含空腔聲學覆蓋層等效參數理論與吸聲機理研究

陳 楊，胡昊灝，董天韌，張嘉偉，周石頭

（江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212100）

為了提高水下航行體的聲隱身性能，一般會在結構表面敷設由橡膠類材料作為基體的聲學覆蓋層，其一方面起到吸收外場入射聲波、降低聲目標強度的作用，另一方面能有效抑制結構振動輻射噪聲[1]。在聲學覆蓋層內部一般會嵌入周期性分布的空腔[2]、金屬硬核[3]等材料以增加聲能損耗，從而提高吸聲系數，降低目標反射，這也導致其分析求解過程比均勻各向同性材料更復雜。

含周期空腔類聲學覆蓋層的吸聲機理主要以共振、波形轉換為主[4]，由于數值仿真軟件的快速發展，近幾年學者們利用COMSOL 多物理場耦合有限元軟件對含周期空腔的聲學覆蓋層吸聲規律進行了大量的探索，Ye 等[5]分析了變截面空腔形狀對吸聲系數的影響，Meng 等[6]指出鋼板背襯與覆蓋層構成的彈簧-質量系統共振能增強低頻聲吸收。盡管有限元軟件能計算各類復雜單元的聲吸收性能，但很難深入揭示吸聲機理。Ivansson 等[7]采用解析法研究了含周期球形空腔的聲學覆蓋層吸聲機理，指出這類周期單元產生聲吸收的一個重要原因是彈性波遇到空腔壁面散射從而產生單極子共振。Leroy等[8]研究了含周期氣泡的屈服應力流體層的聲透射問題，發現出現最小聲透射的頻率并非對應的單個氣泡單極子共振頻率，而是略高于它。

當分析波長遠大于空腔的尺寸時，可以利用準靜態極限法則[9]將含空腔的聲學覆蓋層等效為各向同性均勻層，從而降低解析建模的復雜性?；诖吮疚膹牡刃Ь鶆蚧碚摮霭l，建立含圓柱空腔聲學覆蓋層的吸聲系數預報方法，并結合有限元數值仿真，多角度解釋聲學覆蓋層吸聲機理。

1 模型描述

所分析的模型如圖1 所示，在覆蓋層基體材料中沿x方向周期分布著一層水平圓柱空腔，聲學覆蓋層沿y方向的厚度為t，圓柱空腔的直徑為d，空腔間距為a（晶格常數），為了簡化解析計算過程，假定z方向為無限長，因此可以將圖1(a)所示三維問題轉化為二維問題，如圖1(b)所示。

圖1 含圓柱空腔的聲學覆蓋層示意圖

2 吸聲系數解析計算

本文基于準靜態極限理論的等效參數法[9]，將圖1含空腔的聲學覆蓋層等效為3層均勻各向同性層，如圖2所示，均勻等效后的覆蓋層上、下層仍為原來的基體材料，因此本節重點在如何得到中間層的等效參數（密度ρe、聲速ce）以及等效厚度de，在此基礎上利用傳遞函數法得到聲學覆蓋層的吸聲系數表達式。

本節首先推導含圓柱空腔聲學覆蓋層均勻化后的整體等效密度ρg、整體等效聲速ce以及整體等效體積模量κg，進一步得到圖2 中間層的等效密度ρe、等效速度ce、等效體積模量κe。

圖2 含圓柱空腔聲學覆蓋層均勻等效示意圖

2.1 等效密度

聲學覆蓋層空腔均勻化后的整體等效密度ρg可以直接由平均理論給出：

其中：ρ為覆蓋層基體材料密度，α是填充率，定義為空腔所占體積與覆蓋層介質總體積之比。

2.2 等效聲速與體積模量

令u代表縱向位移，那么含周期空腔彈性介質中的一維波動方程[10]形式為：

式中：cl=為基體材料縱波波速，κ和ρ分別代表基體材料體積模量和密度，β為集總參數，Ω0為周期圓柱空腔耦合共振頻率。

假定時間因子為簡諧，縱向位移為uejωt，將式(2)進一步整理為：

式(3)對應于一維Helmholtz方程：

式中：kg=ω/cg為覆蓋層空腔均勻化后的整體等效波數，比較式(3)和式(4)，可得聲學覆蓋層空腔均勻化后的整體等效聲速為：

上式中周期空腔耦合共振頻率Ω0為[8]：

ω0則代表無限大基體材料中單個圓柱空腔的共振頻率，ω0的值可通過求解如下方程得到：

至此，整體等效聲速表達式中仍有集總參數β未知，下邊將結合準靜態極限理論得到集總參數的表達式。

當分析頻率ω較小，集總參數β可以通過準靜態極限法則確定[9]，這種法則認為，當分析的波長遠大于覆蓋層中空腔的尺寸時，可以認為彈性波在含空腔覆蓋層中的傳播規律與在均勻層中的傳播規律一致。在這種情況下(ω趨近于0)，式(5)整體等效聲速簡化為：

同時由于整體等效聲速滿足關系：

文獻[11]給出了準靜態極限條件下含圓柱空腔聲學覆蓋層整體等效體積模量的表達式為：

其中：μ為基體材料剪切模量。聯立式(1)、式(8)至式(10)，可得到準靜態極限下集總參數β的表達式為：

進一步可獲得覆蓋層整體等效體積模量為

綜上所示得到了整體等效密度ρg、整體等效聲速cg以及整體等效體積模量κg，利用質量守恒以及平均壓縮量守恒關系，可以獲得圖2 右圖中間層的等效密度ρe、等效體積模量κe。

2.3 傳遞矩陣法求吸聲系數

在得到含空腔的聲學覆蓋層均勻化等效參數后，利用傳遞矩陣法可以得出覆蓋層的反射系數、透射系數和吸聲系數等聲學參數。

式中：T=稱為傳遞矩陣。

由式(15)所示傳遞矩陣可得覆蓋層的透射Tr、反射Re和吸聲系數Q：

式中：zi、zt分別為平面波入射端和透射端流體介質的阻抗。

3 算法驗證

為驗證算法的正確性，在COMSOL有限元軟件中建立如圖3 所示的覆蓋層周期單元仿真模型，其中PML 為完美匹配層，用來模擬無限大水域，將該模型的仿真結果與式(18)所示解析解的結果進行對比。

圖3 含圓柱空腔周期單元有限元模型

覆蓋層基底材料為橡膠，密度ρ=1100 kg/m3，楊氏模量E=7.1×107Pa，損耗因子為0.2，泊松比為0.49。覆蓋層單元尺寸為L=10 mm，H=10 mm，內部圓柱空腔尺寸為：直徑D=1 mm。水層和PML 厚度均為H=10 mm。

從圖4 可以看到，利用均勻等效理論得到的聲學覆蓋層吸聲系數與有限元仿真結果在中、低頻范圍內有較好的一致性，在5 500 Hz 以上的高頻范圍內，兩者產生較大差異，這是因為準靜態極限理論適用的范圍是分析波長遠大于周期空腔尺寸。

圖4 解析和數值對比圖

4 覆蓋層聲吸收機理研究

影響覆蓋層聲吸收的因素較多，包括背襯材料、空腔尺寸、基底材料參數、覆蓋層厚度等等，由于篇幅限制這里不一一展開分析，僅以覆蓋層厚度和空腔層數為例，從吸聲曲線以及位移形變圖多角度分析吸聲機理。

4.1 覆蓋層厚度的影響

本節討論覆蓋層厚度L對吸聲性能的影響，保持其余參數不變，通過改變厚度得到圖5 所示吸聲系數曲線。對于不同厚度的覆蓋層，第一階吸聲峰均出現在1 000 Hz附近，且峰值不明顯，而第二階吸聲峰則隨著厚度變化產生明顯的頻偏，厚度的增加使吸聲峰值向低頻偏移。圖5是基于均勻等效理論通過解析計算得到的，為了能深入說明吸聲機理，現利用COMSOL 軟件畫出覆蓋層在某些頻率處的位移分布圖。

圖5 覆蓋層厚度對聲吸收的影響

以厚度L=15 cm 的覆蓋層為例，從圖5 可知，第一階與第二階吸聲峰值的頻率約為1 000 Hz和4 000 Hz，圖6為頻率為1 000 Hz時的覆蓋層位移分布，可以看出形變比較明顯的位置（紅色區域）發生在背襯板以及空腔與背襯之間的基體材料部分，而空腔本身形變甚微。此時可以理解為背襯板與較軟的基體材料構成的所謂的“質量-彈簧”系統發生共振。

圖6 1 000 Hz頻點處覆蓋層位移圖

圖7 給出了4 000 Hz 時覆蓋層的位移分布圖，此時運動形變主要發生在空腔周圍，事實上利用文中給出的圓柱空腔共振頻率公式(6)可得到該直徑下共振頻率為4 343 Hz，因此可以推斷第二階吸聲峰值產生的機理與空腔共振有較大關聯。需要指出的是，含周期單元的聲學覆蓋層聲吸收往往是多重機理耦合作用的結果，例如圖5中3條不同曲線的第二階吸聲峰有明顯差異，雖然空腔直徑未發生改變(空腔共振頻率不變)，但由于覆蓋層厚度變化影響了聲波傳播距離，以及聲波在空腔與背襯板之間傳播的散射或反射相位，最終導致厚度不同時二階吸聲峰產生明顯頻偏。

圖7 4 000 Hz頻點處覆蓋層位移圖

4.2 雙層空腔模型聲吸收

進一步提高聲學覆蓋層的吸聲性能可以通過嘗試多層空腔組合實現，本節將討論雙層圓柱空腔的聲吸收機理。覆蓋層內部空腔分布見圖8，覆蓋層的厚度L=16 cm，寬度H=5 cm，內部圓柱腔半徑均為r=0.5 cm，兩個圓柱腔之間的間隔L2=8 cm，L1=L3=4 cm，底部為L4=0.8 cm 厚的鋼背襯，覆蓋層基體材料參數與上文一致，整個模型浸沒在水中，平面波從覆蓋層左側垂直入射。

圖8 雙層圓柱空腔覆蓋層模型示意圖

從圖9 可以看出，通過布置雙層圓柱空腔以及合理調整層間距等參數后，覆蓋層的吸聲性能明顯改善，產生了新的吸聲峰值。圖10給出了雙層空腔單元新的吸聲峰值頻率（約2 300 Hz）處的運動位移圖，可以清晰看到主要形變發生在兩層空腔之間的位置，換言之上下層空腔發生了強烈耦合，導致能量被消耗掉，最終得到較高的吸聲系數。

圖9 單、雙層空腔吸聲系數對比

圖10 第一吸聲峰頻點位移圖

5 結語

本文通過均勻化等效參數理論，將含圓柱空腔的聲學覆蓋層處理成多層各向同性材料，進而得到吸聲系數、聲學覆蓋層厚度以及雙層空腔等參數對聲學覆蓋層吸聲機理的影響，得到如下幾點結論：

(1)基于準靜態極限準則的聲學覆蓋層均勻等效參數理論能較好預報中低頻吸聲系數，由于將聲學覆蓋層簡化為多層均勻各向同性材料，所以能起到簡化建模分析的作用；

(2)聲學覆蓋層的空腔共振是產生聲吸收的主要原因，主要影響第二階吸聲峰值，同時要指出影響每一階吸聲峰值的因素是多元的，實際設計時需要考慮覆蓋層參數與彈性波傳播的關系；

(3)設置雙層空腔結構能增強低頻聲吸收，這是因為雙層空腔間產生強耦合從而消耗掉入射聲能。