新課標下初中生數學綜合能力的培養

容苗

【摘要】教師有意識地使課堂教學內容結合尺規作圖來滲透數學思想，從而使學生掌握數學畫圖能力并運用到幾何、函數的問題解決中，提升自身的數學綜合能力。

【關鍵詞】新課程標準；尺規作圖；初中數學；能力培養

尺規作圖是初中數學的重要教學內容之一，對于提高學生的數學能力有著難以取代的作用，《義務教育數學課程標準（2022年版）》也提高了尺規作圖的教學價值。尺規作圖是數學學習進階發展的基礎技能，把握好尺規作圖在教學學習中的應用能力，并與圖形的運動變換相聯系并靈活運用，使學生的數學核心素養得到有效提升。

一、尺規作圖能有效促進學生建模能力提升

建模能力是數學的核心素養之一，由于初中數學的抽象性強，導致學生掌握數學建模能力是很困難的。因此，在教學過程中教師要盡力激活學生自身已有的知識，拓寬學生思維的廣度，使其主動地將知識聯系起來，融會貫通。不提倡老師直接把模型給學生，而是老師要把這個模型的建模方法教授給學生，講解清楚其中的思維。學生再根據自己的理解自主動手解題，教師再適當引導學生，讓學生真正地理解和掌握其中的建模思維方法。

九年級一節復習課的課堂練習題：如圖1，平行四邊形ABCD中，∠B=50°，對角線AC⊥CD交于點C，點P在CD上，且DP=2PC，現將平行四邊形ABCD繞著點P順時針旋轉，旋轉角度為α（0°＜α＜180°），使點D正好落在△ACD邊上，那么α的度數是多少度？

筆者幫助學生回憶起了八年級曾經學過的軌跡的作圖方法，聯系到尺規作圖。學生抓住了題目的本質，把線段的旋轉歸結成已知等腰三角形一腰長，求作另一條腰，進而聯想到尺規作圖中取定長可用圓規，最后以P為圓心，以PD為半徑作圓（圖2），此時學生能夠主動地、有創造性地進行思維的關聯與知識的融合，積累學習經驗，建構新的知識。因而在初中高年級的教學中，教師要有意識地對幾何、函數與尺規作圖相關聯，讓學生從已有的尺規作圖知識與所學的幾何、函數知識進行有效的交互與體驗，建構出尺規作圖與幾何、函數相關聯的新知識體系。

二、尺規作圖能有效促進學生整體思維能力的發展

尺規作圖考查學生綜合運用知識的能力和整體思維能力，在小學的基礎上，學生在初中階段也要掌握一些的基本的尺規作圖能力，再深入理解一些幾何圖形的定義、性質、判定等，并熟練運用，利用幾何的一些特殊性質，結合尺規作圖，作出相應的幾何圖形，用幾何推理解釋每個操作步驟，學生只有理解了這些知識的應用，才能在遇到問題時融會貫通、靈活運用，從而充分發揮尺規作圖對學生幾何思維的促進作用，提升學生的綜合思維能力。

如圖3，已知P是⊙O外一點，用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線。要求：①用直尺和圓規作圖；②保留作圖的痕跡。此問題看似簡單，但學生課堂反饋的結果是尺規作圖完成很差。因此，教師應在教學過程中引導學生積累基本的作圖知識和圖形的性質，學生再就畫圖要求進行分析，很容易作出圖形。只要知道直徑所對的圓周角為直角及切線的性質即可完成（如圖4）。因此，學生只有將自己掌握課本上的相關知識，經過進一步的理解和消化，加深學生對尺規作圖的理解，在應用中不斷鞏固和深化，轉化成自己的知識和能力，把各種尺規作圖的基本圖形構成一個整體，注重數學知識與生活經驗的聯系，感受數學的整體性，才能提升自己數學的整體思維能力。

三、尺規作圖能有效促進學生的分類討論能力的提升

在幾何問題中，往往學生就是因為不能利用尺規作圖做出圖形或者做出所有可能的圖形，分類不完全而陷入到思維的瓶頸中無法完整地完成題目。數學分類思想，既是一種重要的數學思想，又是一種數學邏輯方法，就是能把復雜的問題簡單化的方法與思想，而在幾何題目中，特別是圖形運動問題中，能把問題簡單化的方法就是尺規作圖。

分類思想貫穿著整個初中數學的各個內容，因而老師在課堂教學中有意識地使課堂教學內容結合尺規作圖來滲透分類思想，如：∣a-2∣＝3在數軸上表示的點可以用圓規直觀的表示為以2為圓心3為半徑的圓與數軸的交點5與-1，讓學生感受到尺規作圖能直觀幫助我們解出復雜問題。

如：已知在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=（1/2）x+4的圖像分別與x軸、y軸相交于點A、B。直線經過點B且與x軸平行。

（1）求△AOB的面積；

（2）若點C在直線上l，且△AOB是等腰三角形，求點C的坐標；

（3）直線l上是否存在點D，使得△AOB是直角三角形？若存在，請直接寫出直線AD的表達式；否則，請說明理由。

圖像答案如圖5、圖6所示：

四、尺規作圖能有效促學生理性思辨能力的發展

在這個高度信息化的時代，尺規作圖的教學價值遠遠不只是讓學生學會作圖，而是有著很高的理性思維價值。教師在課堂教學中，可利用好尺規作圖，發展學生的思辨性。

如：七年級第二學期《14.4（1）全等三角形的判定》：“兩邊及其夾角相等（S.A.S）”證明兩個三角形全等方法的教學。

拓展遷移：①兩邊及其一邊的對角相等（S.S.A）可否證明兩個三角形全等？（讓學生思考、猜測、作圖驗證。）②教師使用電子白板演示：用尺規作圖構建反例，論證S.S.A在條件不充足的情況下不能證明兩個三角形全等。

在這道題的探究中，學生經歷了全等三角形S.A.S的證明方法后，再讓學生自己思考，猜測、作圖驗證，隨后教師進行演示，直觀而且清晰，更具有說服力。充分體現了尺規作圖的價值，有效地提高了學生的思辨能力。課堂教學中，教師應抓住幾何證明中的問題，讓學生思考并利用尺規作圖，經歷“猜測—驗證—否定—再猜測—再驗證”的思維過程，體會尺規作圖蘊含巨大的思辨性。

五、尺規作圖能有效促進學生邏輯推理能力的提升

尺規作圖在促進學生的數學邏輯推理方面有很大的作用，因此，在數學課堂上，教師要把在尺規作圖的過程中所蘊含的數學思維、方法進行有針對性地歸納，讓其形成結構性和系統性，從而更好地培養學生的邏輯推理能力。

如：兩條互相平行的直線i，m，點A、點B分別在直線i，m上運動，利用尺規作圖畫出等邊△ABC，探究點C的運動規律。在數學課堂教學過程中，當老師利用尺規作圖先在直線m上確定B1，B2，B3三個點的位置，然后再確定C1，C2，C3三個點的位置，再根據點C1，C2，C3的位置，學生通過幾何直觀去判斷點C的運動規律，發現C1，C2，C3的位置在同一條直線上。學生可以通過幾何推理來驗證上述的猜想，首先將等邊三角形△AB2C2忽略，將問題轉化為是由△AB1C1旋轉得到△AB3C3的問題，連接C1C3，易證明△AB1B3≌△AC1C3與∠AB3B1=∠AC3C1，進而可以證明直線C1C3與直線m的夾角是60°。同理，若忽略等邊三角形AB3C3的存在，也可以證明直線C1C2與直線m的夾角是60°。所以點C1，C2，C3共線，點C的運動軌跡即為直線C1C3（如圖7）。

六、尺規作圖能有效促進學生發散思維能力的提升

在數學課堂教學中，發散思維能力的訓練尤為關鍵。而運用尺規解題時，所運用的知識通常是綜合性的，這就要求教師在課堂教學中，要學會用問題解惑、解惑問題、問題多樣等形式的問題為載體，在運用尺規作圖解決問題的過程中培養學生的發散思維能力。

如：用尺規作圖作∠O的角平分線。方法1：以O為圓心，任意長度為半徑畫圓弧，交角兩邊于A、B兩點，再分別以A、B為圓心，大于AB/2長度為半徑畫圓弧，兩圓弧交于C點，作射線OC即為角平分線（如圖8）。當學生完成第一種方法畫圖后，此時教師從不同的思維角度來引導學生再進一步分析、思考，從而再得出兩種尺規作圖方法，方法2：利用圓規在角兩邊上分別截取線段OA、OB和OM、ON，且使得OA=OB，OM=ON，連接AN、BM，相交于點C，作射線OC即為角平分線（如圖9）。方法3：以頂點O為圓心，任意長度為半徑畫圓弧，分別交角兩邊于A、B兩點，再分別過A、B作角兩條邊OA和OB的垂線，兩條垂線相交于點C，作射線OC即為角平分線（如圖10）。通過對這一道題目的探究，學生關于利用尺規作多種圖形、幾何相關性質的理解更加透徹，運用更加自如，學生的數學發散思維也得到提升。

總之，尺規作圖在數學教學中能開闊學生的思維，其重要性不言而喻，只要老師能夠在日常教學中對學生尺規作圖的能力善加培養，使尺規作圖教學充分發揮它的有效性，將會對學生數學能力的全面提升有著不可估量的幫助。

【參考文獻】

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