關注過程 落實素養

黃丹

［摘? 要］ 概念教學在數學教學中的意義和作用是不言而喻的，其是培養學生數學核心素養的重要載體. 在概念教學中，教師應從教學實際出發，基于“三個理解”創設問題情境，以此誘發學生的數學思考，讓學生掌握數學本質，發展學生的數學核心素養，提高教學有效性.

［關鍵詞］ 概念教學；核心素養；問題情境

在概念教學中，部分教師為了追求效率往往將概念直接講授給學生，讓學生強行記憶，然后加上大量練習讓學生理解概念，這樣的概念教學難以呈現學生的思維過程，不利于學生理解概念的本質. 因此，在概念教學中，教師應帶領學生經歷概念生成和發展的過程，以此深化對概念的理解，發展學生的數學思維，提高學生的自主學習能力. 本文以“拋物線及其標準方程”一課為例，談幾點筆者對概念教學的認識，若有不妥請指正.

教學過程

1. 創設情境，引入概念

為了淡化概念的抽象感，教師有必要創設一些問題情境讓學生去觀察和感悟，以此讓數學概念教學變得更加自然、主動.

師：觀察以下圖片，你想到了什么？（教師用PPT展示噴泉、投擲鉛球等圖片）

生齊聲答：二次函數圖象.

師：很好. 它也是拋物線.

師：現旋轉二次函數圖象，此時所得到的拋物線是否為二次函數圖象呢？

生1：不是，二次函數圖象只能是開口向上或者開口向下的，若拋物線旋轉后開口不再向上或向下，則不是二次函數圖象.

師：說得很有道理，那么到底什么是拋物線呢？

設計意圖 借助“旋轉”引導學生對比“二次函數圖象”和“拋物線”，誘發學生思考何為拋物線，以此激發學生探索拋物線概念的熱情.

師：小白兔非常向往自由自在的生活，于是它離開家，來到了一片危機四伏的草地，小白兔安家在圖1右側的洞穴里. 發生危險時，小白兔共有兩個逃生方案，一個是回到右側的洞穴里，一個是躲避到左側的樹林里. 一天，小白兔在圖1所示的位置獨自享用肥美的青草，當危險發生時，小白兔應如何選擇逃跑路線呢？請你在草地上作一條邊界，使得小白兔可以根據“就近避險”的原則選擇最佳逃跑路線.

（教師預留時間讓學生畫一畫，很快有了結果）

師：說一說，邊界上的點滿足什么條件？

生2：到樹林和洞穴的距離相等.

師：很好，你能將其轉化為一個數學問題嗎？

生3：將樹林邊界視為定直線，洞穴視為定點，這樣可以將原問題轉化為到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡問題.

師：很好！值得注意的是，這個定點在直線外.

設計意圖 該圖片源于動畫，具有較強的趣味性，拉近了學生與數學的距離. 在教學中，教師引導學生用數學的眼光觀察、發現問題，使得拋物線概念的生成更加自然. 以上通過動手畫、用眼看、用心悟等過程有效提高了學生的數學抽象、數學建模、數學分析等能力和素養.

在以上環節中，教師首先借助生活情境讓學生直觀感知拋物線，了解拋物線的幾何背景；接下來引導學生對比拋物線與二次函數圖象，引導學生關注拋物線的本質；最后通過小白兔“就近避險”引入概念. 以上環節看似毫無關聯，實則環環相扣，使得拋物線概念的生成更加自然，為后面的探究活動提供了情感支持和知識保障. 可見，以上教學情境的設計是合理的、科學的，有助于提高課堂教學效率.

2. 操作探究，建構概念

師：現在我們將定直線記作l，定點記作F，請大家動手畫一畫，找出一些滿足條件的點，這些點的軌跡會是什么形狀呢？

問題給出后，學生積極操作，幾分鐘后教師組織學生互動交流.

師：說一說你是怎么畫的.

生4：這個太難找了，我只能精確地找到一個點，就是點F到l的垂線段的中點，其他點就是憑著感覺畫的.

師：確實有點難度，現在我們一起來做一個實驗. 請大家拿出課前準備的實驗工具：直尺、直角三角板、細線、鉛筆、書釘.

師：現在我說你們做，請四人一組共同完成. 如圖2所示，把直尺固定在畫板上，將其視為定直線l，沿直尺的邊緣放置一塊直角三角板，直角三角板的一個頂點記作點A，在直角三角板外取一點F.

師：以上步驟大家完成了嗎？（學生點頭表示完成）

師：很好，現在我們的細線要登場了. 將細線的一端固定在頂點A處，另一端固定在F處（注意：細線的長與MA所在的直角邊的長相等）. 用鉛筆筆尖（點M）拉緊細線，使點M靠住直角三角板的直角邊. 根據這一步操作，你發現了什么？

生5：點M到點F的距離與點M到直線l的距離相等，點M在軌跡上.

師：現在將直角三角板垂直向下移動，用筆尖描出一段軌跡.

（學生積極操作，很快畫出了一段軌跡）

師：你在操作中遇到了什么問題？

生6：當直角三角板的直角邊剛好過點F時，不太好操作了.

師：那你是怎么處理的呢？

生6：將直角三角板往下翻，繼續畫軌跡.

師：處理得非常好，真聰明！根據以上操作步驟，這兩段軌跡有什么關系嗎？

生7：對稱，其對稱軸為過點F且與直線l垂直的直線.

設計意圖 通過具體操作讓學生體驗畫拋物線的過程，發現軌跡的軸對稱特征，體驗數學研究樂趣，收獲成功的喜悅.

師：你們想不想看一下剛才的實驗過程？（教師用GeoGebra動畫展示作圖過程，見圖3）

設計意圖 讓學生更加直觀地、精準地觀察點M的運動軌跡，為接下來的概念抽象做好充分準備.

師：如果將這條曲線順時針旋轉90°，它像什么呢？

生齊聲答：開口向下的拋物線.

師：結合剛才的作圖過程，你能給拋物線下個定義嗎？

學生經過思考、交流，給出了拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線l（l不過F）的距離相等的點的集合. 接下來教師用集合符號進一步加以描述，并讓學生認識到拋物線的焦點和準線.

設計意圖 通過合作實驗和動畫演示，學生發現了拋物線的幾個幾何特征，為概念抽象做好了充分準備. 在具體教學中，教師將主動權交給學生，引導學生結合具體操作和已有經驗抽象概括拋物線的定義. 學生用文字語言給拋物線下定義后，教師又用集合符號予以表征，以此深化學生對拋物線概念的理解，提升學生的數學抽象和數學直觀素養.

師：若直線l經過點F，那么平面內到定點F和到定直線l的距離相等的點的軌跡會是什么呢？還是拋物線嗎？

生8：不是，該點的軌跡應該是過點F且與直線l垂直的直線.

師：很好，經過以上分析，你知道了什么？

生8：應用拋物線概念時，不能忽視“l不經過點F”這一關鍵條件.

設計意圖 借助反例讓學生明晰、理解、完善拋物線的概念，實現拋物線概念的內化.

師：觀察圖4，你有什么發現？請用數學語言加以描述.

生9：圖4表示過定點F且與定直線l相切的動圓的圓心軌跡，該軌跡為拋物線.

設計意圖 由動點（各圓圓心）到定直線和到定點的距離相等，易于聯想到拋物線的定義，這樣借助具體應用進一步深化學生對集合｛MMF=d｝表示的曲線特征的理解.

3. 選軸建系，求得方程

師：理解并掌握了拋物線的概念，接下來我們該研究什么內容呢？

生齊聲答：拋物線的標準方程.

師：很好，結合橢圓和雙曲線標準方程的探究經驗，說一說求曲線方程的一般步驟是什么.

生10：一般分為五步，分別為建系、設點、列式、化簡、證明.

師：對于拋物線，如何建系可以使方程更簡潔呢？由于焦點F到準線l的距離為定值，設定值為p（p>0），則KF=p（K為垂足）.

（學生沉思）

生11：根據以前學習橢圓的經驗，我認為以曲線的對稱軸為坐標軸建系應該更簡潔. 結合前面的概念實驗過程可知，拋物線關于KF對稱，可以將其作為x軸.

師：不錯的想法. 那么y軸如何確定呢？（教師引導學生討論、交流）

幾分鐘后，學生給出了如下三種方案.

方案1：以直線l為y軸（見圖5）.

方案2：以線段KF的垂直平分線為y軸（見圖6）.

方案3：以過點F且垂直于直線KF的直線為y軸（見圖7）.

師：很好，你們能求出它們所對應的曲線方程嗎？

為了提高教學效率，教師將學生分成三組進行探究，每組探究一個方案，然后交流展示. 對于以上三種方案，所求出的拋物線方程分別為y2=2px－p2（p>0），y2=2px（p>0），y2=2px+p2（p>0）.

師：思考一下，以上三個結果是否都正確呢？

（學生交流意見后確定以上結果都是正確的，只是因為建系的方法不同，最終推導出來的拋物線方程也不同）

師：對于以上三種方案，你認為哪種方案最簡潔、最方便呢？

生齊聲答：方案2.

師：很好，y2=2px（p>0）這個拋物線方程最簡潔，我們將其稱為拋物線的標準方程.

設計意圖 引導學生利用之前學習橢圓和雙曲線的經驗，回顧研究曲線方程的一般步驟和一般方法，提高學生的自主學習能力. 在探究過程中，教師沒有急于講授，而是預留充足的時間讓學生通過獨立思考和合作交流建立坐標系. 建系后，教師沒有直接評價優劣，而是引導學生分組探究不同建系方案所對應的標準方程，以此通過結果進行對比，確定最優方案. 在傳統教學中，大多數教師都以教材為出發點，根據教材給出的方案建系，這樣學生雖然能夠理解和掌握，但是學生知其然而不知所以然. 因此，在實際教學中，教師應鼓勵學生進行多角度分析和探究，讓學生理解將y2=2px（p>0）作為拋物線標準方程的根本原因.

4. 思考交流，深化理解

師：拋物線的開口方向除了向右以外，是否還有其他形式呢？此時的焦點坐標和準線方程又是什么呢？請以小組為單位進行探討，并完成表1.

設計意圖 通過思考、交流、整理（對比分析）讓學生理解和掌握拋物線標準方程的另外三種形式，這不僅有助于學生建構系統化知識，培養和提升學生的類比推理能力和知識遷移能力，還有助于學生核心素養的落實.

師：在學習橢圓及雙曲線時我們知道，若參數不同其形狀也會有所不同. 你認為影響拋物線開口大小的參數會是什么呢？

生12：拋物線的標準方程y2=2px（p>0）中僅有唯一的參數p，所以影響拋物線形狀的應該是參數p.

師：它是如何影響拋物線形狀的呢？

設計意圖 問題給出后，學生通過代值法感受參數p對拋物線形狀的影響. 為了便于學生直觀感受這種變化關系，教師用GeoGebra動畫演示：當參數p的值變?。ù螅?，拋物線的開口也變?。ù螅?，當參數p等于0時，其軌跡為一條直線.

經歷以上過程，學生理解并掌握了拋物線的概念及其標準方程，接下來通過例題解析，讓學生進一步鞏固概念.

教學思考

概念教學是數學教學的核心，因此教師應重視概念教學，關注概念生成的過程，以此讓學生更好地理解知識、應用知識，落實學生的數學核心素養. 結合以上教學過程，筆者談幾點心得體會：

（1）重視創設合適的問題情境.在教學中，教師應為學生提供一個自由的、平等的探究環境，引導學生用數學的眼光去發現和解決問題，以此加快數學化進程，培養學生的數學素養. 例如，在概念引入階段，教師設計了多個教學情境，既拉近了學生與數學的距離，又培養了學生直觀想象和數學抽象等素養.

（2）關注概念的生成過程.在概念教學中，若僅引導學生從文字語言上理解概念，這樣的概念教學是淺顯的，難以突出概念的本質屬性，這將影響學生提升知識遷移能力，限制學生發展思維能力. 因此，教師應帶領學生經歷概念生成的過程，以此讓學生掌握概念本質，使學生學懂會用.

（3）善于應用信息技術.隨著時代的進步，信息技術為教學帶來了巨大便利，教師應充分發揮多媒體直觀便捷、資源豐富的優勢，以此讓學生更好地理解知識，加深對概念本質的理解.

總之，教師要重視概念教學，多引導學生經歷概念生成和發展的過程，通過教學資源的優化和整合，提高概念教學的有效性，落實學生的數學核心素養.