初中數學實踐性作業設計初探

曹偉　高曉芬

摘要：數學源于生活，高于生活，是研究數量關系和空間形式的科學。數學課程除了讓學生掌握必備的基礎知識和基本技能之外，更重要的是培養學生發現問題和解決問題的能力，培養學生的創新精神和實踐能力。實踐性作業是讓不同學生獲得不同數學發展的重要工具，是聯系數學學科與生活實際的紐帶，是將初中數學核心素養內化于心的重要渠道。

關鍵詞：課程標準 核心素養 實踐性作業

傳統的數學教學，更加注重基礎知識和基本技能的傳授與練習，在很大程度上割裂了數學課程與生活實際的練習；學生往往處于被動的數學學習狀態，以掌握解題技巧為主要目的，這無疑有悖于數學課程的設計理念。課程內容源于生活，但在很大程度上脫離學生所處的生活實際，不利于學生的理解、體驗與思考，學生在數學學習的過程中直接經驗的獲取量較少，便很難真正處理好直接經驗與間接經驗的關系。初中數學實踐性作業是一種以學生的學科知識為基礎、以實踐探索為手段、以總結內化為目的新型作業。教師在遵循《義務教育數學課程標準（2011年版）》的基礎上，在每章節末尾設計實踐性作業，讓學生利用課后時間通過自主的實踐探索完成實踐性作業任務，改變以往的布置作業的方式，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用的過程。在解決問題的過程中，實踐操作的開展還可以促進學生在思維能力、情感態度和價值觀等多方面獲得進步和發展，學生對于數學知識及其他學科知識的整合有利于學習興趣的激發，有利于學生綜合素質的提高。筆者通過實踐性作業設計的相關實例，從以下幾個方面做出闡述。

一、興趣是學習的核心動力

興趣是最好的老師，而傳統數學教學中作業的布置往往以知識點的掌握為出發點和目的，忽略了數學課程對學生能力的培養和心理狀態的考量?；诖?，使得數學作業的形式單一，也容易使學生處于被動完成作業的狀態中。這種抱著完成任務的心態布置數學作業，對于學生能力的培養無疑是收效較低的。只有調動學生學習的積極性，將學生置于主體地位，才能有效地轉被動為主動，化完成任務為樂于探索，才能在掌握知識的同時提升能力，并能讓學生的精神世界更加豐滿富足。實踐性作業的設計要兼具趣味性和直觀性。

例如，在“多邊形的鑲嵌”內容的教學中，設計了以下作業：（1）預習課本內容，在生活中尋找鑲嵌實例，拍照展示；（2）小小設計師：請同學們設計自家地板的鑲嵌方案，比一比誰的設計更棒，并在課堂教學環節，讓學生展示自己的設計方案，介紹設計理念和理論基礎。在學生介紹設計方案的過程中，自然領悟鑲嵌定義中的關鍵詞——無縫隙、不重合；自然呈現一種正多邊形和多種正多邊形進行鑲嵌的案例，為后續研究多邊形鑲嵌中的數量關系，滲透方程思想提供了良好的切入契機，讓知識的生長在學生的自然發現中水到渠成。

這一作業的難度較低，但立意比較高，以學生為主體的作業理念充分地調動了學生的學習積極性，開放的作業設計充分發揮了學生的想象力，以鑲嵌為載體能提高學生對學習鑲嵌中蘊含的數學原理的認識、強化應用意識、增強用數學眼光欣賞美的能力；以設計為通道，有利于培養學生的想象力和創造美的能力。

二、從生活中來到生活中去

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，數學課程的目標之一是初步學會用數學的思維方式去觀察和分析社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，提高應用數學知識解決問題的能力，增強應用數學的意識。傳統意義的作業對于學生而言是“高冷”的，是脫離了生活實際的，是離開了學習之后就不再需要用到的。數學實踐性作業取材于生活，蘊含數學學科知識，為學生提高理論認識和解決問題的能力提供了充分的鍛煉機會，有利于學生理解數學的應用價值，進而提升學生對數學學科的學習熱情和興趣。

排隊問題是日常生活中經常會遇到的問題，平時總想排隊時間能短一點，卻很少能從數學的角度來思考這個問題。在學習一元一次不等式之后，解決排隊問題的契機便出現了，向學生提出了這樣的探索性問題：“觀察實際生活中出現的排隊現象，統計數據，運用所學知識解決如就醫排隊、就餐排隊等問題?！币龑W生從數學的角度思考等待時長、排隊人數及窗口服務效率之間的不等關系。學生帶著這樣的問題，充分發揮了主觀能動性，分別從機場出租車的排隊問題、牛吃草問題、怎樣排隊最優等方面展開了思考與設計。以下是學生關于怎樣排隊最優的思考。

問題：有4輛大小不同的貨車在某倉庫同時等待裝載貨物。

（1）請給出一個方案，使得這4輛貨車的總體等待裝載貨物時間最少。

（2）并將問題推廣到一般情況下，該如何解決呢？

解：假設這4輛車分別記為a，b，c，d，裝載貨物所用的時間分別為5，10，15，20，單位：分鐘。

（1）當只有a，b兩輛貨車同時等待裝載貨物時：

排隊情況只有2種，計算可得，按車輛a，b順序排隊時，這2輛貨車的總體等待裝載貨物時間最少。

（2）當只有a，b，c三輛貨車同時等待裝載貨物時：

排隊情況只有6種，

計算可得，按車輛a，b，c順序排隊時，這3輛貨車的總體等待裝載貨物時間最少。

（3）當只有a，b，c，d四輛貨車同時等待裝載貨物時：

排隊情況只有24種，計算可得，按車輛a，b，c，d順序排隊時，這4輛貨車的總體等待裝載貨物時間最少。

由（1）（2）（3）可以看出，當有多于1輛的貨車同時等待裝載貨物時，要使所有車輛總體等待時間最少，排隊時應該將裝載貨物所需時間較少的車輛優先裝載。所以這4輛車同時等待裝載貨物時，按a，b，c，d的順序排隊時，所花費的總體等待裝載貨物所需時間最少。

把上面的問題推廣到一般情況：當有n輛車同時等待裝載貨物時，為使總體等待裝載貨物時間最少，排隊時應該將裝載貨物所需時間較少的車輛優先裝載貨物。

思考題：有5個人拿著容量分別為10升、20升、30升、40升、50升的水桶同時到一個公共水龍頭接水。怎么樣排隊能使得全體人員所用的總體時間最少？

學生在思考的過程中，以排隊問題為載體，從實際問題出發，經過從特殊到一般的思考，給出了非常有建設性的意見。得出了結論：“當有n輛車同時等待裝載貨物時，為使總體等待裝載貨物時間最少，排隊時應該將裝載貨物所需時間較少的車輛優先裝載貨物?！边@一結論的得到，既是學生對排隊問題認識的理論升華，又是數學源于生活、用于生活的鮮活案例，對于學生數學核心素養的培養具有非常重要的實踐意義。

在數據的收集與整理中，教師可以布置以下作業：調查生活中常見的水資源浪費現象，估計合肥市每年浪費水資源的數量，并做出相關倡議。了解生活中的許多問題，都需要進行調查、收集數據，通過對數據的分析做出判斷，體會數據中蘊含的信息。本題以數據的收集與整理為出發點，以水資源浪費為抓手，引導學生選擇正確的方法收集數據，真正將數學用于生活，既提高了學生對知識本身的掌握，又讓學生領略積少成多、量變產生質變的價值觀認識，更有利于培養學生服務社會的大局觀。

三、從內容單一到思維開放

數學抽象是核心素養之一，可以幫助學生剝離外在屬性直達本質，從而實現以一變應萬變。傳統數學作業通常受限于教材內容和習題，使得作業內容和形式比較單一。實踐性作業是采用開放的作業設計形式，可以有效擴展學生的學習內容和領域，同時給了學生自主探索和多維創造的空間，學生以抽象的本質屬性為依托自主選擇研究方向和呈現形式。函數是描述變化過程的重要工具，是刻畫現實情境的有力武器。在一次函數模型的應用的教學中，筆者布置了以下實踐作業：選擇一個合適的情景問題，利用一次函數來模擬和解決。學生在分享作業的過程中充分體現了其自主性、發散性，設計的函數模型精彩紛呈。以下為六位同學的設計：

（一）華氏溫度與攝氏溫度

劉同學從日常生活中使用的溫度計左右有兩列數字引發思考，通過資料查詢得到部分攝氏度與華氏度的對應值，通過列表描點作圖發現華氏溫度與攝氏溫度完美契合了一次函數模型，從而通過待定系數法求出函數的解析式，確定關系。

非常巧妙的是最后提出的問題，同學在讀數時將華氏溫度與攝氏溫度看錯，卻得到了同樣的結果，引導同學們解決問題。

最后查詢資料，驗證了推導出的公式的正確性。

（二）游戲“江南百景圖”中驛站里糧草數量與采集時間的關系

謝同學在一款名為“江南百景圖”的游戲中發現：每次通過驛站外出探險消耗的糧草為一份，之后會自動采集新糧草。為了更合理地安排時間，她記錄了糧草份數與采集時間的關系。通過一次函數的模擬，她最終解決了問題，得出了等待糧草儲存滿所需要的時間。這也幫助她規劃了寫作業的安排，做到了勞逸結合。

（三）精英班的服裝店

李同學不僅為同學們展示了關于如何解決服裝店尺碼與衣長的相關函數問題，還帶領同學們回顧了一次函數模型的應用中解決問題的詳細步驟，復習了上一節實踐活動課的知識。

（四）奶茶肥宅的快樂

愛喝奶茶的魯同學想到，只要把奶茶的凈含量和價格利用一次函數來模擬就可以解決如何選擇奶茶這一問題。他運用美團外賣上奶茶店的相關奶茶產品的數據進行了模擬。值得關注的是，在模擬的過程中，他發現奶茶4號不符合一次函數模型，原來是因為1號、2號、3號都是珍珠奶茶，而4號是果汁茶。這也引發同學們的思考，在利用函數模擬的過程中，可能會出現數據偏差較大的情況，這時候同學們不妨追根溯源，認真尋找問題所在。

（五）游戲材料與一次函數

傅同學愛玩游戲，但玩中有學，學中有思考。通過對“理智”與“材料”的數據整理和函數模擬，他合理推測出下一次獲得材料需要花費多少“理智”。為了驗證自己的模擬結果，他還進行了實際的測試，結果發現實際測試與模擬的結果誤差非常小。為了紀念這一事件，他將這個解析式取名為“歐皇解析式”。

（六）作業量與完成時間

為了預估作業完成所需的時間，以做好規劃，確定作業什么時候開始寫。劉同學對作業量與完成時間進行了研究，利用一次函數模型進行模擬。在研究過程中，一開始采用的是正比例函數進行模擬，但發現誤差較大。經過分析排查，他發現英語中的朗讀背誦這一項是固定的十分鐘，無法變化，故應該選擇一次函數進行模擬。最終，他成功地將作業時間精簡成了一個簡單的函數解析式。

該作業具有很強的實踐性和開放性，引導學生利用函數模型解決生活中的實際問題，以生活情境為載體，讓學生充分感受數學源于生活并用于生活，有利于學生感受數學的實踐價值。學生在完成作業的過程中開始用數學視角觀察生活、用理性思維分析生活、用分析所得指導生活，在同理論、多角度的分析過程中，“萬生一”到“一生萬”的抽象以及抽象的應用能力得到有效的訓練，核心素養便也在無形中得到了落實。

四、從學科孤立到學科融合

數學是用于描述客觀事件的語言和工具，是自然科學和技術科學的基礎。數學的學習不應該完全局限在數學知識的界域內，應該從基礎階段開始就要注重數學的應用價值的探究，注重數學結論和數學思維在其他學科中的融合應用。通過學科融合，讓學生認識到，數學在其他學科學習中的巨大應用價值。

一次方程組在CT技術中有著十分重要的應用，在學習過程中引導學生聯系生活實際，體會數學與自然、社會的廣泛聯系。本節內容設置了以下實踐作業：走進醫院，采訪CT室專業醫生，了解CT技術相關知識，并查閱資料對CT知識進行補充。通過采訪、查閱了解方程知識在醫學領域的具體應用，引導學生思考數學在其他學科的應用，感受數學與其他學科融合的魅力，培養學生的數學應用能力，讓學生學有所用。

實踐性作業的完成，促進學生以理性的數學眼光看待生活，并學會將數學作為工具解決現實生活中的問題。初中數學實踐性作業既是課堂作業的補充，又是課外作業的重要組成部分，具有現實性、實踐性、趣味性、綜合性、開放性等特征。對于落實課程標準要求，實現學生綜合素養的發展具有重要的推動作用。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012.

[2]陳桂.例談基于核心素養視角下數學實踐性作業設計策略[J].數學教學通訊，2017（26）：7576.

責任編輯：唐丹丹