公式

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）05-0129-04

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。課堂是發展學生核心素養的主陣地，筆者現以“兩角差的余弦公式”教學設計為例，探討在數學公式教學中發展高中生數學學科核心素養的策略。

一、教學內容分析與教學目標確立

“兩角差的余弦公式”來自人教版高中數學必修一第五章5.5三角恒等變換的第一課時，本課屬于公式研究型課，介紹了兩角差的余弦公式，這個公式是其他三角恒等變換的邏輯起點。與傳統的特殊角關系不同，該公式針對的是任意兩個角，它們的頂點都是坐標原點，但終邊位置可以是任意的。課本利用圓的旋轉不變性和兩點距離公式來建立坐標之間的聯系，推導了該公式。這種方法簡潔明了，與誘導公式的推導方法一脈相承，體現了知識之間的聯系，因此本課在三角函數教學中起到承上啟下的作用。

從知識儲備方面看，學生已經學習了弧度制、銳角三角函數和三角函數的誘導公式，這些知識有助于他們理解和接受兩角差的余弦公式。此外，學生在本單元的學習中已經有了用單位圓證明誘導公式的經歷，他們能夠將此方法類比和遷移到本節課。然而，學生在認知方面存在一些障礙：一是對兩角差余弦展開式感到困惑，二是在證明過程中容易忽視“任意性”。

基于上述分析，筆者從知識、能力和素養三個方面確立本課教學目標如下。在知識方面，學生經歷“提出問題—猜想結果—論證思路—解決問題”的過程，體會單位圓法證明的通性；理解兩角差的余弦公式本質是圓的旋轉對稱性的解析表示。在能力方面，學生經歷從特殊到一般的過程，通過觀察、實驗、猜想和證明，提升分析、歸納、數形結合與合作交流的能力；經歷推導兩角差的余弦公式的過程，領悟兩角差的余弦公式的本質，掌握兩個角的差角與某一個角三角函數之間的內在聯系，能運用公式進行簡單的恒等變換，經歷從提出問題到解決問題的過程，提升運用圓的性質證明命題的能力。在素養方面，學生能從特殊情形中發現一般結論并合理猜想目標，對任意角α、β及α-β進行界定，發展數學抽象素養；經歷從特殊到一般進行猜想以及嚴謹論證過程，發展邏輯推理素養；在求解cos 15°的過程中構建幾何模型，在單位圓上找出角的始邊與終邊，發展直觀想象素養；通過推導與運用公式發展數學運算素養。

二、以解決問題為主線的教學過程

（一）創設情境，提出問題

教師根據用無人機運送愛心食物的場景創設情境，引發學生思考。教師提出問題：已知點A對點C的俯角為60°，點A對點B的俯角為15°，AB距離28米，計算無人機從起始點A到達小紅家點C的距離AC是多少米。這個情境設計貼近生活，學生學習興趣濃厚，他們能夠在情境中將數學知識與現實問題聯系起來。同時，問題的設置能夠引發學生對角度和距離的思考，并促使他們運用已學知識解決問題。

“創設情境，提出問題”環節是引導學生進入學習的起點，教師需要在本環節通過情境引入和問題提出，激發學生的學習興趣，引發學生思考，使他們能夠主動思考和解決問題，主動建立已有知識與本課所學知識的聯系。同時，通過將數學知識與實際問題相結合，幫助學生認識到數學在現實生活中的應用價值，培養他們的數學思維和解決問題的能力。

（二）實驗操作，合理猜想

為解決教師提出的問題，學生提出了兩種思路。思路一是通過構造底角為15°的等腰三角形（如圖1所示），并進一步建構30°、60°的特殊三角形來得出cos 15°；思路二是通過巧拼三角形（如圖2所示），讓45°與30°作差，構造出15°來得出cos 15°。兩種思路都涉及特殊三角形構造和運用。

接著，學生根據思路進行實際操作。他們使用尺子、量角器、計算器等工具輔助操作和測量，運用三角函數、旋轉對稱性等知識進行推導和計算，驗證他們的猜想或推理的準確性。

最后，教師指導學生記錄實驗操作的步驟、所得數據和結果，并進行分析總結。學生通過比較實驗結果與猜想，進一步探究幾何關系的規律和性質。如果實驗結果與猜想一致，說明猜想正確，可以得出結論；如果實驗結果與猜想不符，則重新思考并調整猜想，再次進行實驗操作。通過建構特殊幾何模型與巧拼三角板，學生體會到用“形”來解“數”的價值，發展了幾何直觀和邏輯推理等數學學科核心素養。

這個環節通過數學實驗引發學生的興趣和好奇心，培養學生的實踐能力、團隊合作與交流能力，為將所學知識運用于解決實際問題打下堅實基礎。

（三）嚴謹論證，深化認知

教師首先拋出一個問題：由誘導公式滿足猜想，就能夠說明猜想一定是恒成立的嗎？這個問題引導學生思考：即使某個公式在特定情況下成立，是否能夠推廣到所有情況下都成立。教師接著追問：如何進行嚴謹論證？這個問題引導學生思考如何進行嚴密的推導和論證。學生可以通過數學證明、邏輯推理、特例分析等方法來解釋為什么這些論證是嚴謹和可信的。接著，學生通過證明三角形全等公式來驗證猜想。在這個過程中，學生需要嚴謹地運用幾何性質和其他數學知識，確保推導的正確性和嚴密性。此外，學生還需要特別注意論證過程與類比之間的區別。類比是將一個問題和已知情況進行對比的推理，而嚴謹論證則需要嚴格的邏輯推理和數學證明，不能簡單地依賴類比推理。最后，學生需要總結論證過程中的關鍵步驟、所用公式和推理方法以及得出的結論。

這個環節旨在讓學生加深對知識的理解和運用，培養他們嚴謹的邏輯思維，同時強化他們對數學概念和幾何關系的掌握。學生之間互動、合作，從不同的角度思考問題，提高了分析問題和解決問題的能力。

（四）學以致用、加深理解

在這一環節，教師設計了四個問題。

1.證明：（1）cos[π2-α]=sin α；（2）cos[π-α]=-cos α。

解答本題需通過計算和推導，考查學生對所學知識的理解和應用能力。學生可以運用數學公式、幾何性質等進行計算和推導，并得出結論。這個過程可以幫助學生加深對公式的理解，并提高他們運用知識的能力。

2.已知cos α=[-35，]α∈[，][[π2π]]，求cos[π4-α]的值。

此題要求根據給定的條件求解未知量的值。學生需要運用數學方法和技巧進行計算和推理，進而得出正確的答案，同時需要注意論證過程的嚴謹性和準確性，清晰地展示每一步的推理和計算過程，并提供詳細的解釋和論證。通過解決這個問題，學生能夠加深對公式和解題方法的理解，并提高問題解決能力。

3.變式：已知cos[π4-α]=[210，]α∈[，][[π2π]]，求cos α的值。

問題3是問題2的變式，是在問題2的基礎上進行的修改和擴展，要求學生運用相同的知識和方法來解決相應問題。通過解決變式問題，學生可以進一步鞏固和拓展他們的知識，提高問題解決能力和思維靈活性。

4.你能利用圖3驗證公式[Cα-β]嗎？

學生解答此題時可以利用給定的圖示和已知條件進行幾何構造和計算。通過這個過程，學生可以深入理解公式的推理過程和幾何意義，并體會到數學的美妙及其應用的廣泛性。教師還可以提問學生是否能夠根據圖示推導出兩角差的正弦公式，激發學生的潛能，鼓勵他們在觀察和分析中發現新的數學關系和規律。

（五）梳理總結、反思升華

在這個環節，教師首先利用多媒體技術展示一張流程圖，圖中呈現了本節課的教學邏輯、學習步驟和關鍵點，幫助學生更加清晰地理解和掌握本節課的教學內容。在流程圖的引導下，學生可以看到本節課的知識結構和學習路徑，了解各個環節之間的邏輯關系。這有助于學生將所學的知識點整合起來形成知識體系。同時，學生也可以根據流程圖梳理本節課所學的研究步驟。流程圖清晰地展示了學習過程中的具體步驟和操作，幫助學生厘清思路，掌握解題的方法和技巧。學生可以根據流程圖進行復習和回顧，加深對每個步驟的理解和記憶。除了梳理知識和學習步驟，流程圖還可以幫助學生反思和升華本節課的學習經驗。學生可以通過觀察流程圖，回顧整個學習過程，思考自己在學習中遇到的困難、解決問題的方法和策略，以及學習的收獲和體會，發現自己的不足和改進的空間，進而提高學習效果和學習能力。

（六）布置作業，拓展鞏固

在本環節中，教師先呈現一道思考題：你還有其他方法證明兩角差余弦公式嗎？這個問題能夠再次激發學生的探究興趣。通過思考和討論，學生可以拓寬自己的思維，探索不同的證明方法，培養創新思維和問題解決能力。接下來，教師布置必做題和選做題。必做題包含一道只考查兩角差余弦公式知識的題目，如計算題，幫助學生鞏固對該公式的理解。選做題為一道跨學科題目，描述了一個物理實驗，涉及天花板上固定繩子、懸掛的小球和傾斜的平面。學生需要根據給定的條件，計算斜面對小球的支撐力和繩子對小球的拉力。這道題目將物理和數學有機結合，讓學生體會到數學和物理之間的密切聯系。通過完成這樣的作業，學生能夠運用所學的數學知識解決實際問題，發現數學在物理中的應用。同時，這樣的作業也促進了學科之間的關聯學習，培養學生的跨學科思維能力。在完成作業的過程中，學生需要進行思考、分析和計算，進一步提升他們的問題解決能力和推理能力。此外，學生還需要書面表達自己的解題思路和結果，發展表達能力和溝通能力。

三、關于數學公式研究型教學的思考

（一）突破思維定式，提煉教學興趣點

在教學過程中融入趣味性因素，對提高課堂教學效率具有促進作用。但教師要潛心思考：趣從何來？怎么營造出適切的教學氛圍？如果教師不認真思考推敲，只是不假思索地照本宣科，很難引發學生渴求知識的興趣點。例如教學“兩角差的余弦公式”，若教師照搬教材，形同于直接要求學生記背公式。這樣一來，知識變成了冰冷的數字與符號，學生“知其然但不知其所以然”，必然會影響對數學知識的深刻理解和靈活運用。如何破解這一局面，筆者提出三點教學建議。首先，轉換教學視角，課前主動提煉興趣點。例如在課堂導入環節，教師結合本節課的真實需要，選擇能使學生集中注意力聽講的事例。其次，機智教學，現場隨機提煉興趣點。例如開展小組合作、動手操作和探究等學生喜聞樂見的活動。最后，將其他學科知識融入數學學科教學中激發學習興趣。

（二）重視學生思維，創設能力生長點

數學學科核心素養的提升需多方面共同協調并進，其中最根本的一點就是數學基本技能的生成。不一樣的學生，能力的形成速度不同，形成的能力結構也不盡相同。因此，教師要把握好學生思維活動的跳躍點，創設能力生成點。例如教學“兩角差的余弦公式”，關于求cos 15°的值大小這一問題，有些學生已經熟知大部分解題要點，但不一定知道數值[6+24]是如何得出的。針對這一棘手問題，教師要放慢教學腳步，讓學生親自計算cos 15°。學生通過構造特殊三角形和巧拼三角板，計算出cos 15°的大小，該環節便是學生直觀想象能力和動手操作能力的生長點。

（三）緊扣課堂現場，凝聚思維頓悟點

在課堂學習中，學生在某一節點所獲得的思維頓悟是難能可貴的。這些頓悟點看似隨機，但是對掃清思維障礙、疏通思維疑點、厘清思維脈絡起到關鍵作用。因此，教師在課堂教學中，要有意識地為學生創造頓悟時機。例如在本節課教學中，學生雖然掌握了cos 15°=cos （45°-30°）=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°，但是如何將單位圓的旋轉對稱不變性這一解決問題的核心知識點遷移到本節課的學習中，是需要教師在教學中聚焦并突破的難點之一。因此，前邊研究誘導公式的經歷和經驗就是啟發學生思維順利進階的頓悟點。

（四）勇于舍去完美，誘導最新發展點

大多數教師會情不自禁地追求完美的課堂，盡可能講遍所有概念，講完所有題目，教會所有技巧和方法，講透所有數學思想，等等。事實上，收獲完美的課堂既不現實，又沒必要。數學概念、定理、推論的發展歷程本身就辯證地說明了科學本身是變化的，學生的身心發展也是不斷變化的，教師應該順應教學規律，允許學生在掌握知識等方面有個性化發展，允許不同學生在學習收效層次上有差異。誠然，教師教學最重要的意義在于幫助學生獲得最新發展的可能。其實，在本節課教學中，證明兩角差的余弦公式的方法有很多，教師不可能將所有能搜集到的方法講授給學生，而是要適度取舍，學會放手，允許課堂有“瑕疵”。最終的目標是激發學生站在現有的基礎上獲得進一步的發展。

注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2022年度教育評價改革專項課題“高品質課堂下中學數字資源應用環境四維評價體系的構建及應用研究”（2022ZJY409）、南寧市教育科學“品質課堂”建設專項課題“雙新背景下高中數學綠色課堂的實踐研究”（2022PZKT030）的研究成果。

（責編 劉小瑗）