淺談反例在小學數學教學中的應用

摘 要：在新時期教學背景下，教師不僅要關注學生是否“學會”，還要關注學生是否“會學”，是否具備舉一反三、逆向推理的能力。特別是在小學數學教學中更應如此，教師要善于通過反例的“證偽”功能，證實數學定理公式的不可推翻性，以此加深學生對知識的認識，掌握逆向的思維思考方法。在本文中，筆者將就反例在小學數學教學中的應用做了簡要的分析，希望能夠為廣大教師提供一些借鑒和幫助，僅供參考。

關鍵詞：反例;小學數學;教學應用;數學概念

中圖分類號：G62? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2022）20-0050-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.20.017

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》明確提出“要培養學生尋求證據、給出證明、舉出反例的能力”，因此反例在小學數學教學中具有重要的價值。反例是鑒別假命題的常用工具，通過反例可以深化概念、糾正錯誤，還可以促使學生的創新思維能力得到有效培養。在今后的教學過程中，小學數學教師要善于運用反例教學，以此提高學生的思維能力。

一、反例在小學數學教學中的作用

長久以來，在小學數學教學中有很多教師只注重正向推導，卻很少關注反例的運用。其實，反例在數學教學中具有重要的運用價值，主要體現在以下幾個方面。首先，反例能夠幫助學生深化知識概念。數學概念是數學結構的邏輯起點，同時也是學生學習新知識的前提和基礎。對于數學概念的學習，若只是用證明的肯定例證，學生往往很難深刻地把握概念的本質，而反例具有“證偽”的功能，若是引入反例去幫助學生對數學概念的非本質屬性進行“凈化”，這一定可以促使學生對數學概念有更加深刻的認識。其次，幫助學生糾正錯誤，發現問題。數學是一門對學生邏輯思維能力有較高要求的學科，因此學生經常犯錯，但又不明白自身犯錯的原因，重復犯錯。而反例在錯誤辨析上具有簡單、明顯、說服力強的優勢，在教學過程中教師若是能夠有效地列舉反例，就能最大限度地幫助學生發現錯誤原因[1]。最后，有助于學生創新思維品質的培養。一直以來，在小學數學教學中，無論是教材的編制還是教師的講解都是從正面的陳述出發，而這在不知不覺中使得學生養成了固定的思維模式，只會正向思考一些數學問題，而不會逆向尋求思路，而反例在小學數學教學中的應用打破了傳統的思維定式，成為培養學生創造性思維品質的有效途徑。

二、反例在小學數學教學中的應用

（一）把握有效運用反例的時機

反例在小學數學教學中具有重要的運用價值，但卻并不是在所有的教學時刻都適用的，教師要想充分發揮反例的優勢和價值，需要準確把握運用反例的時機，以此提高教學的效率。對此筆者提出了以下幾個方面的建議。

第一，當學生不能全面感知知識時應用。在小學數學教學中，學生不可避免地會學習到一些內涵較為豐富的數學知識，而這對于抽象思維能力較差的小學生而言是存在一定困難的。常規的教學方法難以幫助學生全面感知知識內涵，此時就是教師列舉反例的最佳時機，可以通過反例的運用幫助學生凈化概念中非本質屬性，從側面凸顯知識潛在的本質屬性，以此實現對知識屬性透徹分析，從而加深學生對知識概念的把握。首先，教師應該深度明確數學教學的動態化特性，同時學生對數學知識的體驗深度和生成狀態也具有較強的動態性?；诖?，教師要想順利啟動學生數學探究思維的迸射閘門，就應該密切關注在數學教學流程推進過程中學生的生成表現。如果學生的生成狀態較為活躍，能夠在基礎性數學知識中自主發現新問題，就代表學生對數學知識的輸入效果較好，這時教師可以暫緩反例的運用;如果學生的生成狀態較為僵硬，對教師啟發引導教學的積極情緒反應不足，則代表學生在感知和輸入數學概念知識時出現了思維阻滯，那么教師必須抓住時機，迅速跟進反例教學，提升學生數學建模能力和逆向思維能力的靈活性，消除學生對數學模型的非理性認識，從而實現教師在數學教學中對有效運用反例時機的科學把握。其次，在學生無法自主全面感知數學知識時，教師還應該善于借助反例為學生搭建思維跳板，引導學生借助反例分析梳理數學模型的來龍去脈。這樣一則可以錘煉學生的遷移變式能力和逆向思維能力，二則也能順利消除學生數學模型中的非本質屬性，從而促進學生對數學概念理性理解能力的橫向和縱向拓展，體現教師對反例運用時機的精準把握。

第二，當學生認知活動受舊知識影響時應用。新知識與舊知識之間具有相互聯系的特點。學生的新知是建立在舊知聯系基礎之上的，而且舊的知識是新知識學習的延伸和拓展點，這也是學生學習的一種規律特性。而也正是因為學習的這種特性，學生在學習新知識時很容易受到過往知識規律的影響，從而造成學生出現知識混淆。此時，教師就可以通過列舉反例的方式，幫助學生澄清知識間的區別和聯系，這樣不僅可以避免學生的認知活動受舊知識影響，還可以使學生立足于舊知識，更好地感知新知識[2]。學生數學認知活動受舊知識影響主要有兩種表現：一種是學生的認知能力局限在舊知識經驗之內，在領會新知識的過程中遭遇思維屏障;二是學生在同時吸納掌握新舊知識點之后，在拓展訓練階段混淆新舊知識的本質屬性，這些思維矛盾如果得不到妥善解決，學生數學知識體系的構建以及理性思考能力的發展勢必會受到不利影響。教師在針對以上情況運用反例時，應該著重開發反例教學的思維引領功能，借助反例使學生體驗到數學概念的廣泛性和開放性，幫助學生解除認知活動的限制，通過常規教學和反例引導促使學生自主明晰新舊知識之間的關聯點以及異同之處。這樣，學生的舊知識基礎可以得到有力鞏固，對于新知識的吸納效率也不再受限，還能順利領會類比、分類討論、歸納推理等數學思想。這些都有助于反例教學功用最大限度地發揮出來。

第三，當學生受思維定式消極作用干擾時應用。學生的思維消極作用主要體現在問題發生變化時，學生不能發現新舊問題的區別，而是用自己慣性的思維去思考問題，從而導致學生陷入解題的瓶頸當中。而此時教師就可以通過運用反例的方式給學生的思維以沖擊，以此引導學生從本質上看問題，突破原有的思維定式，這種反例運用時機的把握可以更好地提升學生思維的靈活性。

第四，當學生迷惑不解時應用。數學是一門對學生邏輯思維、理性思維有較高要求的學科。學生在學習的過程中不可避免地出現各種困惑不解的情況，處于一種似是而非、似懂非懂的狀態，而此時也是教師運用反例的最佳時機。教師可以通過反例幫助學生排除錯誤知識，解決學生的思維困擾，促使學生的思維更加警覺、思路更加清晰，帶領學生走出數學學習的困惑狀態。

第五，當學生不能自覺預防、改正錯誤時應用。小學生由于思維認識不全面以及對知識的負移動，經常會出現各種各樣的錯誤。但是這些錯誤通過正面檢查的方式往往難以發現，而反例的運用可以幫助學生更好地預防錯誤并改正錯誤。如教師可以通過反例為學生提供更有說服力的預防錯誤的方法，讓學生在反例當中對自身的錯誤有更加深刻的認識，從而有效地改正錯誤，避免再犯同樣的錯誤。首先，教師在基于學生數學學習錯誤作為反例運用時機時，必須先優化自身對學生錯誤的認識，不要將學生的錯誤視作棘手的教學矛盾，而是將其看作一種高質量的教學資源，將錯誤資源和反例教學有機整合，具象直觀地為學生呈現邏輯思維錯誤，使學生一針見血地明確錯誤根源，這樣不但可以使學生的自主糾錯、改錯能力得到強效訓練，也可以使反例在數學教學中運用的科學性和精準度得到大幅提高。其次，教師在學生不能自覺預防、改正錯誤時運用反例，還應該加強優化反例的運用流程。以往教師都是先點明、糾正學生的錯誤，再跟進反例解析，這個過程中學生的思維發散大部分還是依賴教師，自主探究意識并未得到充分激活，而在全新的反例運用模式下，教師不妨嘗試先實施反例教學解析，鼓勵學生利用在反例中收獲的知識經驗自主糾察數學探究中存在的錯誤問題。這樣一則可以開采和激揚學生的智慧潛能，二來可以強化學生自主糾錯、改錯以及預防錯誤的意識和能力，從而激發學生的反思精神，借助有效的反例打破滯后的小學數學教學格局。

（二）掌握有效的反例構造方法

在小學數學教學中，有時反例的運用要比正例更加具有說服力，但運用反例需要扎實的數學基礎和豐富的聯想做支撐，若是不能做到這一點，不僅運用效果會大打折扣，甚至還會起到適得其反的作用?；诖?，筆者對幾種反例的有效構造方法做出了相關介紹研究，希望能夠為教師同仁提供一些建議。

第一，通過尋找恰當的特例構造反例。通過特例而構造反例，是小學數學教學中最常見的一種反例構造方式。如在講解一些相似的知識概念時，學生往往很難辨別，而對于這種情況，教師就可以通過列舉特例，通過一個最直接的差異特征構建反例，幫助學生了解知識之間的異同，促使學生對知識概念有更加深刻的辨別認識。

第二，利用極端情況去構造反例。在小學數學教學中，教師還可以利用一些極端情況去構造反例，如分母為零、三角形中的直角三角形等等。這些極端而又具有特殊性的反例能夠使學生對數學概念和定理有更加深刻的記憶。

第三，通過直觀幾何圖形構造反例。小學數學教學中，教師還應該樹立數形結合的教學觀念，通過直觀的圖形與抽象的定理之間的有效結合，促使學生對知識產生更加深刻的認識，而這也是教師構建反例的一種有效方式。如教師可以通過畫圖的方式將反例直觀清晰地表現出來，以此更好地提升反例的清晰直觀性，并助力學生形成數形結合的思想。

第四，通過分析命題中的隱含條件構造反例。以往在學生解題過程中，常常有很多隱藏的條件容易被學生所忽略，并因此而造成解題思路判斷上的錯誤[3]。對此在列舉反例的小學數學教學中，教師就可以通過分析挖掘題目當中的隱含條件帶領學生列舉反例，并做出正確的判斷，以此更好地培養學生的審題能力，并促使學生的解題能力得到更好的提升。

第五，在逐步逼近中構造反例。這種反例構造方法主要是指在帶領學生分析數學命題時先找出反例的所在范圍，通過將范圍逐漸縮小、逼近，直至最終靠近目標，從而構建出最佳的反例。這種反例教學方式可以幫助學生化解直接接受反例的困難，促使學生更有效的接受知識。

第六，通過析取法的運用構造反例。析取法主要是指在理解基礎知識的前提下，通過抓住數學定理、公式、法則成立的前提條件以及其正確命題中容易忽視的隱藏條件，以此來構造反例。即挖掘定理中的一些“假命題”來實現反例的構建，以此加深學生對公式定理的認識，提升學生數學學習的深刻性。

（三）明確反例教學應注意問題

在小學數學教學過程中，教師若是能夠有效地運用好反例，就能實現事半功倍的教學效果，但反例的運用也是一項極其深奧的教學藝術。在實際運用的過程中有很多事項需要注意，教師只有明確反例教學應注意的問題，有效規避運用反例的誤區，才能更好地為學生的數學學習提供動力。對此本文做出以下研究探討。

第一，不能過早進行反例教學，避免主次顛倒。在教學的過程中，小學數學教師必須認識到反例雖然在教學當中具有重要的應用價值，但是反例不能夠代替正例教學，仍應以正例教學為主，要在正確解題的訓練當中適當地運用反例，避免反例與正例的運用主次顛倒。若是先給學生錯誤的示范，然后再為學生講解正確的解題方法，這很容易導致學生發生認知錯亂，分不清哪個是正確的、哪個是錯誤的，反而會對學生的學習造成干擾。因此，在教學過程中不能夠過早使用反例進行教學，這是教師必須把握的注意事項。

第二，不能過于強調使用反例，避免為學生造成心理壓力負擔。在運用反例的小學數學教學中，教師還應該認識到學生之間是存在個體差異的，不同學生的素質能力、接受能力各有不同，因此對于新知的接受和體會也存在著很大的差異。如部分接受能力比較差的學生在運用反例時就很容易受到錯誤命題的干擾，而淡化對之前所學判定定理的認識。因此在實際教學過程當中，教師不能夠一味地要求所有的學生都使用反例、接受反例，這樣會使學生產生較大的心理壓力，學習情緒變得煩躁不安，導致教學效果適得其反。教師只有結合學生的實際情況恰當地運用反例，才能夠更好地保證反例的有效性。這也是在今后小學數學教學中，教師運用反例需要注意的問題。

三、結語

反例作為鑒別假命題的常用工具，具有“證偽”的功能，在小學數學教學過程中具有重要的作用價值。本文筆者從運用反例的時機、反例的構造方法以及反例的注意事項幾個方面出發，探討了反例在小學數學教學中的應用，希望能夠幫助教師更好地提高運用反例的教學能力，以此更好地助力學生數學學習效果的提升。

參考文獻

[1] 黎珍.反例教學在小學數學課堂的巧妙應用[J].學苑教育，2020（10）：56.

[2] 成義森.淺談小學數學教學中反例的應用[J].內蒙古教育，2019（36）：58.

[3] 羅靜曉.“反例教學”在小學數學課堂中的運用[J].基礎教育課程，2017（20）：54.

作者簡介：章順才（1980.4— ），男，漢族，甘肅民樂人，一級教師，研究方向：小學數學教學。