滾動型單面碰撞調諧質量阻尼器參數優化及減振性能分析

張 靜，王修勇，王文熙，陳 晟

（1.湖南科技大學 結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201；2.湖南大學 風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，長沙 410082）

調諧質量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）作為一種典型的被動控制裝置，已在實際工程中得到廣泛應用[1－3]。為了使之滿足不同場景下的減振需求及提高減振性能，許多學者在TMD基礎上開展了調諧阻尼器研究。Pirner等[4－5]首次設計出球形吸振器并用于電視塔減振；Li等[6]研究了一種用于海上風力發電機組的球形減振器(Ball Vibration Absorber，BVA)，推導出安裝BVA 系統的風力塔系統解析模型，通過地震臺實驗研究了BVA對風力發電塔減震效果；傅禮銘等[7-8]以空腔樓板結構作為控制對象，提出了空腔樓蓋滾動型調諧質量阻尼器(Tuned Rotary Mass Damper，TRMD)，分析了TRMD裝置對空腔結構在確定性激勵和隨機激勵作用下的振動控制效果。

Song等[9]將碰撞耗能引入TMD設計中，提出了碰撞調諧質量阻尼器（Pounding Tuned Mass Damper，PTMD）；李書進等[10]同樣對空腔樓蓋滾動型碰撞調諧質量阻尼器(Pounding Tuned Rotary Mass Damper，PTRMD)進行研究；上述碰撞調諧阻尼器均采用兩個擋板，利用質量塊與擋板的碰撞耗能進行減振。為了解決PTMD最優間隙參數難以確定的問題，王修勇等[11－12]在PTMD 基礎上提出了單面碰撞調諧質量阻尼器（Single-side Pounding Tuned Mass Damper，SS-PTMD），并通過風洞試驗驗證了SS-PTMD對橋梁的渦振有著良好的控制效果；何禹忠等[13]針對懸臂式SS-PTMD 開展了理論與實驗研究，表明懸臂式SS-PTMD頻率比偏離調諧頻率時仍具有較好的減振效果，說明該阻尼器有較好的控制魯棒性。

本文結合滾動型調諧質量阻尼器與單面碰撞調諧阻尼器的特點，提出了滾動型單面碰撞調諧質量阻尼器（Single-side Pounding Tuned Rotary Mass Damper，SS-PTRMD），建立了單自由度結構-滾動型單面碰撞調諧質量阻尼器運動方程，通過仿真分析研究了SS-PTRMD 的參數優化和自由振動、簡諧激勵以及地震作用下減振效果。

1 SS-PTRMD-結構耦合運動方程

1.1 SS-PTRMD-單自由度結構減振力學模型

采用SS-PTRMD 減振的單自由度結構力學模型如圖1 所示。SS-PTRMD 由小球、圓形軌道及碰撞擋板組成，如圖2所示。在水平激勵作用下，主體結構產生沿水平方向位移的同時，小球沿著軌道產生振動，小球與軌道間的摩擦及與擋板的碰撞將消耗結構的能量，從而達到耗能減振的目的。合理設計軌道半徑、小球半徑、黏彈性材料恢復系數以及小球質量,可使SS-PTRMD頻率與結構頻率調諧，達到最優減振效果。

圖1 SS-PTRMD-單自由度結構耦合力學模型

圖2 SS-PTRMD力學模型

1.2 SS-PTRMD-單自由度結構耦合系統運動方程

采用Lagrange 變分原理對SS-PTRMD-單自由度結構耦合系統的運動方程進行推導。設主結構和小球質量分別為m1、m2，主結構的水平位移為x1，小球相對于結構的角位移為θ，則SS-PTRMD-結構耦合系統的Lagrange方程可表示為：

式中：T、V分別為系統的動能和勢能分別對應廣義位移x1、θ的除保守力以外的其他非保守力的廣義力。

系統動能包括主結構動能、小球平動及繞球心轉動動能，即：

式中：ρ為軌道半徑R與小球半徑r之差，ρ=R－r；JT為滾球振子轉動慣量，JT=2/5m2r2；ω為SS-PTRMD振子自轉的角速度，ω=ρθ/r。

化簡式（3）得：

系統勢能包括主結構的彈性勢能及小球的重力勢能，即：

式中：k1為受控結構的剛度。

非保守力做功主要包括外激勵做功、結構自身阻尼力做功，小球與主結構間的滾動摩擦力矩做功、小球與黏彈性擋板碰撞的碰撞力做功，即：

式中：c1為結構阻尼系數；F為作用于主結構的外力；Fp為黏彈性材料層與小球之間的碰撞力，在碰撞條件不滿足時恒等于0；Ψ為振子球心偏離平衡位置的角度；δx1、δθ分別為主結構水平方向的虛位移和小球的轉角虛位移；f為非保守滾動摩擦力矩，可表示為：

式中：μ為滾動摩阻系數。滾動摩擦力矩與小球角速度方向總是相反，故需在角位移項前加符號函數。假設小球處于純滾動狀態，小球與軌道的接觸點處小球表面和軌道表面的速度相等，可得：

將式（7）和式（8）代入式（6）中，可得：

由式（9）可得：

將式（4）、式（5）、式（10）、式（11）代入式（1）、式（2），可得系統運動方程為：

在假定小球的轉角θ為小量的前提下，可以認為cosθ=1，sinθ=θ，小球的法向加速度an=很小忽略不計，因此，式（12）、式（13）可簡化為：

考慮擋板限制了小球的一半行程，因此SSPTRMD的固有頻率為f2=。

1.3 SS-PTRMD碰撞力模型

SS-PTRMD中小球運動過程中將與擋板發生碰撞，考慮鋼球與黏彈性材料碰撞存在明顯的彈性后效，黏彈性材料在碰撞結束時存在殘余變形，碰撞力模型表示為[13]：其中：y為碰撞過程中的相對位移，y=ρsinθ，它的1階導為碰撞速度；k和ζ分別為碰撞剛度和碰撞阻尼因子；n為非線性指數；ymax為碰撞過程中兩碰撞體的最大相對位移；ye為碰撞結束后黏彈性材料的殘余變形；fe為碰撞過程中的最大彈性碰撞力，其表達式為：

定義殘余表面變形率e1為：

根據能量守恒原理，k、ζ與e1滿足關系式[14]：

式中：e為小球碰撞彈性恢復系數；為小球碰撞時的初速度。

2 SS-PTRMD最優參數分析

SS-PTRMD最優參數包括最優頻率比與最優恢復系數，當SS-PTRMD 的小球與圓形軌道的滾動摩擦系數μ=0 時，SS-PTRMD 的等效阻尼與彈性恢復系數有如下關系[14]：

（5）一稿兩用一經證實，將擇期在雜志中刊出其作者單位和姓名以及撤銷論文的通告；2年內將拒絕接收該作者作為第一作者所撰寫的一切文稿，并就此事件向作者所在單位和該領域內的其他科技期刊進行通報。

當μ≠0 時，SS-PTRMD 的等效阻尼與彈性恢復系數和滾動摩擦力均有關系。

定義SS-PTRMD的質量比為：

定義SS-PTRMD的頻率比為：

式中：f1為結構固有頻率，即：

基于H∞優化準則，研究在不同SS-PTRMD質量比情況下，SS-PTRMD 用于結構振動控制的最優頻率比ropt及最優彈性恢復系數eopt，優化目標函數可以表示為：

式中：β為作用于主結構上簡諧激勵的激振圓頻率，DMF（Dynamic Magnification Factor）為位移動力放大系數，其表達式為：

式中：X1(β)為主結構在簡諧荷載F(t)=f0sin(βt)激勵下穩態響應的幅值。優化方法為尋找一個最優的SS-PTRMD 頻率比ropt與最優彈性恢復系數eopt使得被控結構在一定范圍激勵頻率內動力放大系數的最大值最小化。

為對SS-PTRMD 進行參數優化，取圖1 模型進行仿真分析。主要參數為：m1=3 kg，f1=2.27 Hz，ζ1=1.3%，SS-PTRMD的小球與軌道的滾動摩阻系數μ=0.01 mm，碰撞剛度k=2.74×105N/m1.5，非線性指數n=1.5。

表1 SS-PRTMD最優參數

從表1 可以看出，隨著質量比的增加，SSPTRMD 的最優頻率比ropt逐漸增加，而最優恢復系數eopt逐漸減??；提高SS-PTRMD的質量比，DMF逐漸減小，且減小的趨勢趨于緩和。

為研究滾動摩阻系數μ對SS-PTRMD減振效果的影響，質量比取3%，優化的頻率比和恢復系數見表1，簡諧激勵幅值f0=1 N，激振圓頻率β=2πf1=14.26 rad/s，計算不同滾動摩阻系數μ（mm）下的穩態響應減振率。

不同滾動摩阻系數μ下的穩態響應減振率如表2、圖3 所示，當滾動摩阻系數μ較小時，滾動摩阻系數μ對于SS-PTRMD 的穩態響應減振率影響較小，但是當滾動摩阻系數μ較大（μ>0.5 mm）時，隨著μ值增大，SS-PTRMD 的穩態響應減振率減小。這是因為當滾動摩阻系數μ較大（μ>0.5 mm）時，滾動摩擦消耗了小球較多的動能，促使小球與擋板發生碰撞的次數減小，使得SS-PTRMD的減振效果降低。

表2 不同滾動摩阻系數μ下SS-PTRMD的穩態響應減振率

圖3 不同滾動摩阻系數μ下SS-PTRMD的穩態響應減振率

3 SS-PRTMD減振性能分析

3.1 自由振動

進行自由振動分析時采用的主結構及SSPTRMD參數與參數優化時所取參數相同，質量比取為3%，優化的頻率比和恢復系數見表1，初始位移為20 mm，初始速度為0。

自由振動狀態下主結構無控、SS-PTRMD 控制的仿真結果如圖4所示。從圖中可看出SS-PTRMD控制下主結構在6 s之后就停止了振動，而無控時主結構在20 s之后才停止振動。安裝SS-PTRMD后主結構的阻尼比由原來的1.3 %增加至7.3 %，SSPTRMD對結構自由振動有良好的控制效果。

圖4 自由振動下主結構位移響應對比

3.2 簡諧激勵

選取主結構和SS-PTRMD 的參數與進行自由振動分析時相同，簡諧激勵幅值f0=1 N，進行了簡諧激勵下結構減振分析。

圖5為激振圓頻率β=2πf1=14.26 rad/s即結構共振頻率下無控和SS-PTRMD 控制的結構響應時程，從圖5 中可看出，SS-PTRMD 控制的主結構在5 s 之后位移響應已經控制在8 mm附近，而無控的主結構穩態幅值超過了60 mm，穩態響應減振率為86.7%。圖6 為簡諧激勵下結構的主結構無控、安裝SSPTMD、TMD、SS-PTMD 均為最優參數下的幅頻曲線，由圖可知，無控主結構動力放大系數最大值為38.1，SS-PTRMD、TMD、SS-PTMD 控制的主結構動力放大系數最大值分別為6.94、6.96、7.97，在同質量比且均為最優參數條件下SS-PTRMD 減振效果略優于TMD和SS-PTMD。

圖5 簡諧激勵下主結構位移響應對比

圖6 簡諧激勵下主結構幅頻響應曲線對比

3.3 地震激勵

選取EI Centro 波、Tianjin 波作為激勵，將兩條地震波加速度峰值統一調至110 cm/s2，主結構和SSPTRMD的參數與自由振動分析時相同，在兩種地震波激勵下單自由度結構無控和SS-PTRMD 控制的位移時程及加速度時程如圖7所示。

圖7 兩種地震波激勵下主結構的位移、加速度時程圖

為了評估減震效果，采用位移、加速度峰值減震率和位移、加速度均方根值減震率作為減震性能指標，在兩種地震波激勵下SS-PTRMD 的減震性能如表3所示。

表3 地震波激勵下SS-PRTMD的減震性能

從圖7 及表3 可知，在EI Centro 波、Tianjin 波激勵下SS-PTRMD使主結構位移均方根、加速度方根均顯著減小，使主結構位移峰值、加速度峰值也有一定程度減小，但不是十分明顯，并且對EI Centro 波所致振動的減震效果優于Tianjin波。SS-PTRMD對主結構的減震效果會隨著地震波的改變產生較大的變化。

4 結語

本文建立了單自由度結構-滾動型單面碰撞調諧質量阻尼器力學模型和運動方程，以動力放大系數最大值最小化為目標函數進行參數優化，分析了滾動型單面碰撞調諧質量阻尼器在自由振動、簡諧激勵和地震波激勵下的減振性能。得出如下結論：

（1）通過最優參數表發現隨著質量比逐漸增加，SS-PTRMD的最優頻率比ropt逐漸增加，而最優彈性恢復系數eopt逐漸減小，提高質量比能提高SSPTRMD 的減振能，滾動摩阻系數μ較小時其對SSPTRMD的減振能影響不大，但當μ>0.5 mm時，隨著μ值增大，SS-PTRMD的減振性能降低。

（2）當質量比為3 %時，自由振動狀態下安裝SS-PTRMD 后主結構的阻尼比由原來的1.3%增加至7.3%；在簡諧激勵下，主結構達到穩態響應后減振率為86.7%，說明SS-PTRMD 對結構的自由振動和簡諧激勵下的振動有良好的控制效果，在同質量比且最優參數條件下SS-PTRMD 減振效果略優于TMD和SS-PTMD。

（3）在地震波激勵下，SS-PTRMD 對結構振動也有良好的控制效果，并且使主結構響應位移、加速度的均方根值減小程度優于峰值減小程度。SSPTRMD的減震效果與地震波特征有關。

（4）SS-PTRMD 具有制作簡單方便、不需要較大的安裝空間、不會影響結構的布置和使用功能、減振效果好的優點，在風力發電塔、空腔樓板等結構的振動控制領域具有一定的應用前景。