凸面恒溫基底上固著液滴蒸發特性研究

張舒蕾，李冰杰，蔣健，董新宇，2，劉璐，2

（1 華北電力大學動力工程系，河北 保定 071003； 2華北電力大學，河北省低碳高效發電技術重點實驗室，河北 保定 071003）

引 言

固體基底上固著液滴的蒸發廣泛應用于化工[1-2]、噴淋冷卻[3-4]、電子器件散熱[5-6]等領域。液滴蒸發過程包含的傳熱傳質機制有：基底內部導熱、液滴內部由于溫度梯度和表面張力梯度而產生的對流、液滴與基底間界面換熱、液滴周圍蒸氣的傳質擴散，以及蒸發引起的氣液界面演化[7]。其中，需要考慮的問題涉及三相接觸線動力學、界面演化、液滴內部Marangoni流動等。

近年來，對固著液滴蒸發過程的研究多集中于工質種類[8-9]、基底性質[10-11]及外界環境[12-15]等因素對液滴蒸發特性的影響，主要分為實驗研究和理論研究兩個方面。實驗研究方面，Rowan等[8]實驗研究發現，聚甲基丙烯酸甲酯表面上水滴和特氟龍表面上的醇類液滴蒸發過程的高度和接觸角均隨時間線性變化，當初始接觸角小于90°時，蒸發初始階段為恒定接觸半徑蒸發模式。閆鑫等[9]研究了金納米流體液滴的蒸發模式，發現納米粒子在接觸線上的沉淀導致接觸線釘扎，蒸發過程中接觸角不斷減小。金艷艷等[10]選用單晶硅片和聚四氟乙烯膜作為基底，采用四種濃度的乙醇水溶液，研究了水-乙醇二元混合液滴在固體表面上的蒸發規律。實驗結果表明，添加乙醇縮短了液滴的蒸發時間，減弱了液滴的釘扎效應，使得液滴更容易發生滑移。Gurrala等[11]實驗研究了不同基底溫度下乙醇-水二元混合物固著液滴的蒸發特性，發現提高基底溫度會迅速降低液滴壽命。Liu 等[15]進行了降壓過程中固著水滴蒸發的實驗和理論研究，結果表明，由于基底的潤濕性不同，水滴在載玻片表面蒸發最快，在特氟龍表面蒸發最慢。理論研究方面，董佰揚等[16]通過引入動態接觸角模型模擬液滴蒸發過程，分析了液滴體積和接觸角隨時間的變化。Nguyen等[17]采用分離變量法求解了液滴蒸發準穩態傳熱擴散與傳質擴散的雙向耦合模型，提出了固著液滴蒸發與界面蒸發冷卻效應耦合的解析解。Zhu 等[18]建立了恒定接觸角蒸發模式下固著液滴的三維蒸發模型，該模型可直接通過局部蒸發通量計算液滴界面演化。Shen等[19]對固著液滴蒸發過程進行了理論分析和數值模擬，研究了接觸角、蒸發冷卻效應和基底過熱對液滴蒸發的影響。

盡管學者們對固著液滴蒸發過程開展了大量研究，但大多集中于水平剛性基底上的液滴蒸發現象，而對于固著液滴在曲面基底上的研究則較少涉及。液滴在曲面基底上的蒸發現象在工業生產中非常常見，例如：液滴撞擊加熱管壁的汽化過程、內燃機燃料液滴撞擊彎曲壁面的汽化過程等[20]。對于曲面基底，基底導熱[21]、液滴周圍蒸氣擴散[22-24]和界面演化[25-28]對液滴蒸發的影響與平面基底存在差異。Dhar等[21]研究了超疏水表面上的固著液滴蒸發過程中其內部流動速度與基底表面曲率的關系，發現增加基底曲率可以提高液滴內部流速。Paul 等[24]研究了固著液滴在親水和超疏水彎曲表面上的蒸發過程，利用粒子圖像測速技術獲得了蒸發液滴內部的流場，并分析了彎曲基底上液滴蒸發的形態變化。Petsi等[26]研究了在彎曲和水平恒溫基底上的二維固著液滴蒸發過程其內部溫度分布，發現液滴在凸面基底上的溫度變化大于在水平和凹面基底上的溫度變化。Shen等[27]建立了固著液滴在彎曲基底上蒸發的傳熱傳質理論模型，采用環形坐標系將蒸發傳質與氣/液界面傳熱和固/液界面傳熱三者耦合，分析了蒸發冷卻效應、基底熱導率和液滴初始形狀對蒸發過程的影響。

針對曲面基底上液滴蒸發特性的研究還較少，且對于凸面恒溫基底上液滴蒸發傳熱傳質理論模型缺乏實驗驗證。本文搭建凸面恒溫基底上蒸餾水液滴蒸發的可視化實驗系統，研究液滴蒸發模式，采用紅外熱像儀捕獲液滴表面溫度分布。采用環形坐標系建立凸面恒溫基底上固著液滴蒸發的傳熱傳質模型，在Shen 等[27]研究的基礎上，理論推導液滴內部溫度分布以及周圍蒸氣濃度分布的解析解。將模型計算結果與實驗結果對比，驗證模型的可靠性。

1 實驗系統

本文搭建了凸面恒溫基底上固著液滴蒸發的可視化實驗系統，如圖1所示。該系統由加熱模塊、溫度控制模塊以及圖像采集模塊組成。加熱模塊包括不同曲率直徑的銅圓柱（D0=20、30、40 mm）和加熱棒（額定功率80 W）；溫度控制模塊包括PID 溫度控制器和熱電偶，用于控制基底表面溫度，其中PID 溫度控制器精度為0.1℃，熱電偶的絕對測量誤差為±0.2℃；圖像采集模塊包括CMOS 相機、紅外熱成像儀和冷光源。

其中，CMOS 相機（Point Grey，分辨率1280×960，幀率90 幀/秒）記錄液滴蒸發過程中的形態演變，紅外熱成像儀（FLIR T620，絕對測量誤差±2℃，幀率60 幀/秒）記錄液滴表面溫度分布。為確保紅外熱像儀捕獲溫度的準確性，在加熱銅柱表面貼一層厚度為10 μm 的親水性黑膜（Nitto UTD-10B），黑膜表面粗糙度Ra= 0.023 μm。實驗中，在銅柱側面做好中心位置標定，使用ImageJ 軟件對圖像進行分析處理，測量誤差為0.026 mm。實驗采用蒸餾水作為液滴工質，初始體積為1、3 和5 μl，基底溫度分別為62.6、72.6、82.6℃，環境溫度為（26.3±0.2）℃，相對濕度為52%±3%。實驗過程中，通過恒溫恒濕空調調節實驗室內溫濕度恒定，盡可能減小環境因素變化對實驗過程的影響。每組工況實驗重復3 次，保證實驗的可重復性。

2 理論模型

對于曲面基底，引入圓環坐標系(α,β)以描述液滴蒸發過程的界面演化，如圖2 所示。液滴/基底界面和液滴/空氣界面分別由（0 ≤α＜∞,π -θsub）和（0 ≤α＜∞,π -θ）進行描述。其中，θ和θsub分別為液滴球冠、基底球冠與水平面在接觸線上的夾角；R為液滴接觸半徑；T∞和C∞分別為無窮遠處環境溫度和蒸氣濃度；Tw為基底表面溫度；iα和iβ分別為沿α軸和β軸方向的單位向量。

圖2 物理模型示意圖[27]Fig.2 Schematic diagram of physical model[27]

邊界條件為：

傳熱與傳質耦合的邊界條件為：

式中，q為熱通量；L為液滴的汽化潛熱；J為液滴/空氣界面處的蒸發通量。

對上述方程進行求解可得[27]：

式中，E0為蒸發冷卻數（E0=bLD/k），b= dCsat/dT，k為液滴熱導率，D為蒸氣在空氣中的擴散系數[29]。當E0= 0時，不考慮蒸發冷卻效應。

液滴的質量蒸發率為：

其中

3 結果與分析

3.1 實驗結果

3.1.1 液滴形態變化 圖3 所示為基底溫度為72.6℃時5 μl 固著水滴在凸面基底上蒸發過程的形態變化，圖4 為凸面基底上不同初始體積的液滴接觸半徑隨蒸發時間的變化。

圖3 凸面基底上固著水滴蒸發過程的形態演化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.3 Morphological evolution of sessile water droplet evaporation on convex substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

圖4 凸面基底上不同初始體積固著水滴蒸發過程接觸半徑隨時間的變化（Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.4 Variation of contact radius with time during sessile water droplet evaporation with different initial volumes on convex substrate(Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

分析圖3、圖4 可得：水滴在凸面基底上蒸發分為三個階段，即鋪展階段、恒定接觸半徑蒸發階段和混合蒸發階段。鋪展階段指液滴在基底上鋪展直至最大接觸半徑，當液滴體積分別為1、3、5 μl時，其最大鋪展半徑分別為0.71、1.46、2.05 mm，鋪展階段占總蒸發時間的比例為4.3%、3.2%、2.8%。恒定接觸半徑蒸發階段指液滴在蒸發過程中接觸半徑保持不變而接觸角不斷減小，當液滴體積分別為1、3、5 μl 時，該階段占液滴總蒸發時間比例分別為89.3%、92.5%、93.7%?；旌险舭l階段指液滴接觸半徑和接觸角均隨時間不斷減小，液滴接觸線開始“去釘扎”，當液滴體積分別為1、3、5 μl時，混合蒸發階段占總蒸發時間的比例為6.4%、4.3%、3.5%。綜合來看，凸面恒溫基底上蒸餾水液滴的蒸發主要遵循恒定接觸半徑蒸發模式。

為對比凸面與平面基底上液滴蒸發的區別，進行基底溫度為72.6℃時5 μl固著水滴在平面基底上的蒸發實驗。圖5所示為液滴蒸發過程中的形態變化，圖6 為兩種不同基底表面上液滴蒸發過程的接觸半徑隨時間的變化?？梢钥闯?，平面基底上的水滴鋪展后，進入恒定接觸半徑蒸發階段，其后接觸線緩慢收縮，蒸發后期接觸線快速收縮直至液滴完全蒸發。相較于凸面基底，平面基底上的液滴最大鋪展半徑較小，釘扎時間縮短，總蒸發時間較長。這是由于基底表面曲率的存在促進了液滴的鋪展，同時延緩了接觸線收縮行為的發生。凸面基底上液滴的鋪展面積較大，增強了基底向氣液界面的傳熱，提高了液滴的蒸發速率。

圖5 平面基底上固著水滴蒸發過程的形態演化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.5 Morphological evolution of evaporation process of sessile water droplet on flat substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

圖6 不同基底表面上固著水滴蒸發過程接觸半徑隨時間的變化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.6 Variation of contact radius with time during water droplet evaporation on different substrate surfaces(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

3.1.2 液滴表面溫度分布 圖7所示為凸面基底溫度72.6℃時，5 μl 蒸餾水液滴蒸發過程的紅外熱成像圖。蒸餾水在紅外熱像儀的工作波段下發射率為0.96，接近1[30]，故可認為紅外熱像儀所測溫度為液滴表面溫度。從圖中可以看出，當液滴鋪展到最大半徑后，液滴表面沿徑向有較大溫度梯度，沿液滴表面從中心到接觸線方向溫度單調遞增，液滴表面中心溫度最低。由于液滴蒸發冷卻作用，接觸線附近基底溫度明顯低于周圍基底溫度。隨后，液滴內部整體溫度升高，徑向溫度梯度減小，接觸線附近基底溫度與周圍基底溫度差值減小。這是由于液滴接觸角減小，液滴氣液界面與基底表面之間的距離減小，從而促進了從基底到氣液界面的傳熱，造成液滴溫度升高，表面整體溫度趨于均勻。當進行到蒸發后期，液滴整體表面溫度分布均勻，接觸線附近基底溫度接近周圍基底溫度。

圖7 凸面基底上固著水滴蒸發過程的紅外熱成像圖（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.7 Infrared thermography of evaporation process of water droplets on convex substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

3.2 模型計算結果

3.2.1 影響液滴蒸發速率的因素 使用Matlab 軟件對理論模型進行計算，圖8對不同液滴初始體積、凸面基底溫度及凸面基底曲率下液滴蒸發體積變化的模型計算值與實驗結果進行了比較。圖中，將液滴體積無量綱化處理，V為液滴剩余體積，V0為液滴初始體積。

圖8（a）比較了液滴初始體積對液滴蒸發過程的影響?？梢钥闯?，當不考慮蒸發冷卻效應即E0= 0時，液滴體積變化速率較實驗結果更快，液滴蒸發時間更短，這與Xu 等[31]的理論分析結果相一致，表明模型考慮蒸發冷卻效應可使計算結果更加準確。

圖8（b）比較了凸面基底溫度對液滴蒸發過程的影響。根據計算，當基底溫度為62.6、72.6、82.6℃時，蒸發冷卻數E0的取值分別為0.52、0.72、0.95。如圖所示，隨著基底溫度的升高，液滴的蒸發速率加快。這是由于基底溫度越高，氣液界面溫度也越高，液滴蒸氣濃度越大，蒸發速率越快。

圖8 模型計算值與實驗值的比較Fig.8 Comparison between calculated results and experimental data

圖8（c）比較了凸面基底曲率對液滴蒸發過程的影響?？梢钥闯?，當基底曲率直徑D0= 20 mm時，液滴蒸發速率最快。這是由于基底曲率直徑越小，液滴重力沿基底切向的分力越大，使得液滴在凸面上的鋪展半徑更大，基底向氣液界面的傳熱增強，加快了液滴的蒸發。

由圖8 可以看出，模型計算值與實驗結果吻合較好，驗證了本文模型的可靠性。

3.2.2 液滴內部溫度分布 圖9所示為凸面基底上液滴蒸發過程的內部溫度分布。由于本文模型不考慮液滴鋪展過程，故模型計算的初始時刻為液滴鋪展到最大接觸半徑的時刻。圖中t?為無量綱蒸發時間?？梢钥闯?，由于液滴/基底界面與液滴/空氣界面之間的距離沿徑向遞減，導致液滴徑向產生較大溫度梯度，且溫度從液滴中心向接觸線方向遞增。此外，由于液滴沿高度方向距離越大，氣液界面與基底間的熱阻就越大，基底熱量無法迅速傳遞至液滴頂部[27]，液滴內部沿高度方向產生較大溫度梯度，從接觸線到液滴頂部溫度逐漸減小，最低溫度位于液滴頂部中心位置。隨著蒸發不斷進行，液滴厚度減小，固液接觸角逐漸減小，加快了基底與液滴間的傳熱，使得液滴內部溫度梯度減小，整體溫度分布趨于均勻，最終接近基底表面溫度。

圖9 模型計算液滴內部溫度分布（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.9 Temperature distribution of droplet evaporation calculated by the model(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

圖10 對比了不同曲率直徑基底表面上液滴氣液界面過余溫度的模型計算值與實驗結果?？梢钥闯?，當凸面曲率直徑D0= 20 mm 時，液滴頂部中心溫度更高，且液滴的徑向溫度梯度更小。這是由于液滴鋪展半徑的增大縮短了液滴氣液界面到基底的距離，增強了基底向氣液界面的傳熱，使得氣液界面溫度分布更為均勻。此外，液滴氣液界面處的過余溫度沿液滴表面從中心到接觸線方向單調遞增。隨著蒸發過程的進行，液滴體積逐漸減小，液滴內部整體溫度趨于均勻。

圖10 不同曲率直徑基底上液滴氣液界面過余溫度計算值與實驗值的對比（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.10 Comparison between calculated and experimental values of excess temperature of liquid droplet gas-liquid interface on substrates with different curvature diameters(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

4 結 論

本文搭建了凸面恒溫基底上的蒸餾水液滴蒸發可視化實驗系統，捕獲了液滴蒸發過程形態變化和液滴表面溫度分布?；诃h形坐標系建立了凸面恒溫基底上固著液滴蒸發的傳熱傳質模型，推導出液滴內部溫度分布及其周圍蒸氣濃度分布的解析解。將實驗數據與模型結果進行對比，驗證了模型計算的可靠性。分析了凸面恒溫基底上蒸餾水液滴的蒸發特性，得到如下結論。

（1）模型計算中，需考慮蒸發冷卻，使模型計算結果與實驗值吻合較好。同時，提高基底溫度和減小基底曲率直徑均可加快液滴蒸發速率。

（2）相較于平面基底，凸面基底上液滴的鋪展半徑更大，釘扎時間延長，總蒸發時間減小，液滴蒸發主要遵循恒定接觸半徑蒸發模式。

（3）凸面基底曲率直徑越小，液滴蒸發過程內部徑向溫度梯度越小。這是由于液滴鋪展半徑的增大縮短了液滴氣液界面到基底的距離，增強了基底向氣液界面的傳熱，使得氣液界面溫度分布更為均勻。液滴氣液界面過余溫度從中心到接觸線方向單調遞增。隨著蒸發過程的進行，液滴整體溫度分布趨于均勻。

符 號 說 明

Ce——接觸線處液滴的飽和蒸氣濃度，mol/L

C∞——無窮遠處環境中的蒸氣濃度，mol/L

D——蒸氣在空氣中的擴散系數，m2/s

D0——凸面基底曲率直徑，mm

E0——蒸發冷卻數

iα(iβ)——沿α(β)軸方向的單位向量

J——液滴/空氣界面處的蒸發通量，kg/(m2·s)

k——液滴熱導率，W/(m·K)

L——液滴汽化潛熱，kJ/kg

dm/dt——質量蒸發率，kg/s

q——熱通量，W/m2

R——三相接觸線接觸半徑，mm

Tw——基底上表面溫度，K

T∞——無窮遠處環境中的溫度，K

T(α,β)——液滴內部溫度值，K

V——液滴體積，mm3

θ——液滴球冠與水平面在接觸線上的夾角，rad

θsub——基底球冠與水平面在接觸線上的夾角，rad

下角標

sub——基底

w——壁面