有形的數學

玉花

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1672-8882（2015）05-146-01

“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想?！边@是《義務教育數學課程標準（2011年版）》闡述課程內容中的一句話，其中“幾何直觀、運算能力和模型思想”是這次新課程標準中新增加的內容，凸顯了其在義務教育階段數學課程中的重要性。

那么，什么是幾何直觀呢？“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！?也被稱為有形的數學。幾何直觀這里的“圖形”主要指點、線、面、體以及以上四要素組成的其它幾何圖形；幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是數學問題，而且可以是生活問題。為什么在2011年版義務教育數學新課程標準中，要提出應當注重發展學生的幾何直觀呢？

一、幾何直觀有助于學生對數學概念的理解

小學生是按照“感知――表象――概念”這一規律學習數學知識的。幾何直觀可強化感性認識，能為建立清晰而準確的概念打下基礎。

例如，教學“三角形的認識”時，為了讓學生能準確理解什么是三角形？導入新課，老師可讓學生拿出自己準備好的三角板摸一摸它的外觀，引導學生說出這就是“三角形”后，并讓學生用三角板或尺子畫出“三角形”，再讓學生說一說：“你是怎樣畫三角形的？”“用三條線段首尾相接畫成一個三角形?！苯又鴨枺涸谏钪羞€有哪些物體的外形是三角形的？學生舉例：紅領巾、小三角旗、自行車框架、屋架等，教師隨之播放準備好的課件，呈現這些幾何圖案。接著引導學生“做”三角形：用三根小棒擺一擺，擺成一個三角形，并讓一名學生在實物投影儀上操作演示，并讓這位學生說一說：“你是怎樣擺的？”“用三根小棒首尾相接擺成一個三角形?！逼渌瑢W也互相說一說，怎樣擺成一個三角形？此時，老師在黑板上畫一個三角形，然后啟發學生說：“通過剛才摸三角形、畫三角形、擺三角形，你們說說看，什么樣的圖形叫三角形呢？”在學生討論交流的基礎上得出結論：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。

以上通過摸一模、畫一畫、擺一擺三角形，引導學生在幾何直觀中認識三角形，描述三角形，感知三角形的本質特征，在學生大腦中逐步建立了三角形的清晰表象，使他們從具體到抽象逐漸理解了三角形的概念。從這個教學實例可以看出，通過幾何直觀的感性認識，為描述清晰而準確的“三角形”概念起到了關鍵的作用。

二、幾何直觀有助于發展學生的空間觀念

培養空間觀念是小學數學新課程標準的重要內容之一?！翱臻g觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等?！毙W生的空間觀念往往是在直觀學習幾何知識中形成的，或學生利用形象直觀的幾何圖形來描述和分析問題，解決問題，獲取知識的同時，反過來又在大腦中建立了物體的大小、形狀等表象，發展了自己的空間觀念。因此，要讓學生通過各種觀察、實際操作直觀的幾何圖形，來描述分析問題，在解決問題和獲取知識的過程中，促進空間觀念的形成和發展。

例如，在“圓柱的表面積”教學中，學生通過觀察圓柱體，明確圓柱的表面積包括“圓柱的側面積和兩個底面的面積”后，老師提出問題引導學生思考：“圓柱的側面積是一個曲面怎樣計算呢？” “能不能把曲面變成平面呢？” “能不能把圓柱的側面積展開來看一看呢？” 接下來重點引導學生動手操作：“拿出一張準備好的長方形紙裹住圓柱，我們可以把裹住圓柱的長方形紙看作圓柱的側面，同桌的同學共同動手試一試，想像一下如果沿著圓柱的高將長方形紙剪開，展開后看一看有什么發現？”學生合作探究：觀察思考展開后的這張長方形紙的形狀與圓柱體的側面有什么關系？即長方形與圓柱體的側面有什么關系？探究發現：長方形的大小就是圓柱側面的大小，長方形的面積就是圓柱的側面積，長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高，圓柱的側面積=長方形的長×寬=圓柱的底面周長×高；圓柱的表面積=圓柱的底面周長×高+兩個底面的面積=Ch+∏r2×2 。

這樣，運用長方形紙裹住圓柱后展開，讓學生直觀觀察圓柱的“曲面”變“平面”，又運用長方形的面積公式，直觀推導出圓柱的側面積公式，進而得出圓柱的表面積公式。以上充分運用幾何直觀，感受圓柱側面“化曲面為平面”的轉化過程，圓柱的側面形狀、大小與長方形的形狀、大小及相互位置關系在學生頭腦中留下了直觀的表象，很好地發展了學生的空間觀念。

三、幾何直觀有助于學生對復雜數學問題的理解

《義務教育數學課程標準（2011年版）》課程內容中有一段表述：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用?！?/p>

例如，在教學“乘法分配律”時，可以借助兩個平面組合圖形求其面積之和的過程，簡明、形象的呈現不易理解的“乘法分配律”的產生和由來，運用幾何直觀，把抽象的“乘法分配律”變得簡明、形象，易于學生理解和識記。又如，在教學“數的認識”時，教師可以幫助學生利用圓形、三角形、正方形或長方形等紙片，直觀理解數量和數的意義；在教學“解決復雜數量關系的問題”時，要善于利用線段圖來描述和分析問題中的數量關系；在解決“雞兔同籠”等問題時，要重視通過列表分析解決問題；在探索事件發生的變化規律時，要重視利用統計圖表幫助學生直觀感受事件發生的變化規律并預測結果；在探索函數關系的變化規律時，要重視利用表格、圖像進行描述和分析等。

因此，教師要善于在教學中有效運用幾何直觀這一有形的數學，幫助學生理解數學概念，發展空間觀念，將復雜、抽象的數學問題變得簡明、形象，幫助學生打開、拓展解決問題的思路，幫助學生形象、直觀地理解數學，學習數學，學好數學。