作為學科核心素養的數學抽象：內涵、外延及其培養路徑

摘 要 數學抽象是數學核心素養的重要組成部分，它反映了數學的本質特征，是數學知識、數學方法和數學能力素養的基礎。本文從數學史與數學教育的整合視角，探析了數學抽象的內涵與外延。本文的核心觀點是：數學史中的分析化和綜合化運動分別產生了數學抽象的兩種基本類型——內化和形式化。本文還以中學教學中的實際案例展示了培養數學抽象核心素養的方式。

關鍵詞 數學抽象素養；分析數學；綜合數學；形式化；內化；HPM

中圖分類號 G633.6

文獻標識碼 A

文章編號 2095-5995（2023）12-0048-03

一、數學抽象學科素養的內涵

（一）HPM視野中的數學抽象與數學建模

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標準”）明確指出，“數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養”［1］。單從這一定義來看，數學抽象與數學建模容易混淆。后者是指“對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養”［2］。兩者的區別是：數學抽象過程得到的是數學對象，而數學建模過程得到的是數學模型。

基于對在科學中運用數學方法的經驗，人們對數學模型是有豐富直觀認識的。數學模型是對經驗現實使用理想化方法進行適度近似而得到的形式體系，其一般形式是方程組以及適當的初始條件和邊界條件。

按照法國布爾巴基學派的認識，數學對象就是集合及集合上的構造。集合是普通高中數學課程一開始就會講授的知識點，但教學者和學習者對其重要性認識普遍不足。為了充分理解數學抽象和數學對象的本質，我們認為HPM提供了適當的視角。

（二）數學的分析化

“數學對象是集合”這一認識發端于數學的分析化運動。17世紀，牛頓—萊布尼茨因物理學的需要創建了微積分。但直至19世紀，微積分都是作為一種半經驗性（即半物理學）的數學形式體系而存在的。

牛頓—萊布尼茨的古典微積分是圍繞“無窮小量”的演算法，其中“既等于零又不為零”的怪異現象引發了第二次數學危機。以柯西為首的數學家致力于解決無窮小演算法的基礎問題，這就是數學分析誕生的原因。到魏爾斯特拉斯時代，微積分學的形式體系已經實現了徹底的嚴格化。無窮小量所引發的概念混亂被驅散，第二次數學危機得以解決。

柯西—維爾斯特拉斯分析學的基礎是實數理論。本著分析學的精神，人們還可繼續追問：實數理論的基礎是什么？柯西給出的回答是：實數是有理數序列的極限；戴德金給出的回答是：實數是有理數全體上合理的分割方式。也就是說，實數（模型）在大多數情況下要借助有理數。再進一步，有理數可由整數的分式域加以構造。最后人們要問：整數（或自然數）是什么？策梅羅和馮·諾依曼的回答是：自然數可在集合論中從空集逐步構造。

由此可見，數學的分析化是從一個適當層面的數學對象出發，逐步尋求其底層構造的過程。在分析化過程中，初始數學對象的直觀性被逐步消去，最終達到了高度抽象的數學對象。布爾巴基學派認為，所有數學對象都是集合及其上面的構造。

（三）數學的綜合化

分析數學是從點集出發，逐步在其基礎上施加新構造，從而得到結構愈加豐富的數學對象。與之不同，綜合數學提供了另一種實現數學抽象、把握數學對象的方法。綜合數學的出發點是：人們在實踐中對某種類型的數學對象可產生足夠的直觀，這些直觀可直接抽象為公理。此類公理直接描述了數學對象的性質和行為，而不需再借助一個底層的“基礎設施”。

分析數學和綜合數學中都有公理，但這些公理的作用是不同的。分析數學的公理描述在已有數學對象上新增設結構的特性，而綜合數學的公理則直接描述某種類型的數學對象。任何公理系統都存在一些元數學性質，如一致性、可靠性和完備性。一致性要求系統中的諸公理不能互相矛盾，這是對一個公理系統最基本的要求。對分析數學來說，由于任何數學對象都是前趨對象之上的充實化，因此一般不太可能出現新公理互相矛盾的問題。但對綜合數學來說，諸公理都是從直觀中直接得出，一致性就成為一個需要嚴肅對待的問題。由于公理對綜合數學而言更為本質，因此有時綜合數學也被直接稱為“公理數學”。

（四）案例研究：平面幾何學

中學數學提供了具體說明以上兩種數學抽象活動的生動案例——平面幾何學。作為綜合數學的平面幾何學，即初中階段學習的歐幾里得公理幾何學。在歐幾里得幾何中，原初對象是點和線?；谌藗兊臄祵W直觀，直接對點和線這兩類數學對象規定下述公理：

［直線公理］ 過兩點有且只有一條直線。

［平行公理］ 過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線相平行。

諸如此類，不一一列舉。

值得注意的是，歐幾里得的公理幾何在邏輯上是不徹底的。1930年，希爾伯特使用點、線、面、角四種原初對象給出了邏輯嚴格的綜合初等幾何。1959年塔爾斯基僅使用點，1975年霍布豪斯和舍爾巴僅使用線完成了綜合初等幾何之公理體系的構造。

作為解析數學的平面幾何，即為笛卡爾解析幾何。此時，點是一個有序實數對（x，y），而線則定義為滿足Ax+By+C=0的點（x，y）構成的集合。

容易看出，在歐幾里得公理幾何中，點和線都是原初對象，線并不是一個點集。而在笛卡爾解析幾何中，歐氏幾何中的直線公理、平行公理都變為定理，它們可由線性方程組理論導出。

二、數學抽象學科素養的外延

（一）數學直觀

課程標準指出，數學抽象核心素養主要指“從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征”［3］。其中，“數量與數量關系”“圖形與圖形關系”都是原始數學直觀。在原始數學直觀中，數學對象和邏輯推理都是非形式的。

從現象世界、數量及其關系或圖形及其關系出發進行的數學抽象活動，在數學史中有兩種方案：分析式的和綜合式的。綜合數學抽象出描述數學對象的公理體系，而分析數學則抽象出（布爾巴基意義上的）數學對象。從更加現代一點的觀念看，分析對應于數學直觀的內化，而綜合對應于數學直觀的形式化。

（二）數學直觀的形式化與內化

數學直觀本身可進行多種不同方式的封裝。布爾巴基學派認為數學應封裝為素樸集合論，而瑞典數學家馬丁—洛夫則認為應封裝為類型及其意義解釋。數學直觀的形式化是指使用某種形式語言來表達這類原始直觀，由于原始直觀封裝方式的不同，布爾巴基選取ZFC這個一階語言，而馬丁—洛夫則選取內涵構造主義類型論。

形式語言的基礎構件是概念，而概念就是形式語言中依語法而形成的詞項。因此，形式語言無非是一種“第二語言”［4］，人們借助它可以表達數學概念以及描述概念間關系的數學命題。既然是語言，就有表達能力強弱的區別。布爾巴基學派認為，ZFC已足夠表達數學直觀中所有觀念。

內化是指在一種具體的底層對象上表達日常數學直觀。布爾巴基的建議是在集合的范圍內完成內化，但今日的數學實踐已經牽涉到高度復雜的數學構造。如果依笛卡爾的思路在集合上通過逐層豐化再完成這些構造，人們將面臨極高的組合復雜度。在今日的數學教學中，有相當部分的困難即是來源于此。有部分數學家提出如下建議：何不直接考慮以這類復雜數學對象為初始對象建立綜合數學？這一嘗試已經取得較大的進展，亦有關心教育工作的數學家指出這類新的綜合數學應該傳導至初等數學的教學中。［5］

綜上所述，形式化的基礎是邏輯，內化的基礎是集合論。正是由于兩者互相配合，才使數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。雖然這兩方面知識目前都不是高考命題的重點，但對其深入理解是使學生獲得數學成熟的基礎。

三、數學抽象學科素養的培養

（一）數學能力的語言/技術二分觀

柯爾莫哥洛夫指出：（數學活動的本質是）“僅將研究對象的形式分離出來，（然后）對這個形式作邏輯上的解析”。［6］因此，數學能力實際上包含兩個部分：

第一部分是數學抽象。在任何語言活動中，對目標語言的語法具有適當的熟練度，以及具有充分的語言表達經驗都是極為重要的。因此，課程標準明確指出：學生要注意“積累從具體到抽象的活動經驗”。在此基礎上，學生還應進一步認識到數學是由“概念、命題、方法和體系”逐級構成的，并且數學語言也能遷移到其他學科中去。

第二部分是在形式的基礎上“作邏輯上的解析”。數學形式是數學抽象的終點，但并不是數學活動的終點。例如，使用立體向量求解空間幾何問題時，建立坐標系從而將幾何問題代數化，只是問題求解的半程，還需使用各種方法求出這一問題的閉式解。這一現象在其他科學中表現得更明顯，如在物理學中，形式化的終點一般是一個微分方程組，這類方程在大多數情況下沒有閉式解，只能定性地分析其解的性質。

俄羅斯數學教育家斯可平科夫將中學數學教育的重點劃分為“驅動型”和“技巧型”兩個方向。前者引導學生在中學數學的基礎上進一步接觸現代數學，后者則盡量少地引入新數學語言的前提下引導學生逐步掌握各種復雜的數學技巧。

從HPM觀點看，數學語言的發展依賴于分析化和綜合化運動，但數學技巧在柯西以前的古典微積分時代就已經取得了長足的發展。無怪乎俄羅斯數學家阿諾爾德說，在牛頓時代人人掌握的求極限方法在今天即便是大數學家也沒有幾人掌握了。

（二）案例研究：平面向量教學

在學習平面向量時，學生已經對向量的“箭頭”定義及演算法有了直觀認識。原因是在學習“力的合成與分解法則”時，學生已經知道向量可由箭頭描述，其加減法可由平行四邊形法則或三角形法則給出，而純量乘法可由同方向伸縮所描述。

在教學時，教師可引導學生探索向量加法與數值加法的異同：結合律、交換律是否成立，是否存在加法零元，加法的逆運算怎樣定義，等等。待學生認識到加法運算可對數之外的其他數學進行對象定義后，教師可借機抽象出向量加法滿足的5條公理：設v1、v2、v3是任意平面向量，則：

［封閉性］ v1+v2仍是平面向量

［結合律］ （v1+v2）+v3=v1+（v2+v3）

［加法零元］ 存在0， 使得 0+v1=v1+0=v1

［逆運算］ 存在 -v1， 使得-v1+v1=v1+（-v1）=0

［交換律］ v1+v2=v2+v1

注意，此處尚未引入純量乘法。在引入以上5條性質后，教師可提示學生：對一個帶有二元運算的集合，只要滿足以上5條，就稱之為Abel群。如果只滿足前4條，則稱之為群。如果只滿足前3條，則稱之為幺半群。如果只滿足前2條，則稱之為半群。

教師接下來引入純量乘法。有了向量加法的示例，學生容易探索出純量乘法的基本性質：對任意的λ，μ∈R以及向量v，有：

［封閉性］ λv仍是向量

［純量加］ （λ+μ）v=λv+μv

［純量乘］? （λμ）v=λ（μv）

［純量乘單位元］ 存在1∈R，使得1v=v

教師提示學生思考：如何理解中間兩條公理？答案是：純量乘的系數所在的實數集R本質上是一個域，而域中只有兩種基本運算——加法和乘法。

最后，教師引入向量加法和純量乘法的相容性公理：

［分配律］ λ（u+v）=λu+λv

至此，教師就完成了從物理向量到向量空間的數學抽象過程。向量空間由以上10條公理完全刻畫，其諸性質可由這些公理導出。對這一典型的數學抽象，教師可引導學生進行如下的反思：（1）現象世界的哪些信息被分離出來了？向量空間的諸公理是否都有其經驗根源？如果不是，哪些公理是純數學的需要？（2）物理學中表示力的向量只是向量空間的一種示例，向量空間在現象世界中是否還有其他示例？（3）這一公理體系是否能推廣至立體向量？

（袁瑞雪，北京化工大學經濟管理學院，北京 100029）

參考文獻：

［1］［2］［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：4，5，4.

［4］ 諾依曼.計算機與人腦［M］.甘子玉，譯.北京：商務印書館， 1965：60.

［5］ 黎景輝. 關于數學教育知識鏈的傳遞問題［J］. 數學教育學報， 2014（1）：9-15.

［6］ 伊藤清. 柯爾莫哥洛夫的數學觀與業績［J］. 數學文化， 2010 （1）：6-12.