讓數學思想方法根植于數學課堂

【摘 要】注重以深刻的思想啟迪學生是數學教師的一項重要責任。在高中數學課堂教學中深入揭示數學思想方法，是發展學生核心素養的需要，是促進學生理性思維生長的高級樣態，也是學生關鍵能力獲得的主要通道。根植思想方法于課堂，要加強數學教材的閱讀和知識之間關聯的梳理，科學提煉并合理篩選隱藏在知識背后的數學思想方法；要通過情境創設，啟發學生探尋數學思想方法；通過課堂討論，點撥學生感悟數學思想方法；通過整理概括，引領學生內化數學思想方法；通過問題解決，助力學生活用思想方法。

【關鍵詞】高中數學課堂教學；數學思想方法；核心素養；教學設計；教學策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）37-0015-05

【作者簡介】段志貴，鹽城師范學院（江蘇鹽城，224002）數學與統計學院教授，南京師范大學、青海師范大學兼職碩士生導師。

如果說“用詩意的語言感染學生”是語文教學應當努力實現的境界，那么，數學教師的重要責任就是“以深刻的思想啟迪學生”。［1］幫助學生感悟、理解并在真實問題解決中自覺地運用數學思想方法，已成為新時期發展學生核心素養的基本要求；加強數學思想方法的教學滲透，讓思想方法根植于數學課堂教學是我們優化數學教學的永恒追求。

一、揭示數學思想方法是發展學生核心素養的需要

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）明確提出教學要從學情出發，加強以培養學生數學核心素養為指向的數學思想方法的滲透。在數學教學中加強學生的核心素養培養，一般說來重在兩個方面，一是發展學生的理性思維，二是培養學生的關鍵能力，而發展思維和培養能力又都依賴于數學思想方法的學習理解和靈活運用。

（一）數學思想方法是學生理性思維生長的高級樣態

數學是思維創造的產物，數學活動則是思維創造的活動，因此學習數學重在學習思維和思維再創造。從高階思維的角度看，數學思想方法指的是闡述數學發生發展規律和內在邏輯本質的思維活動。它是人們對現實世界數量關系和空間形式本質的、抽象的、概括的理性認識產物，是構建和整合各類數學知識有機聯系的“黏合劑”。它屬于理性知識，但又高于通常所說的理性知識；它作為一種高層次的思維形式，是抽象的，但又不失形象性內涵；它讓思維更精準地表達，更通透地展示。

滲透數學思想方法的教學是培養和發展學生理性思維的有效途徑。與初中生大多處于經驗性思維階段不同，高中生的思維已具有初步的理論化特征，能夠運用基本的理論來分析、綜合材料，建立起基本的辯證思維。高中生這一思維特點也為在高中數學教學中加強數學思想方法的滲透奠定了基礎。在數學教學活動過程中，我們可以根據需要選擇適切的時間或場景，啟發學生加強對現實世界的觀察與思考，引領他們通過分析與比較、綜合與概括以及判斷與推理，準確而有條理地表達自己的思想，掌握必備的數學思想方法，并通過數學思想方法的學習感悟，不斷提升思維的合理性、條理性、靈活性、敏捷性和創造性。

（二）數學思想方法是學生關鍵能力獲得的主要通道

數學教學培養學生的核心素養，其中很重要的一項是發展學生的關鍵能力。所謂關鍵能力，即是支撐終身發展和適應時代要求的能力。它是發展學科素養、培育核心價值所必須具備的能力基礎。［2］客觀地說，數學學科關鍵能力的形成，外顯性知識是主要來源，但數學思想方法等潛在的知識或思維方式也是數學學科關鍵能力形成不可或缺的資源，它們深刻地影響著學生關鍵能力的形成和發展。

數學思想方法是人們認識世界、改造世界的概念框架。理解數學思想，就能在一個更高的層面上整體地審視基礎知識的發生與發展，厘清知識的網絡結構及其本質要素；掌握數學方法，就能從技能技巧訓練升華為對通性通法的深刻體悟［3］，不斷提升解決真實問題的能力，從而形成適應新時代社會發展需求的核心素養。

二、提煉數學思想方法是課堂教學設計的重要內容

為在教學中把數學思想方法的滲透落到實處，教師首先就要在教學設計上下功夫。教師應基于不同的教學內容，科學提煉并合理篩選隱藏在知識背后的數學思想方法。

（一）要注重數學教材的閱讀，提煉數學思想方法

教材是開展教學設計的“根據地”。教材中幾乎每一個數學知識板塊都有著比較豐富的發生、發展史，其背后蘊藏著許多深刻的數學思想方法。研讀高中數學教材，我們不難發現，某一特定教學內容可能同時蘊含幾種不同的數學思想方法。例如“任意角”的教學，從內容上看有正角、負角和零角，相關的還有象限角，貫穿其中的就有類比思想、特殊到一般思想、轉化與化歸思想等。同一種數學思想方法也可能分布于不同學段、不同章節或不同的知識模塊之中。以“類比思想”為例，高、初中三角函數定義可以類比，立體幾何與平面幾何可以類比，等比數列與等差數列可以類比，還有雙曲線與橢圓類比，計數原理中的分類和分步類比等。

教師應注重閱讀教材的教學設計，不依靠新奇的情境吸引學生眼球，而是通過對教材編寫意圖的揣摩與理解，把教學內容放置于大單元的教學之中整體建構，突顯思想方法的靈魂作用。數學教學不只是結論性知識的傳授，更重要的是要讓學生掌握其中的思想方法，比如數形結合、分類討論、特殊化、一般化、化歸、類比、歸納等思想方法。因此閱讀教材不能只讀概念、公式和定理，不能只解例題，而是要找出隱藏其中的數學思想方法。數學思想方法常常蘊涵在基礎知識及其發生發展的過程之中，需要跨段落仔細品味或深度解讀，才能明白其中的道理。教師在鉆研教材、編制教學目標時，一定要把隱性的思想方法挖掘出來，使其化“隱”為“顯”，有機地滲透在教學過程之中。以蘇教版高中數學教材必修一“三角函數的圖象與性質”的教學為例，可以緊扣數形結合思想把教學設計為相互銜接的三個階段：第一個階段，通過回顧揭示函數性質的研究方法，幫助學生理解知識之間的關聯，感悟數形結合思想的本質；第二個階段，直觀展示正弦函數圖象的生成過程，通過問題串的形式層層深入，引領學生抽象概括出正弦函數性質，使得學生對“形”的認識進一步轉變到對“數”的挖掘；第三個階段，可以采用合作探究等方式深化對正弦函數性質的理解，并基于類比獲得余弦函數的性質，深化對數形結合思想的理解。

（二）要梳理知識之間的關聯，篩選數學思想方法

數學思想方法的篩選服務于核心素養的培養，服從于數學學科知識體系的建構過程。整個高中數學是基礎知識、基本技能、基本數學思想方法和基本活動經驗的和諧統一體。數學思想方法是數學知識、數學技能在更高層次上的抽象、概括與提煉，它蘊含在數學知識技能發生、發展和應用的過程中。為從教學內容中甄別和優選出課堂教學需要滲透并且能夠讓學生掌握的思想方法，教師課前必須理清知識之間的關聯，尤其是，要把課堂知識傳授的“明線”理順，輔以思想方法滲透“暗線”的設計，讓明、暗兩條線相輔相成，相得益彰。

大單元數學內容的整合，或者不同模塊甚至跨學科間知識關聯的梳理，本質上就是知識結構體系的構建。它可以幫助學生更好地理清數學本質，也能更易抓住問題解決的關鍵點，還能給學生提供培養數學抽象與概括能力的機會，深化對數學思想方法的認識和理解。事實上，從中凝練篩選出來的數學思想方法具有統攝相關知識點及其結構體系的功能，有助于學生提升對問題的認識高度以及問題解決的廣闊視野。以蘇教版必修二第十章“兩角和與差的余弦”的教學為例，教師可以把這一單元的相關知識結構化，將化歸思想、“算兩次”思想以及基本的數學發現方法加以整合進行教學設計，一是串聯向量數量積運算法則和兩點間距離公式，突出“算兩次”在兩角差余弦公式推導過程中的引領作用；二是通過余弦的差角公式推導余弦、正弦和角公式，加強化歸思想在三角變換中的滲透；三是啟發學生用余弦的和（差）角公式解決簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明問題，學會觀察與分析，掌握基本的數學發現方法。［4］

三、滲透數學思想方法是提高課堂教學活力的主線

數學思想方法的滲透是提高數學課堂教學活力的主線。一般說來，數學思想方法產生于對焦點問題的思考之中，發展于對相關問題的研討之中，成熟于對數學活動的反思和總結之中，鞏固于蘊含同一數學思想方法的問題解決及訓練之中。由此，注重知識傳授與思想方法滲透“明”“暗”兩條線的有機融合，把數學思想方法教學真正落到實處。

（一）通過情境創設，啟發學生探尋數學思想方法

通過創設問題情境引領學習，不僅能生動具體地反映知識建構過程，也能充分展示理性思維的特點，同時更能幫助學生形成大概念，建構大目標，加深對真實問題更宏觀、更具概括性的認知，促進其對數學思想方法的認識和理解。因此，數學教學一定要注重揭示相關概念或公式、定理產生的實際背景及其發展的來龍去脈，從中加強與學生已有經驗建立有價值的實質性聯系，以此幫助學生感悟、領會直至內化為自覺的思想方法意識。在具體情境的創設上，教師要依據問題解決的難點恰當地引發認知沖突，激發學生對思想或方法探究的欲望。具體來說，可以采用有梯度和效度的問題進行導入，使探究思路和過程自然、清晰，努力把學生對真實問題的觀察、思考及其對問題本質的理解，上升到培養合乎邏輯的推理意識和思維品質上來，促進他們對蘊涵其中的數學思想方法的理解和感悟。

以蘇教版必修一第五章“函數的單調性”一節的教學為例，在開始階段，教師不妨以當地某天的氣溫變化圖為實例來創設情境，引領學生通過觀察氣溫隨時間變化圖，形成對“單調遞增”“單調遞減”的直觀理解，并能基于數學思維進行思考，利用數學語言表達氣溫變化規律。［5］教學中通過數形結合思想的滲透，既能讓學生感受到數學來源于生活，又能幫助學生突破對函數單調性嚴格界定認知上的困難，為后續相關內容的符號化、形式化學習奠定基礎。

（二）通過課堂研討，點撥學生感悟數學思想方法

新課標強調知識的形成性生長，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，注重課堂教學對問題的研討過程，著意培養學生搜集和處理信息的能力，逐漸發現和理解知識中蘊含的數學思想和方法。

課堂教學研討既有生長性和針對性特點，也能使數學教學過程更深刻地體現數學思想方法“再創造”的特點。以蘇教版必修一第七章“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學為例，教師可以從三角函數與一般函數的異同點入手，組織學生研討二次函數圖象變換規律。在此基礎上進行類比遷移，引導學生在交流討論中探索函數y=Asin（ωx+φ）圖象變換規律。在不同類型的三角函數圖象變換的探究中，滲透分而治之、各個擊破的分解策略，幫助學生認識函數y=Asin（ωx+φ）圖象變換的本質特征，使學生在深入思考和互動交流中獲得對數形結合、類比、特殊化、一般化以及演繹推理、合情推理等思想方法的經歷體驗和深度理解。

（三）通過整理概括，引領學生內化數學思想方法

每節課、每個單元教學結束都應有總結環節，甚至有的教學內容還需要安排專門的復習課進行總結。一般說來，小結除了對知識點進行梳理外，最重要的一項工作就是有目的、有意識、有重點地對教學內容中蘊含的數學思想方法作系統性、結構化的概括和整理。

課堂教學中，概括數學思想方法一般可有兩種教學方式。一是“生成式”，通過知識講解，生成數學思想方法的內容、規律，即將數學對象共同屬性或關系漸次抽取出來；二是“強化式”，把數學思想方法與知識間聯系貫穿教學始終，即將闡明表達出來的共性（思想方法）逐步推廣到同類的全部對象上去，從而實現從個別特殊化的感知與體驗上升到一般性意義上的理性認識或符號表示。以蘇教版選擇性必修一的“直線與方程”的復習課教學為例，教師可以設計“以數學思想串聯知識體系”的教學。一方面，以復習總結知識點為主線，滲透數學抽象化結構思想——串聯研究對象（直線）、基本性質（相關角、點、位置關系、距離等）、研究結論及其應用，引領學生通過知識梳理，感悟數學研究的內在規律，體會數學的抽象化結構思想。另一方面，加強數與形的有機結合，滲透數形結合思想——用二元一次方程表示直線、利用方程研究與直線有關性質、通過數與形的結合解決相應問題。顯然，后一種教學是在不斷強化數形結合思想的滲透和應用，讓學生在學習體驗中不斷獲得檢驗，逐步加深理解。

（四）通過問題解決，助力學生活用數學思想方法

基于問題解決的教學，本質上就是在已知條件與待求結論之間實現聯結，據此不斷變換、逐步逼近并最終得以“無縫銜接”的過程。在這其中，數學思想方法居于支配地位，是問題解決的觀念性成果。它引領著問題解決，并貫穿于數學問題解決的全過程。不妨以2021年高考數學浙江卷第17題的教學為例加以說明。

已知平面向量a，b，c（c≠0）滿足｜a｜=1，｜b｜=2，a·b=0，（a-b）·c=0，記平面向量d在a、b方向上的投影分別為x、y，d-a在c方向上的投影為z，求x2+y2+z2的最小值。

設計本題教學，教師一方面可以利用向量的幾何特征，引導學生根據向量運算法則和向量投影作圖分析，把問題所給條件在數與形之間進行自然轉化，讓學生從中感悟數形結合的思想；另一方面，可以將已知條件代數化，再局部放縮消元，轉化為關于x的二次函數輕松得解，讓學生體會化歸的思想；再一方面，可以基于已知條件，引領學生利用整體思想，直接套用柯西不等式，化繁為簡，快速求解。

任何陌生問題的解決，或許都需要嘗試以及嘗試過后的經驗作為輔助。然而嘗試和經驗只能算是技巧，只有高屋建瓴的思想方法才能讓我們找到問題解決的突破口。有經驗的教師指導學生解題，不會停留在某一具體題目上，也不會限于一招一式，而會通過一道例題的講解，讓學生收獲一類問題的解法，即掌握問題解決的通性通法。這些通性通法，就是對問題本質的認識，是對問題解決內在規律性的把握。它們不僅是解題方法，更是貫穿于問題解決過程中的理性思維。它們是數學思想方法的呈現方式與具體表征，理應活學活用。

數學思想方法根植于數學課堂是教學內在規律的體現，更是新時代培養學生理性思維、發展學生核心素養的需要。誠如物理學家愛因斯坦所說，教育是一個人忘光學校所學的一切之后剩下的東西。數學思想方法正是數學教學需要留下的、讓每個人銘記于心的好東西。而當下讓數學思想方法根植于課堂教學，正是這樣一件富有意義、值得追求的創造性工作。

【參考文獻】

［1］鄭毓信.“數學深度教學”的理論與實踐［J］.數學教育學報，2019，28（5）：24-32.

［2］教育部考試中心.中國高考評價體系說明（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］喻平.核心素養指向的數學教學目標設計［J］.數學通報，2021，60（11）：1-5，13.

［4］曾榮.教學設計：兩角和與差的余弦——“算兩次”思想引領下的探究式教學［J］.數學通訊，2010（12）：11-12.

［5］段志貴，張雯.也談高中數學形式化及其教學［J］.數學教育學報，2022，31（6）：60-64，92.