初中數學教學中數學抽象的概念理解與培養路徑

周存蘭

[摘? 要] 義務教育數學核心素養的表述為：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界. 在核心素養以及初中數學學科核心素養的視角之下認識數學抽象，必須能夠發掘其新的內涵. 這種新的內涵意味著對數學抽象的理解必須與核心素養培育的最終目標相匹配;必須要與學生的具體學習過程，尤其是學習過程中表現出來的規律相匹配;必須要對教師的日常教學起到指導性的作用. 在培養學生數學抽象素養的時候，要保證提供給學生的現實世界中的事例，與所對應的數學關系之間，要有相對簡單、對應的關系，要保證學生能夠運用自己的數學意識與數學思維，將這些數學關系尋找出來.

[關鍵詞] 初中數學;數學抽象;概念理解;培養路徑

《義務教育數學課程標準（2022年版）》已經正式發布，相對于其他學段的核心素養表達而言，義務教育數學核心素養的表述更為通俗，其為：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界. 借助這三個表述，可以對初中數學學科核心素養進行全面的理解. 根據課程標準的闡述，初中階段的數學學科核心素養表現，包括抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識以及創新意識. 在這些要素當中，抽象能力首當其沖，這是有原因的. 對于初中數學乃至于整個義務教育階段的數學而言，其中的數學知識與生活的關系都非常密切，很多數學知識都來自現實世界，所學到的數學知識又能反作用于現實世界，所以在幫助學生建構數學知識的時候，立足于現實世界進行教學，然后對現實世界的事物進行數學抽象，就是一個基本的教學思路.

數學抽象不是一個新的概念，但是在核心素養以及初中數學學科核心素養的視角之下認識數學抽象，又必須能夠發掘其新的內涵. 這種新的內涵意味著對數學抽象的理解必須與核心素養培育的最終目標相匹配，必須與學生的具體學習過程，尤其是學習過程中表現出來的規律相匹配，必須對教師的日常教學起到指導性的作用. 尤其值得一提的是，數學抽象過程應當成為學生的體驗過程，只有讓學生經歷數學抽象，才能讓學生形成關于數學抽象的經驗性認識，并且基于這一認識上升為理性思維. 而也只有具備了理性思維的支撐，數學抽象才能真正成為學生的素養.

所以對于一線教師來說，要想將初中數學學科核心素養中的數學抽象素養落實到地，首先要從理論上建立起關于數學抽象的基本理解，然后要在日常教學實踐的基礎上，借助日常的教學實踐以及形成的基本案例，來判斷自己對數學抽象的理解，來評價學生數學抽象素養的形成過程與結果. 這樣的研究思路符合理論聯系實際的基本需要，也是一線初中數學教師進行教學研究的基本范式.

初中數學教學中數學抽象的概念理解

從定義的角度來看，有人認為，數學抽象是指從空間形式與數量關系中得到數學研究對象的思維過程[1]. 這樣的定義是從數學抽象的本質角度給出的，其實在學生把握空間形式與數量關系的時候，也有一個數學抽象的過程，因為空間形式與數量關系在生活當中并不是直接出現的，現實中的事物往往都以具體的形態出現在人們的面前，數學中的空間形式與數量關系通常都隱含在這些事物的背后，要想讓空間形式與數量關系從現實世界中凸顯出來，這個時候觀察者就必須具有數學的眼光. 所以說，在“會用數學的眼光觀察現實世界”這一闡述當中，所強調的核心就是數學抽象.

數學抽象是需要工具的，這個工具既是指“數學的眼光”，同時也是指數學的思維與數學意識. 數學意識是前置性條件，對于絕大多數人而言，看到現實世界中的事物時，往往是從直觀的角度進行觀察，如形態、顏色、大小等，所獲得的是直觀感受. 數學意識則不同，一個擁有數學意識的人，在看到現實世界中的事物時，往往會不由自主地從數與形的角度去解析，解析得深入與否，又取決于數學思維水平的高低. 數學意識與數學思維綜合起來，影響著學生數學的眼光，進而也就影響到學生對現實世界的觀察.

由此可以認為，在初中數學教學中理解數學抽象的概念，應當建立在感性認識與理性認識相結合的基礎之上. 要知道數學抽象本身是一個抽象的概念，但數學抽象的進程體現在學生身上的時候，卻是數學意識與數學思維共同作用的結果，表現為學生看到現實世界中的事物時，能夠剝離其中的非數學因素，留下其中的數學因素（值得一提的是，這樣的過程會與學生的數學知識基礎以及能力高低直接相關，在剝離的時候有可能會因為自身的水平高低而出現不同的結果），從而在自己的大腦中建構起一個關于現實事物的數學表象. 這個表象是由數與形組合而成的，是數學抽象的結果，是反映現實生活中事物內在數學特征的模型.

要培養學生的數學抽象素養，教師就應當注意相關的教學策略. 事實已經表明，大量的機械學習和機械訓練容易導致學生的數學抽象能力不理想[2]. 因此要在數學抽象能力培養的基礎上發展學生的數學抽象素養，就需要通過具體的案例分析，去發現數學抽象素養培養的基本規律，去尋找到有效的數學抽象素養培養的評價維度. 下面筆者就初中數學教學中數學抽象的培養途徑，進行進一步的陳述.

初中數學教學中數學抽象的培養路徑

在初中數學教學中尋找數學抽象的培養路徑，并不是一件輕而易舉的事情. 事實表明，教師如果要開展抽象思維的教學，就必須明確數學教學訓練的目標、層次、內容. 教師只有建立一套教學目標體系，才能夠長期地、持續地、定向地開展數學教學，避免在數學教學中出現教學偏差. 而基于數學抽象的基本特征，筆者以為在培養學生數學抽象素養的時候，要保證提供給學生的現實世界中的事物，與所對應的數學關系之間，要有相對簡單、對應的關系，要保證學生能夠運用自己的數學意識與數學思維，將這些數學關系尋找出來. 當然這么強調并不是說要讓數學關系清晰可見，而是強調在“最近發展區”內，通過學生的努力以及教師恰到好處的引導，使學生擁有一個充實的體驗數學抽象的過程.

例如，“點、線、面、體”的學習中，教師應當認識到這是幾何知識學習的基礎，同時這也是一個培養學生良好的數學抽象素養的契機. 這是因為“點、線、面、體”既是純粹的數學概念，同時在日常生活中又有著相應的運用，當然即使是同一個概念，在數學當中和在生活當中的含義會有所不同，對于初中學生來說，他們對于“點、線、面、體”的認識，首先來自生活，生活中所說的出發點、直線、平面、物體等等，都是學生關于“點、線、面、體”的生活認識. 當在生活中提到“點、線、面、體”時，學生大腦當中所浮現出來的，也就是關于“點、線、面、體”的實際物體. 這里可以發現，學生在生活中形成的經驗具有一個基本的特征——概念與實物的一一對應. 這里還隱藏著一個重要的規律，即學生在生活中所形成的經驗，往往就是通過概念名稱與實際物體構建出來的. 對于數學學習而言，這是教學的基礎，對于數學知識的建構來說，在實際物體與概念名稱之間嵌入數學知識，是一個重要的教學目的，也是數學抽象的根本所在. 換句話說，當學生能夠運用數學知識銜接概念與實際物體的時候，就是數學抽象教學成功的時候.

本著這樣的思路，對于“點、線、面、體”的教學，就要重視數學抽象過程的設計. 筆者在教學時，重點設計了這樣幾個環節：

環節1：讓學生結合自己的生活經驗，說出生活中與“點、線、面、體”相關的物體或概念.

這是一個調動學生生活經驗的過程，也是讓學生的思維指向“點、線、面、體”的過程. 當學生分別舉出“點、線、面、體”的例子時，他們會不由自主地將自己所認為的“點、線、面、體”的物體進行比較，這實際上就為后面通過分析與綜合總結得出“點、線、面、體”的特征打下基礎.

從數學抽象素養培養的角度來看，在這個環節，學生所舉出的例子越豐富，數學抽象的基礎也就越扎實. 當然豐富的例子只是數學抽象的必要條件之一，要想讓數學抽象真正發生，還離不開教師的引導. 這就使得數學抽象的體驗過程進入第二個環節.

環節2：通過問題驅動學生數學抽象體驗的形成.

數學抽象強調的是從現實世界的物體走向抽象世界的數學，即“數”從“形”中抽象出來. 對于“點、線、面、體”這一內容的教學來說，就是要讓學生能夠從數學的角度認識到“點、線、面、體”意味著什么. 根據學生的認知規律，數學抽象的切入口可以從“體”開始，在學生的經驗世界里，與“體”相關的就是物體，而在現實世界中“物體”有著無數種，如何從紛繁復雜的無數種物體中抽象出“體”的認識呢？這就需要因繁就簡，需要運用數學抽象的方法，解析出復雜物體中的簡單物體. 比如說讓學生研究一個房子（如教室）的結構，學生就會發現，盡管房子的結構很復雜，但是如果“拆”開來，就可以得到“方形的墻”——這就對應著“長方體”和“正方體”，可以得到“圓形的柱子”——這就對應著“圓柱體”……其后，換一個視角去看“方形的墻”和“圓形的柱子”，就可以得到“長方形”或者“圓形”（甚至還有學生提出，如果斜著看圓柱的截面，還可以得到“橢圓形”），這個時候的“形”，實際上就是基于平面的抽象結果;接著，引導學生抽象得出“線”. 學生生活中建立起的關于線的概念，來自那些叫線的物體，如電線、導線、棉線等，因此學生會認為“細”“長”的物體，即可稱之為線. 有此經驗基礎，數學抽象的運用空間可以是讓學生去觀察教室中墻壁與墻壁的交界處，這樣以激活學生的經驗認識，還能夠進一步讓學生認識到數學意義上的線是沒有粗細的. 事實上這些認識還可以為后續的點埋下伏筆，通過數學抽象，學生就可以認識到數學意義上的點沒有實際的大小……

環節3：通過總結獲得數學抽象的結果.

數學抽象的結果往往表征為數學概念或者規律的得出，因此教師借助數學概念或者規律的構建與運用水平，來判斷學生在數學抽象過程中體驗的效率，這是一個具有因果關系的過程. 一個簡單的做法是，在黑板上用粉筆描出一個白點、畫出一條白線，然后問學生：這是不是數學意義上的點或線？等到學生做出判斷之后，教師再引導學生辨析，這樣“學生看得到的白點和白線”與“數學意義上的點和線”的區別也就凸顯出來了.

數學抽象的核心素養指向與教學前瞻

通過上述教學，可以發現在初中數學教學中要發展學生的數學抽象素養，很關鍵的一點就是：教師自身要有明確的數學抽象培養的意識. 這種意識的養成，對于實際教學的過程與結果影響巨大，因為當教師擁有數學抽象培養的意識時，其會在教學設計與教學實施的每一個環節，都去關注有沒有數學抽象培養的機會;反之如果沒有這種意識，那么即使有無數個機會也會被忽視. 教師除了必須有明確的數學抽象培養意識，還必須有明確的教學目的指向. 作為初中數學學科核心素養的組成要素，立足于數學抽象過程的體驗，去培養學生相關的能力，最終的目的是為了讓學生形成數學抽象素養，也就是讓學生擁有用數學的眼光觀察實際生活的本領.

既然新版的《義務教育數學課程標準》已經正式發布，那么立足于數學抽象素養的培養，筆者以為核心素養以及數學學科核心素養一定會以文始提到的“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”教育理念為出發點和落腳點，同時未來的初中數學教學也一定會在具體的教學案例研究與分析當中，得出包括數學抽象在內的評價方法與機制. 如此，數學抽象的教學就可以形成一個從意識建立到策略形成，再到評價機制形成的教學回路，這樣也就可以讓學生處于一個良好的學習狀態當中.

總而言之，數學是一門抽象的學科，數學學習需要學生的抽象思維能力作為基礎[3]. 在核心素養的背景之下，必須高度重視數學抽象的教學. 當然要說明的是，強調數學抽象的重要性，并不是說在數學教學中只重視數學抽象，實際上數學抽象是整個數學學科核心素養體系的組成部分，基于整體的視角去強調數學抽象的作用，更能夠讓整個核心素養落地.

參考文獻：

[1]吳小兵. 初中數學抽象的要義與培養關鍵點[J]. 教學與管理，2021（07）：39-41.

[2]鄔吉利. 核心素養視角下初中生數學抽象能力的培養——以初中數學“一元一次方程的應用”的教學為例[J]. 數學教學通訊，2020（02）：35-36.

[3]張本陸. 談初中數學教學中如何培養學生的抽象思維能力——以“變量與函數”的教學為例[J]. 數學教學通訊，2014（01）：9-10.