培養抽象知識,提升數學素養

王業流

[摘? 要] 數學知識具有概括性、抽象性的特點，學生只有具備數學抽象思想方法，才會提取有效的信息，建立數學模型，解決實際問題，認識數學本質. 數學抽象是指能夠從具體的情境中提煉數學模型建構知識的能力，教師要通過問題引導學生探究數學知識的抽象性，體會數學知識的發生過程，不斷探索問題的本質，提升學生的抽象思維能力.

[關鍵詞] 數學抽象;理性認識;本質

數學抽象是從具體的事物和現象中概括出數學原理、方法、思想. 數學學習的過程始終貫穿著數學抽象思想方法. 首先，學習數學概念、定理、規則、公式等，需要通過數學抽象能力進行概括和推導;其次，在解決實際問題的過程中，只有通過數學抽象才能與數學知識建構聯系，形成數學模型，在知識遷移中解決問題. 數學抽象是學生在學習過程中由感性認識上升到理性認識的橋梁，只有具備數學抽象思想方法才能認識事物的本質特征，體會數學的魅力. 因此，在數學教學過程中，發展抽象思維能力是提升學生數學核心素養的根本要求. 數學教學如果僅僅滿足于知識的傳授和講解，讓學生停留在模仿解題的階段，未能進行深度思考，深化思維認識，就不利于學生的長遠發展. 筆者在教學實踐中不斷探尋培養學生數學抽象能力的方法，產生了一些體會和思考，下面以“一次函數與二元一次方程”為例，談一談如何在教學實踐中培養學生的數學抽象思維能力.

教學過程

1. 溫故知新，提出問題

師：（通過多媒體展示x+y=3）大家觀察一下這個式子屬于哪一類方程.

生1：這個式子屬于方程中的二元一次方程.

師：對這個二元一次方程進行恒等變形，比如得到y=-x+3，這時它又是一個什么式子呢？

生2：變成了一次函數.

師：此時，現在我們知道了一個式子可以同時有兩個不同的概念，既可以是方程，又可以是函數，雖然這是兩個完全不同的概念，但是它們之間有沒有什么關系呢？

設計意圖? 以學過的簡單等式創設情境，通過設計問題導入新課，引導學生進入新課學習狀態，以情境作為新課探究的起點. 讓學生通過情境感受到數學知識之間存在聯系和邏輯順序，激發學生探究新知的好奇心，并在數學知識中滲透了數學抽象思想.

2. 提煉類比，歸納新知

（1）二元一次方程與一次函數

師：二元一次方程x+y=3有幾個解？任意取一個解，如x等于1，y等于2時，對應的點的坐標（1，2）在函數y=-x+3的圖象上嗎？

生3：我們可以把函數y=-x+3的圖象畫出來，通過觀察圖象就知道點（1，2）是否在函數y=-x+3的圖象上. 換言之，方程x+y=3的解是直線y=-x+3上的點的坐標.

師：剛才的解答中得到了方程x+y=3的一個解，那么方程x+y=3還有其他的解嗎？這個規律還適用嗎？

生4：我們可以通過舉例進行說明，再找方程x+y=3的一個解，當x等于-1，y等于4時，對應的點的坐標就是（-1，4），我們可以看到這個點同樣在對應函數的圖象上.

師：同學們，通過剛才的研究，我們有沒有發現二元一次方程和一次函數之間有著怎樣的聯系呢？

（學生通過觀察、思考和交流，得到了直觀的結論）

生5：通過剛才列舉的兩個例子，我們知道二元一次方程的解就是一次函數圖象上的點的坐標.

（2）一次函數與二元一次方程組

師：通過剛才的學習，我們了解的是哪兩者之間的關系？

生6：二元一次方程與一次函數之間的關系.

師：那么你們覺得接下來還需要了解一次函數與什么之間的關系呢？

生7：還有二元一次方程組與一次函數的關系.

師：我們可以通過剛才的探究方法來研究二元一次方程組的解與一次函數的關系.

（小組進行討論交流，然后展示結果）

小組匯報：二元一次方程組的解，也就是兩個二元一次方程的公共解，我們畫出了對應的兩個一次函數的圖象，它們相交的點的坐標就是二元一次方程組的解;接下來，我們驗證了相交點的坐標是否為這兩個二元一次方程的公共解，于是明白了二元一次方程組與一次函數的關系.

師：非常好，從剛才的解答過程中我們不僅探究了兩者之間的關系，而且學會了一種新的解二元一次方程組的方法，這種方法在數學上叫圖象法.

師：下面同學們把剛才解答二元一次方程組的過程總結一下.

學生總結出利用圖象法求解二元一次方程組的步驟：首先是轉化，將二元一次方程組轉化成對應的兩個一次函數;其次將兩個一次函數的圖象畫出來進行觀察;再次通過觀察找到兩條直線的交點的坐標，確定二元一次方程組的解.

師：我們仿照前面總結二元一次方程與一次函數的關系來總結二元一次方程組與一次函數的關系.

（學生經過觀察和討論，非常輕松地得到了二元一次方程組與一次函數的關系）

設計意圖? 這一環節通過設置符合學生的認知水平、貼近學生實際的問題引導學生進行分析、探究和解決，使學生親身體驗如何去探討兩者的關系，體會分析問題的思路，以及經歷知識發現的過程. 教學中教師通過設計層層遞進的問題，幫助學生更好地概括一次函數與二元一次方程以及二元一次方程組的關系;同時，引導學生總結解題中運用的數學方法，體會數形結合思想.

3. 鞏固提升，深化認識

問題1：有兩個探測氣球分別用來探測海拔的高度，其中1號探測氣球位于海拔5米的高度，以每分鐘1米的速度上升;2號探測氣球位于海拔15米的高度，以每分鐘0.5米的速度上升.

（1）請你將兩個探測氣球所在位置的海拔高度y（單位：m）與上升的時間x（單位：min）之間的函數關系表示出來.

（2）兩個探測氣球能不能在某一個時刻處于同一高度？如果可以，請你分別計算出兩個探測氣球所在的海拔高度和上升時間.

學生討論交流，教師進行點撥，審題后運用所學知識逐步進行解答. （解答過程略）

問題2：如圖1所示，根據上述的解題過程，若從函數的觀點來看方程組y=x+5，

y=0.5x+15，可以得到哪些結論？得到的結論可以進行推廣嗎？

通過剛才的探討，學生知道了每個二元一次方程組都對應著兩個一次函數，即兩條直線，體現了數形結合思想. 從“數”的角度來說，求解二元一次方程組相當于求自變量為何值時對應的兩個一次函數的值相等;從“形”的角度來說，二元一次方程組的解就是確定兩個一次函數相交的點的坐標.

設計意圖? 將數學知識在具體問題中的應用抽象概括得到的定理推廣到一般問題的應用中，是一個類屬性同化的過程，也是一個從高層次進行抽象概括的過程. 問題1以探測氣球升空為背景，通過函數知識解決問題，強化數形結合思想并加深學生對二元一次方程組的理解. 通過新知運用，強化學生對一次函數與二元一次方程組關系的認識，加深學生對這一知識的印象.

4. 課堂小結，梳理知識

在探究問題的基礎上，教師先引導學生回顧本節課的研究過程，然后進行課堂小結.

從函數的角度，說一說今天涉及的二元一次方程和二元一次方程組的聯系，并且說一說你知道的解二元一次方程組的新方法. 在探究一次函數與二元一次方程以及二元一次方程組關系的過程中，運用了哪些思想方法？

設計意圖? 總結本節課的數學思想方法，鞏固解題思路，主要包括以下內容：第一，總結一次函數與二元一次方程以及二元一次方程組之間的關系;第二，學習用圖象法解二元一次方程組;第三，滲透數形結合思想方法. 在教學過程中，教師不止著眼于解決問題，還立足于數學抽象思想方法的滲透，強調引領學生在探究過程中獲得結論，用不同的數學語言表達數學概念和原理，梳理知識點之間的關系.

教學反思與體會

數學抽象能力是運用數學思維進行空間和數量的整合加工的能力. 教育心理學家稱之為反省抽象，指通過數學語言將數學理論的形成過程進行表述. 數學抽象具有數學學科自身的特點，與其他學科有所區別：第一，數學抽象只存在數量和空間形式間的關系，而把其余的關系都舍去了;第二，數學抽象是逐步提高、層層遞進的，數學中形成的抽象程度比其他學科形成的抽象程度要大很多;第三，數學本身就是圍繞著抽象的概念、定理、公式以及它們之間的關系而展開的. 學生在學習過程中感到數學難懂，而教師覺得很難激發學生學習的積極性，究其原因就是數學具有高度的抽象性和概括性. 數學教師教學時要從具體的問題出發，引導學生發現數學知識形成的過程，從具象到抽象，實現相互轉化，讓學生在體驗的過程中提高抽象思維能力.

1. 創設情境，培養數學抽象

課程開始，教師通過將復雜的問題進行簡約化處理，初步把握事物在數量和圖形方面的本質屬性，在直觀的基礎上使復雜的問題呈現出邏輯條理化，培養學生具備初步的抽象能力. 為了直觀地呈現事物的要素，教材給出了貼近學生實際生活的情境、符合知識規律的情境以及一般知識產生的情境等，這些情境要素具有感知優勢，能夠刺激大腦，并與大腦中的其他要素分離，從而將事物的本質特征抽離出來. 本課案例中，將材料呈現給學生形成正向刺激，使學生從中發現和提出問題，并能夠分析和解決問題，培養學生的數學抽象思想方法.

2. 建構認知，具備數學抽象

數學學習是從感性認識上升到理性認識的過程，也是從具體內容到符號表達的過程. 教師將具體問題中的部分內容除掉，通過圖形、文字、符號等將事物簡約地表達出來，使學生開始具備數學抽象思想. 用數學符號表達數學知識是學生抽象思維形成的關鍵，只有在已有知識的基礎上進行新知建構，才能不斷完善知識體系，理解數學知識. 從這個意義來說，學生已有的知識基礎對于新知的學習具有關鍵性的作用，因此教師要基于學生已有的知識，從學生的最近發展區開展教學設計. 原有認知結構對新知的學習具有決定性作用，首先是原有認知結構的可利用性，即舊知與新知之間的聯系，如果舊知被用來學習新知的利用率低，或者與新知之間的聯系較少，那么勢必會影響到新知學習，不利于學生對新知的理解. 其次是原有認知結構的穩定性和清晰性，如果原有認知結構不固定或不清晰，那么其難以成為新知學習的著力點，而且在新知學習過程中容易導致新舊知識混淆，難以區分知識點的不同. 以上兩個特性說明了實現數學抽象的意義，為了使學生具備數學抽象思想，教學中教師要著力塑造和完善學生的數學認知結構.

3. 概括類比，深化數學抽象

數學抽象由符號階段進一步推廣到一般化的問題和場景中，通過推理、假設等方法建立數學模型，讓學生掌握一類問題的特征和解決規律. 教師需要對教學材料進行有意義的加工，使原來抽象的知識在學生心中成為能夠看得見摸得著的東西，使學習的價值進一步彰顯. 那么如何對抽象的知識進行改造，使抽象的知識變得“實體化”呢？教師可以通過概括和類比的方法，對比同一性質的對象內在的相似性，以及結構上的一致性. 概括類比一般可以通過以下步驟進行：首先根據某一特征將相似的對象集合在一起，確定合適的對象;其次將類比對象的屬性列舉出來;再次根據列舉出的基本屬性進行有規律性猜想;最后通過數學知識驗證這個猜想. 由此，我們可以看到歸納類比思想在啟發學生探索解題過程中具有非常重要的作用，同時也是培養學生數學抽象的重要方法.

綜上所述，數學抽象是數學學習和應用數學知識的必備素養. 教學中教師要通過引導學生進行情境探究，探索問題本質，逐步培養學生從具體內容中抽象概括數學知識的能力，助力學生掌握數學本質，提升核心素養.