基于學科素養的高中數學概念教學實踐研究①

程仕然

(江蘇省黃埭中學 215143)

1 引言

數學概念是根植于數學研究對象本質屬性的思維產物.數學概念的教學是數學教學的根本，直接關系到學生對數學問題本質的理解和對數學基本思想的領悟，是形成數學學科素養的基礎.

然而，筆者在高中數學概念教學實踐中發現許多教師只是為了“教概念”而教概念，缺少從學科素養的視角進行教學設計，沒有立足于學科素養培養進行概念教學.大體存在如下情況：問題情境設置無效、虛假、為情境而情境，不能幫助學生從情境中提出確切的問題，更不要說提出數學問題，研究數學的本質；簡單介紹概念，列出若干注意，之后就開始大量刷題，學生的知識與技能的形成缺乏過程，學生的概念學習全無體驗而言，更無學習的樂趣；概念教學呆板單調，缺少探究，全程聽老師講概念、講例題、學生只是記概念、記筆記，沒有表達的機會，更談不上思維的形成；在概念的后繼學習過程中，缺少持續的概念化跟進，缺少認識過程中的概念性理解.

為解決這些問題，我們需要對學科素養培養視角下的高中數學概念教學進行深入的思考和研究，并在教學實踐中不斷調整與改進，給出較為有效的教學策略.

2 基于學科素養的高中數學概念教學研究

2.1 基于學科素養的高中數學概念教學認知

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下面簡稱“課標”)指出體現數學學科素養的四個方面：情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思[1].因此，基于學科素養的概念教學應從上述四個維度出發，讓學生從情境中提出問題，以問題激發思考，在思考中形成思維，在思維的基礎上形成概念，在問題解決中形成技能，在問題表達中進行交流，在交流中進行體驗，在體驗中反思內化概念知識、形成學科素養.

2.2 基于學科素養的高中數學概念教學理解

基于學科素養的概念教學應該落實于情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思這四個維度，從單純的“為了概念的教學”轉變為“通過概念教學走向素養的教學”，切實優化學生基于學科素養的概念學習，深化數學學科本質的概念理解水平，提升學生基于學科素養的概念化能力.

(1)情境與問題基于理解，發于興趣

有效的情境問題有助于概念的引入和建構.恰當的現實情境、數學情境、科學情境有助于學生從中發現問題，提出數學問題.不熟悉的情境問題會加重學生的認知負荷，讓學生不理解的情境問題會影響知識的遷移和創新，對情境問題不感興趣也會影響概念理解的正確率.沒有深刻理解的概念，容易被忘記，即使記住，也不容易轉化到新情境中去.所以，情境與問題應基于學生理解，從學生興趣出發，改善學習狀態，提升概念學習質量，提高概念的有效教學.

(2)知識與技能基于探究，蘊于活動

以學生生活聯系密切的現實問題為切入點，圍繞具體數學問題設置核心活動，開展探究，在問題解決中形成知識與技能，有利于概念的形成和深入研究.讓學生在活動中提出問題，在自主探究中獲得概念、定義、性質、法則等知識，熟練進行有關的運算和代數推理，在問題解決與應用中鍛煉學科技能，達成思維遷移與創造.所以，知識與技能應基于學生自主探究，讓概念學習蘊于活動之中，在活動實踐中形成技能，提高概念的思辨能力，形成結構優良的概念知識.

(3)思維與表達基于內化，顯于形象

思維與表達是反映學生思維品質和表述能力，具體體現是思維的嚴謹性和表述的準確性.一個數學概念可能有許多現實原型，一個現實問題可能有不同數學模型，多角度開發現實原型，讓學生學會提出問題，學會數學地表達，在數學語言和思維層面進行交流，將“抽象”變“形象”，讓概念的形成可視化，促進概念內化，幫助思維進階.所以，思維與表達應基于幫助學生內化概念，引導學生通過表達與交流讓思維外顯于形象.

(4)交流與反思基于深化，源于本質

交流與反思是在教學中用數學語言直觀地解釋和交流數學概念、結論、應用和思想方法，并進行反思和總結.數學課堂教學就是師生間的一場對話，通過對話進行交流互動，傾聽并引導學生去主動地發表對問題的見解，幫助學生把不成熟、不正規的解釋向規范的數學表達過渡，進行評價、總結和拓展.讓學生自己提出問題，在問題本質探究中進行深入交流，在問題解決中進行反思，在反思中深化概念，加深理解，形成優秀思維品質.所以，交流與反思應基于幫助學生深化概念，探源概念的本質.

3 基于學科素養的高中數學概念教學策略

3.1 優化單元結構，整體設計基于學科素養的概念教學

無論是單元目標還是課時目標，在教學目標設計時，首先要思考下列問題，然后再具體擬定目標：確定與本課相關的主要核心素養；確定各核心素養應當達到的具體水平；解析與本課相關的數學文化元素；梳理知識的來龍去脈[2].所以，概念教學應當向課標尋向，由教材找路，從素養出發，優化單元結構，整體設計基于學科素養的概念教學.

(1)向課標尋向，明確概念教學的課標要求

課標把高中數學課程分成了若干個主題，每個主題都對相關概念的內容要求、教學要求及學業要求做了具體的規定和指導，在學業質量水平方面對學科素養水平也給出詳盡描述.這些是概念教學的落腳點，在此基礎上建立起來的概念教學才能夠緊密關聯概念與主題，體現教師對主題的認識和思考，推動主題教學的深入.明確概念所在的主題，研究和領會課標對相關概念的內容要求、教學提示及學業要求，把握概念教學的方向.

(2)由教材找路，理清概念教學的知識結構

布魯納曾指出：無論教師教授哪類學科，一定要使學生理解該學科的基本結構，有助于學生解決課堂內外所遇到的各類問題.掌握事物的基本結構，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯系起來的方式去理解它，學習這種基本結構就是學習事物之間是怎樣相互關聯起來的[3].新課程提倡進行“主題——主線——單元”整體設計，重視整體性、結構性和序列性.所以，理清單元知識結構是實施概念教學的基礎，理清概念形成和發展的脈絡，為學生呈現最佳的知識結構，有效設計概念教學.

案例1 三角函數單元知識結構梳理(人教版高中數學必修一)

三角函數單元是以單位圓模型為研究對象，在單位圓模型統領下，從具體事實的探究出發，建構相關概念，在不同的研究主題內研究三角函數，形成概念聯系.單元知識脈絡是“自然界中各種周而復始現象→點的圓周運動模型→單位圓數學模型→三角函數的概念→幾何直觀研究單位圓模型上三角函數圖象、誘導公式、恒等變形等性質→研究和解決三角函數問題→拓展探究數學中復雜問題”.

本例是從單元整體視角對概念結構進行梳理，通過分析教材，理清基本事實，理順研究微主題，明確研究主線，由研究對象相關的基本事實出發，抽象出研究對象的一般規律，在具體事實的研究或者發現基礎上建立概念，形成由事實性實例支撐的概念性理解，進而形成思維鏈，在不同的研究主題內體現概念間的聯系，幫助學生掌握知識的基本結構.

(3)從素養出發，架構概念教學的四個維度

教師在概念教學設計時要明確體現學科素養的四個維度的研究內容、達成的素養目標.從這四個維度來解析教學內容：厘清問題提出的情境背景；明確概念形成所需的知識與技能目標；落實概念產生歷程中的思維與表達的要點和環節；形成深化概念理解的交流與反思路徑.

案例2 基本不等式教學內容四維架構

維度內 容核心素養情境與問題現實情境:探究物體質量M;數學情境:判斷兩個正數a,b的算術平均數a+b2 與幾何平均數ab的大小關系;科學情境:杠桿原理,數據分析;問題:數據a+b2和ab之間有什么樣的數量關系?數學建模數學抽象知識與技能構建a+b2與ab間的基本不等關系,進行簡單的應用:基本不等式解決簡單的最大值或最小值.數據分析數學計算思維與表達基本不等式的嚴格證明,深刻理解基本不等式;用自然語言和符號語言表達基本不等式的內容;邏輯推理數學抽象交流與反思基本不等式幾何解釋;基本不等式變形,深化基本不等式基本思想和基本方法.直觀想象數學抽象

上面案例從四個維度對基本不等式教學內容進行了架構，由現實情境、科學情境與數學情境等情境背景提出問題，由問題開展數學建模和數據分析等探究活動；由數學計算和數學抽象進行概念建構，達成知識與技能目標；由思維與表達辨析概念；由交流與反思深化概念.明晰素養，架構教學目標的四維，是開展概念教學的起點.

3.2 貫穿核心概念，持續深化基于學科本質的概念學習

數學核心概念能夠反映數學對象的本質，貫穿概念體系，起著引領和聯系作用，是數學定理、公式和法則的基礎，也是學生獲得系統數學知識的根源．圍繞核心概念梳理教材，從數學的視角理解核心概念，分析概念核心及其相關概念構成的網絡體系，找出核心概念的核心所在，立足核心概念的基本特征，著眼于概念的核心，組織單元教學．發揮核心概念在各自章節和模塊學習中的綱領性作用，加強模塊內容的縱橫聯系，幫助學生建立結構功能優良，遷移能力強的數學認知結構，體會數學的思維方式，引領和輻射其他相關概念的學習，提高對數學的整體認識.

案例3 函數概念貫穿高中數學概念體系

函數是高中數學的核心概念，貫穿整個高中數學課程.函數是最基本的數學語言與工具，是連接和支撐其他知識的主干．從函數視角來看：數列是任意一個自然數與唯一一個實數的一個對應；隨機事件概率是任意隨機事件與區間[0，1]上的唯一的數相對應；任意復數都與唯一一個有序數對對應；任意角都與唯一一個實數對應，三角函數是實數集到實數集的對應等等，說明函數概念具有廣泛聯系性．函數概念還是現代數學最根本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，函數思想是眾多現實問題解決的出發點．函數概念是高中階段初等函數及性質研究的生長點，函數概念的“任意-唯一”的描述方式在后面學習的單調性、奇偶性、周期性、最值、三角函數定義、向量基本定理等內容的表述中都有體現．另外，函數的性質研究內容及過程也可以類比到其他模塊概念的研究.比如，研究概率P(A)的單調情況：如果A?B，那么P(A)≤P(B)類比函數的單調性(任意x1，x2∈D，當x1

案例4 函數概念的持續深化

問題：想通過簡單隨機抽樣的方法，了解一下某校2174名學生中視力不低于5.0的學生所占的比例，你覺得該怎么做？

面對上述實際問題，我們看到問題中的函數特征，從函數的視角思考問題，建立視力調查的分段函數數學模型，解決了實際問題，體現了函數學習的價值，是函數概念學習的實踐活動，是函數思維的外顯，將學科認識和實踐逐漸轉化為個體對所處世界不斷概念化的工具，這就是對函數的概念性理解.

3.3 建設場域課堂，逐步內化基于學科素養的概念理解

課堂教學是教與學的互動，是作為學習主體的人與現實世界互動的過程中建構知識的活動.場域課堂建設就是在概念教學活動中把問題融入到基于學生認知范圍的現實情境中去，在核心活動中探究問題，構建相應概念；把知識融入到技能中去，在知識與技能的習得中去深刻理解數學概念的本質；把思維融入到表達中去，探討概念與其他概念的聯系，深化概念；把交流融入到反思中去，在交流與反思中辨析概念、內化概念.

(1)建設有現實氣息的問題與情境場域，促進概念探究

指向素養的學習必須是真實學習，真實學習必須要有真實情境與任務的介入.只有在真實情境下運用某種或多種知識完成特定的任務，才能評估關鍵能力、必備品格與價值觀念[4].從社會生活、科學、學生已有數學經驗入手，選擇貼近學生生活經驗、符合學生認知水平的素材，讓學生處身于感興趣的真實有效的問題與情境場域中，探索問題，促進概念的探究.

案例2從探究物體質量的實際問題出發，在微建模探究中讓學生獲得基本活動經驗.強調數學與生活以及其他學科的聯系，讓學生感受到學習的意義與快樂，提升數學建模和數學抽象素養，提高學科融合能力.教學活動的重心放在學生動手實踐、自主探索、合作交流.利用信息技術探尋研究對象的變化規律，讓學生進行獨立思考，增強基于數據表達現實問題的意識，從感性上認識和理解基本不等式.從探究活動中讓學生提出更一般的數學問題，形成概念的雛形.

(2)建設有深度研究的知識與技能場域，幫助概念重塑

弗賴登塔爾認為：“數學教育是數學的‘再創造’”．所以說，數學課堂教學就是在問題與核心活動中引導學生經歷知識與技能的產生與發展，構建數學知識體系[5].選擇有研究深度的問題，讓學生深入體驗概念的生發過程，在探究中重塑概念.

在講授錐體體積公式的時候，先讓兩位同學演示三份錐體容器內部的液體恰好可以灌滿一個同底等高的柱體容器(從感性上認識)，然后用祖暅原理從理論上證明同底等高的三棱錐體積是三棱柱體積的三分之一(從理性上推導).在研究對象的可視化前提下，通過數學實驗核心活動，讓學生觀察數學實驗現象，動手操作，動腦思考，動口總結，由具體問題研究形成一般理論，重塑錐體體積公式產生的歷程，提升數學抽象、邏輯推理等素養.在嚴格的數學證明活動中，體會邏輯推理、數學表述的嚴謹性和邏輯性，培養數學表達能力，提升思維品質.讓學生感受數學問題感性認識和理性認識的不同，從具體的知識與技能上升到思維層面，幫助學生更好地理解數學概念的本質.

(3)建設遞進有向的思維與表達場域，深化概念理解

數學教學應該是一種慢藝術.缺乏探究的教學，必然導致缺乏思維空間的學習，正如缺乏空氣，缺乏水分的植物，哪會有郁郁蔥蔥的景色[6].從情境中挖掘和提煉出問題讓學生去思考和表達，在探究的過程中師生之間、生生之間的語言交流與思維碰撞，促進學生從本質上深刻理解概念.

由核心活動提出問題，分析問題，獲得研究對象的一般性結論，進而再研究這一結論的科學性，深化問題本質.在問題探究的過程中進行思維表達，在遞進有向的思維進階過程中理解概念的本質.學生任務活動的設置要與發展學生數學思維素養相適應，要基于數學思維培養的階段性特點．在認識數學對象來源階段，提供直觀感知、模型想象等思維活動的情境或素材，發展學生的直觀想象素養；在數學知識對象抽象階段，探究活動與問題設計要立足學生認知水平和認知規律，充分展示知識的生成過程，在促使知識的內化過程中，形成相應的數學方法與思想，培養學生的抽象能力，形成數學的思維方式，增強學生解決新問題的能力，這對于促進學生可持續發展具有重要的實踐價值和現實意義.

4 基于學科素養的高中數學概念教學反思

數學概念教學的理想狀態是讓概念生發自然、理解到位，內化深刻.教學活動應當錨定四個維度的著力點，讓學生在概念建構、探究、內化、深化的過程中深刻理解數學的基本概念和基本思想方法，形成素養.另外，在概念教學中，少有教師能夠及時將數學概念與數學思想、數學觀念相聯系，少有老師用數學概念解釋身邊的生活現象，發揮數學概念教學的學科育人的作用就更少了.

格物方能致知，在概念教學上，格物即為探究數學對象的本質屬性，致知即為掌握事物規律，形成思維.構建基于理解，發于興趣的概念課堂教學，在有現實氣息的生活場中由情境引發問題，在有深度研究的思維場中由知識生發技能，在有溫度的情感場由思維觸碰表達，在有活力的生命場由交流產生反思，形成以素養為核心的“四維一核心”的概念課堂教學新形態，這也許就是基于學科素養的數學概念課堂教學建設之道.