新、舊課標比較視角下學生量感培養教學策略探析

薛亦暉

【摘 要】針對新課標中提出的“量感”這一核心素養，將新、舊兩版課標中涉及量感培養的教學內容進行文本分析與比較，會發現在大體范圍不變的情況下，有三點微調：其一，增加了尺規作圖的內容；其二，加強了度量相關內容知識的整體性，抓住了度量的本質；其三，更加關注數學文化尤其是中國數學史的融入?；诖?，本文提出兩條教學策略建議：創設中國數學史融入情境，感受數學的思想方法與文化價值；圍繞研究對象，進行整體化設計，同時加強知識之間以思想方法為主線的縱向聯系。

【關鍵詞】小學數學 新課標 量感素養 比較研究 數學文化

在最新頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中，小學數學教學中的核心素養相比《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“舊課標”）增加了“量感”一詞，并將其界定為“對事物的可測量屬性及大小的直觀感知”，是學生“會用數學的眼光觀察世界”所需要具備的素養?？梢?，發展學生量感素養的重要性。課程標準對于教師的教學僅僅是指向作用，教師需要研究如下兩個問題：如何在教學中讓學生達到新課標對小學生量感素養的要求？相較于舊課標指導時期需要進行怎樣的調整？

在研究新課標的過程中，教師應當重點探索新、舊課標中的不同，并高度重視兩者的共同點，于變之中尋求不變。盡管在舊課標中提出的核心素養中沒有包含“量感”，但其課程內容中各學段均有對于度量的學習，所以對于小學生量感的培養長久以來一直在教學中進行，只是沒有明確其內涵。建立在新、舊課標共同點的基礎上的研究結論才能在課標變化的過渡期對一線教師有更好的指導意義。培養量感，應關注度量意識，明確發展量感的必要性，厘清度量單位，完善度量策略。因此，筆者在下文中將先對新、舊課標中涉及度量的課程內容要求進行對比，總結出共同點與差異，提出相應的教學策略建議，以凸顯在新課標的要求下對小學生量感的培養。

一、新、舊課標有關量感培養的課程內容比較

（一）有關量感的課程內容的范圍框定

在進行分析與比較前，要首先明確研究對象，即度量的內涵與課程范圍。度量是由數加上度量單位構成的，其中數包括離散量和連續量，離散量是指物體的個數，連續量包括長度、體積、面積、溫度、時間等。度量單位主要包括兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；另一類是借助工具得到的，是人實踐的結果。小學階段培養量感的教學內容主要為借助工具得到的連續量的測量與比較。史寧中教授又將度量分為傳統度量、拓展度量和現代度量三種。傳統度量是指如周長、面積、體積和角的大小等涉及兩點間距離的量，拓展度量是指如質量、時間、貨幣和長度等設定計量單位的量，現代度量是指信息、圖像和網絡等量化概念。在小學階段中的課程內容只涉及對有關幾何的傳統度量和一些基本的拓展度量的學習，新、舊課標在這方面保持一致。由于量感的培養關鍵在于利用度量對事物進行直觀感知，各維度圖形的度量策略基本相同，只是特殊圖形在測量中得到的結果存在一些規律，從而可以使用一些公式計算其大小屬性，因此這里并未將特殊圖形相關公式的課程內容計入其中。

筆者在對新、舊課標中的課程內容進行對比研讀之后，發現在“圖形與幾何”和“綜合與實踐”學習領域均涉及了培養量感的有關度量的內容。因此，下面將這兩個學習領域中涉及度量的條目進行比較。其中，新課標將小學分為一至二年級、三至四年級和五至六年級三個學段，而舊課標是分為一至三年級和四至六年級兩個學段。

在新課標中列舉了具體的讓學生獲得直接活動經驗的主題活動，而舊課標只給出了概括性的課程內容與目標，在附錄里給出了“綜合與實踐”一些例子。所以，在對于此領域新、舊課標的比較中，新課標采用課程內容中的例子，舊課標采用對應的附錄中的例子。另外，舊課標第一學段的“數與代數”中“常見的量”的課程內容可以與新課標中的一些例子相對應，故在比較中也考慮這一部分的內容。

（二）兩版課標的共同點

在“圖形與幾何”學習領域中，新、舊課標都同樣對單位換算和選擇單位進行圖形的估測有所要求，除了新課標在第二學段增加了有關“尺規作圖”的內容之外，課程的知識范圍和各內容的認知水平沒有變化，小學階段仍然以意識與感知的培養為主。

對于基本圖形的面積測量，新、舊課標的課程內容要求并不能直接在教學中促進量感素養水平的提高，因為面積的測量仍然是對長度進行度量之后，再利用面積公式進行乘法與加法的計算，而第二學段的學生已經具備了這些計算技能。因此，教師仍然需要引導學生學會使用度量單位對面積進行估測，這其實是再次強調了度量意識的培養，說明舊課標也注意了量感的發展。因此，這部分內容的教學仍然可以沿用原有的單元教學順序。

（三）兩版課標的差異

首先由于新課標將一至二年級單獨劃分為一個學段，所以明確要求長度單位米和厘米為第一學段的內容，其余長度單位為第二學段教學內容。剛剛到達學齡期的第一學段的學生正處于皮亞杰提出的發展階段的感知運動和具體運算的過渡期，對于量的概念尚未形成，而米和厘米是他們日常接觸的物體的衡量單位，能夠更加直觀地進行感知。

筆者認為，兩版課標需要進一步探討的差異主要在于以下三點：

其一，新課標增加了度量的方法與工具使用的教學要求。最明顯的變化在于第二學段的“圖形與幾何”領域中增加了“會用直尺和圓規作一條線段等于已知線段”。另外，關于面積度量的課程要求中，新課標沒有規定估計不規則圖形面積的方法，筆者認為，這里的變化是在鼓勵教師和學生采用多種方法來進行估測。雖然方格紙的確是一種常用的能夠反映度量本質的工具，但是重點在于讓學生經歷選擇度量單位進行計數的過程，不能將學生的思維局限于將圖形劃分為方格。

其二，新課標不再將涉及同一類圖形的要求割裂開來，而是把度量本質作為核心概念，把對與之聯系的圖形屬性以及度量單位的認識看作一個整體。這體現在新課標內容要求的表述上的顯著變化，即將相同研究對象的內容合并為一個條目，體現了單元整體教學的指向性，凸顯內容之間的關聯。

其三，新課標對數學文化尤其是中國數學史的關注更加顯著，綜合與實踐的主題活動利用了更多的有關例子。新課標的綜合實踐活動的要求更加具體、更加生活化，并且以數學的方式融入了中國歷史上的故事，對常態教學有更為直接具體的指導。同時，其在主題活動的具體要求中提及了數學文化的德育作用，如“勤儉節約的意識”（歡樂購物街）、“懂得遵守時間”（時間在哪里）等。

基于這些課標要求的延續與變化，筆者認為，教師在原有的教學設計上可以增加更多的關于中國數學史的內容，減少應試方法的教學，增加對度量意識的培養，從而更有效地落實對于小學生量感以及其他核心素養的發展。下面，筆者根據上述對新、舊課標在度量相關內容的變化的分析提出兩條教學建議：一條是對具體課堂教學內容的建議；一條是從整體視域下基于知識縱向脈絡的教學建議，在以往常態教學的基礎上著重培養小學生的量感。

二、基于新、舊課標差異的教學策略建議

（一）創設中國數學史融入情境，感受數學的思想方法與文化價值

基于小學階段數學知識的學習量少這一特點，教師應將更多的教學時間放在數學文化的感知上，在多年后沒有成為數學領域專家的學生可能遺忘了他們曾經學的數學知識，所以已經內化的數學文化中蘊含的精神與思想才是他們受教育的真正結果。應用數學史的內容要貫穿并融于課堂，將其與同一核心概念相關聯的內容串聯，呈現數學發展的歷史脈絡，啟迪學生對于數學知識內容產生的思考。

中華傳統文化中諸子百家更多的是對人文社會的解讀以及對宇宙萬物的玄學解釋，導致在數學的較多領域缺少發展的歷史。但是由于度量衡的產生是直接與人類交換行為的發展直接聯系的，古代中國作為封建小農經濟社會，數學典籍具有濃厚的社會應用性色彩，在度量與估算方面有很大的成就，產生了為解決實際問題的度量單位與方法。量感素養培養的主要內容是學習度量或使用度量工具，故在培養量感中可以更多地滲透有關度量的中國數學史，培養學生的民族自豪感。同時，數學歷史在教學中的滲透，能夠幫助學生對數學知識與思維的內化以及興趣與學習內驅力的培養，在數學教學中發展學生的核心素養。因此，這點建議是筆者想要重點闡述的培養學生量感過程中的教學要求。

汪曉勤及其團隊在數學史與數學教育之間關系（HPM）的研究中提出，小學數學的歷史材料大致可以分成“人物與事件”“概念與思想”“運算與法則”“問題與求解”“公式與命題”“工具與符號”六類，與度量相關的數學史主要是“人物與事件”“概念與思想”以及“工具與符號”。在數學史的展現過程中，教師要讓學生學會用數學的眼光來看待歷史事件，利用工具與符號從現實世界中抽象出數量關系，即通過定量的方法解決問題。

第一，利用數學史中的“工具與符號”，讓學生認識度量工具的原理與作用。在尺規作圖的教學中，教師可以介紹古代的規和矩等度量儀器，將其產生與發展過程融于教學過程，如“夏禹治水”中所用的“左規矩，右準繩”。另外，角的度量也有很多歷史文化可以追溯，如戰國的《考工記》中也出現了關于角度和標準量器的記載，用小學生能理解的深入淺出的語言介紹度量角的工具以及角度劃分的數學史，讓學生體會到描述物體的形態和位置可以將其量化為有關角度的描述。中國度量史的研究已達到較高的水準，教師有許多可以參考的文物資源，如吳承洛先生的《中國度量衡史》，度量文物中不乏一些制作精湛的測量儀器，可以供教師取精用宏于教學。在認識這些工具的過程中，教師要介紹它們的產生原因以及工作原理，與當代的相應的測量工具相聯系，讓學生意識到它們的作用，并學會使用基礎的測量工具。

第二，以數學史料為載體，將數學思想方法呈現于課堂，幫助學生理解度量本質。例如，對于圓面積的測量，教材與課堂中都會經常用到“割圓術”的思想方法引導學生將圓進行分割后再進行測量。教師應當做的不是在課前直接告訴學生劉徽的“割圓術”，而是在課堂教學過程中將其作為一條主線貫穿新課導入。如果在圓之前對于一些基本圖形的面積測量學習中，學生已經知道面積可以用度量單位為“1”的小正方形的個數來確定，那么在此基礎之上，教師可以提出如下幾個問題：我們可以用方格紙來估計圓的面積嗎？能不能把圓大致分割成其他的你會求面積的圖形進行測量呢？你是如何分割的？為什么要這樣分割？怎樣分割可以更快速地、更精確地測量？這樣一系列的問題串提出之后，學生也就可以自然地想到“割圓術”，在這一過程中學生也經歷了這一思想方法的發現過程，實現了深度進階學習。

第三，展示數學史的“人物與事件”，開闊學生視野，提升學生的人文素養，實現量感素養對于學生作為人的發展的積極影響。張奠宙先生曾指出：“數學教學往往局限于一個概念、一個定理、一種思想的局部歷史的介紹，缺乏宏觀的歷史進程的綜合性描述。實際上用宏觀的數學史進程可以更深刻地揭示數學的含義，加深對數學知識的文化理解?！痹谥v述古代秦始皇統一度量衡的故事時，教師除了可以將歷史的發展重現于學生的發現與探究過程，也可以談談數學在社會中的隱性價值。如春秋戰國時期的政治家、思想家都把度量衡看作權力和社會公正的象征，把頒行度量衡制度作為治國方略，用度量衡的準確一致來比喻法律的公正性，把時間和音律列為政事和政令管理。從統一度量衡的歷史事件到法治的發展，學生可以通過對此內容的學習感知到數學對于社會其他領域的影響。同時這也是將數學與歷史相結合的一種學科融合建設方式，在數學學習中讓學生體會歷史發展的規律性與必然性。

在綜合與實踐活動中，新課標所列舉的主題活動和項目式學習出現了更多與中國數學史有關的內容，因此教師在課堂上仍然要落實上述要求，尤其應注重數學文化的內化與思維的訓練，通過活動中的建構性學習，在思考與解決問題的過程中充分理解與運用度量，形成看待事物的量感。

（二）圍繞研究對象，整體把握度量的教學內容

新課標的量感內容要求呈現出“研究對象+”的形式，教師在圖形的認識與測量相關的單元中要把握“度量單位個數”這一核心概念，尋求培養量感的知識建構過程的教學模式。雖然根據后現代主義的課程觀，不應當出現特定的固化的教學模式，但是對一些知識的學習方法可以進行遷移，而對基本原理和思想的理解，是我們實現“訓練的遷移”的主要途徑。比如在學習面積知識時可以仿照長度的內容學習方法，對圓柱測量的教學過程安排可以聯系圓的測量并仿照長方體測量的教學過程。

在“長度的認識與測量”這部分內容中，教師首先提問學生如何向身邊的人描述物體的長度，學生會用不同的物體長度的數量來描述。教師要提示學生確定測量的標準，再向學生提問如何比較兩個物體的長度，這時教師引入單位長度這個概念，將物體的長度描述為單位長度的數量，這樣在進行長度比較時也只需要比較數量，不再需要通過確定“基準線”再進行觀察。最后給出兩個不同長度量級的事物，詢問學生是否用同樣的標準測量。在使用同一物體長度來數其包含的個數時，學生就會意識到為了比較連續量的大小，需要一定的單位；如果需要更準確地測量，就需要進一步細分單位。

仿照長度單元的教學過程，面積的認識與測量也可以圍繞度量單位的大小與個數展開。教師先在多媒體上展示一個長方形和一個三角形，且兩者的大小比較結果不能直接觀察得到，此時回到問題本質，提問學生“比較大小”如何描述。在引入面積概念的這一過程中，學生建立起度量的意識，通過度量來確定形狀所占空間的大小，而非直接用眼觀察。然后再確定單位面積的大小，詢問學生用何種度量單位，教師提供使用方格紙的思路，對圖形所占的小方格進行計數。學生會意識到這里同樣要統一度量衡，從而也需要使用規范的國際度量單位。在測量的過程中，教師可以引導學生歸納出面積公式。其后體積的測量與估計的課堂教學也是類似的環節與設計思想，如圖1所示，這里不再贅述。

圖1給出的教學路徑中包含了對于研究對象的認識、測量與度量單位的教學，可以分為多個課時進行。以培養量感為目標所涉及的度量問題的重點在于如何得出度量結果而非度量結果，因為結果只是一個沒有美感的數字，應在度量的過程中培養度量意識、掌握度量單位、總結度量策略，圖1給出的教學過程的主要環節與核心內容意在幾何圖形的度量中達到這一目標：一是將長度的學習過程遷移到面積，再遷移到體積，實現知識圍繞本質的縱向遷移；二是遷移的內容是在各主題中對于研究對象進行教學的整體性設計以及“割補法”這一數學思想方法的學習。

三、總結

培養學生量感的首要前提是教師要深刻理解量感的含義，深入研究新課標在核心素養中加入“量感”之后，與舊課標在教學內容要求上產生的差異。小學數學的教學內容較少，且有關度量的各主題章節之間有著數學思想方法的聯系，教師應當以其數學本質為主線，找到一種以培養量感為首要目標的教學模式。

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