矩陣的Kronecker積的性質

李 俊, 戴星宇, 宋伊萍

(國防科技大學 理學院,長沙 410072)

0 引 言

矩陣的Kronecker積是矩陣的一種重要乘積,在信號處理、隨機過程向量分析、群論、數值分析等領域中都有著廣泛應用. 大部分教材中除了會介紹Kronecker積的基本性質外,還會給出Kronecker積的特征值、特征向量、秩、跡和行列式等重要結果[1-2],但是對于Kronecker積的Jordan標準形、最小多項式、范數和分解等內容基本沒有介紹,文獻[3]中給出了Kronecker積的幾個范數公式,文獻[4]通過行列式因子法給出Kronecker積的Jordan標準形,文獻[5]通過分析Jordan塊的冪的秩的變化規律給出Kronecker積的Jordan標準形. 本文通過初等變換法給出Kronecker積的Jordan標準形的一種新的證明方法,進而給出關于Kronecker積的Jordan標準形、最小多項式、范數和分解的相關結果.

1 預備知識

先約定文中的記號:A?B表示矩陣A和B的Kronecker積,En表示n階的單位矩陣,Jr1(λ1)表示λ1對應的r1階Jordan塊,JA表示矩陣A的Jordan標準形,di(λ)表示相應矩陣的第i個不變因子,Di(λ)表示相應矩陣的第i階行列式因子.除特殊聲明外,本文所考慮的矩陣都是方陣.

引理1[2,5]若A和B分別是下三角矩陣、單位下三角矩陣、上三角矩陣、單位上三角矩陣、對角矩陣、酉矩陣、行滿秩矩陣、列滿秩矩陣、Hermite正定矩陣、Hermite半正定矩陣,則A?B也是下三角矩陣、單位下三角矩陣、上三角矩陣、單位上三角矩陣、對角矩陣、酉矩陣、行滿秩矩陣、列滿秩矩陣、Hermite正定矩陣、Hermite半正定矩陣.

引理2假設λ1,μ1∈,且λ1μ1≠0,r1,t1都是正整數.若r1≥t1,則λ矩陣(λEt1-λ1Jt1(μ1))r1的不變因子為

d1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,d2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3,…,

dk(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+2k-1, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

若r1

d1(λ)=…=dt1-r1(λ)=1,dt1-r1+1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,

dt1-r1+2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

由矩陣Cr1的元素排列的規律可知,隨著列數增加每一列的非零元素對應的因式λ-λ1μ1的次數減少,隨著行數減少每一行的非零元素對應的因式λ-λ1μ1的次數減少,因此Cr1的k階非零子式中因式λ-λ1μ1的次數至少是k(r1-t1+k),即矩陣Cr1的k階行列式因子實質上是由該矩陣中取第1,2,…,k行和第t1-k+1,t1-k+2,…,t1列的非零k階子式來確定,進而由行列式因子的定義知

D1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,D2(λ)=(λ-λ1μ1)2(r1-t1+2),…,

Dk(λ)=(λ-λ1μ1)k(r1-t1+k), …,Dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1t1.

令d1(λ),d2(λ),…,dt1(λ)表示(λEt1-λ1Jt1(μ1))r1的不變因子,則

Dk(λ)=d1(λ)d2(λ)…dk(λ),k=1,2,…,t1.

因此λ矩陣(λEt1-λ1Jt1(μ1))r1的不變因子為

d1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,d2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3,…,

dk(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+2k-1, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

若r1

Dt1-r1(λ)=1,Dt1-r1+1(λ)=(λ-λ1μ1)t1-r1+1,…,

Dt1-k(λ)=(λ-λ1μ1)(t1-k)(r1-k), …,Dt1(λ)=(λ-λ1μ1)t1r1.

因此λ矩陣Cr1的不變因子為

d1(λ)=…=dt1-r1(λ)=1,dt1-r1+1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,

dt1-r1+2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3, …,dt1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1.

解對λ矩陣C進行初等變換

因此λ矩陣C的不變因子為d1(λ)=1,d2(λ)=(λ-6)2,d3(λ)=(λ-6)4.

因此λ矩陣F的不變因子為d1(λ)=λ-6,d2(λ)=(λ-6)3,d3(λ)=(λ-6)5.

2 Kronecker積的Jordan標準形

關于矩陣A和B的Kronecker積A?B的Jordan標準形,有如下結果.

定理1設矩陣A和B的Jordan標準形分別為

JA=diag(Jr1(λ1),Jr2(λ2),…,Jrs(λs)),

JB=diag(Jt1(μ1),Jt2(μ2),…,Jtk(μk)),

則A?B的Jordan標準形是由Jri(λi)?Jtj(μj),1≤i≤s,1≤j≤k對應的Jordan塊構成.

證因為JA?B～A?B,A?B～JA?JB,所以JA?B～JA?JB.因此JA?JB的Jordan標準形也是A?B的Jordan標準形.由于

而

是分塊對角矩陣,因此只需要確定每一塊的Jordan標準形,就可以得到A?B的Jordan標準形.因此A?B的Jordan標準形是由Jri(λi)?Jtj(μj)對應的Jordan塊構成,1≤i≤s,1≤j≤k.

下面給出兩個Jordan塊的Kronecker積的Jordan標準形.

定理2[4-5]設A=Jr1(λ1),B=Jt1(μ1),令r=max{r1,t1},t=min{r1,t1}.

(i) 若λ1μ1≠0,則A?B的Jordan標準形是從Jr-t+1(λ1μ1)開始階數依次增加2的t個Jordan塊構成,即

JA?B=diag(Jr-t+1(λ1μ1),Jr-t+3(λ1μ1),…,Jr+t-1(λ1μ1));

(ii) 若λ1≠0,μ1=0,則A?B的Jordan標準形是由r1個Jordan塊Jt1(0)構成,即

JA?B=diag(Jt1(0),Jt1(0),…,Jt1(0));

(iii) 若λ1=0,μ1≠0,則A?B的Jordan標準形是由t1個Jordan塊Jr1(0)構成,即

JA?B=diag(Jr1(0),Jr1(0),…,Jr1(0));

(iv) 若λ1=μ1=0,則A?B的Jordan標準形是由2個1階Jordan塊J1(0),2個2階 的Jordan塊J2(0),…,2個t-1階的 Jordan塊Jt-1(0),r-t+1個t階的Jordan塊Jt(0)構成,即

JA?B=diag(J1(0),J1(0),…,Jt-1(0),Jt-1(0),Jt(0),…,Jt(0)).

(i) 由于λ1μ1≠0,令C=λEt1-λ1Jt1(μ1),則對λE-A?B進行一系列初等變換

由引理2知,λE-A?B的不變因子為

d1(λ)=…=dt1(r1-1)(λ)=1,dt1(r1-1)+1(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+1,

dt1(r1-1)+2(λ)=(λ-λ1μ1)r1-t1+3, …,dt1r1(λ)=(λ-λ1μ1)r1+t1-1,

因此

JA?B=diag(Jr-t+1(λ1μ1),Jr-t+3(λ1μ1),…,Jr+t-1(λ1μ1)).

再通過適當的列變換和行變換最終就可將λE-A?B的前t1行化成

diag(D,…,D,λE-λ1Jt1(μ1)).

由于λE-λ1Jt1(μ1)的不變因子為d1(λ)=…=dt1-1(λ)=1,dt1(λ)=λt1,故λE-A?B的不變因子為

d1(λ)=…=dr1(t1-1)(λ)=1,dr1(t1-1)+1(λ)=…=dr1t1(λ)=λt1.

即A?B的初等因子為是r1個λt1,因此A?B的Jordan標準形為

JA?B=diag(Jt1(0),Jt1(0),…,Jt1(0)).

(iii) 由于λ1=0,μ1≠0,故

于是

進而λE-A?B通過初等變換可化成diag(Et1,…,Et1,λr1Et1),故λE-A?B的不變因子為

d1(λ)=…=dt1(r1-1)(λ)=1,dt1(r1-1)+1(λ)=…=dt1r1(λ)=λr1.

即A?B的初等因子是t1個λr1,因此A?B的Jordan標準形為

JA?B=diag(Jr1(0),Jr1(0),…,Jr1(0)).

(iv) 由于λ1=μ1=0,令C=λE-A?B,則

其中

對矩陣C進行類似的變換,最終可以得到

其中F,G1,G2,H1,H2如上,

故C的不變因子為

d1(λ)=…=dt1(r1-2)-s+2(λ)=1,dt1(r1-2)-s+3(λ)=dt1(r1-2)-s+4(λ)=λ,…,

dt1r1-s-1(λ)=dt1r1-s(λ)=λt-1,dt1r1-s+1(λ)=…=dt1r1(λ)=λt,

其中λ,λ2,…,λt-1各有2個,λt有s個.因此A?B的Jordan標準形為

JA?B=diag(J1(0),J1(0),…,Jt-1(0),Jt-1(0),Jt(0),…,Jt(0)),

其中Jt(0)有|r1-t1|+1塊.

注 定理2中的情形(i)中的具體情形:

當r1≤t1時,

JA?B=diag(Jt1-r1+1(λ1μ1),Jt1-r1+3(λ1μ1),…,Jt1+r1-1(λ1μ1));

當r1≥t1時,

JA?B=diag(Jr1-t1+1(λ1μ1),Jr1-t1+3(λ1μ1),…,Jr1+t1-1(λ1μ1)).

因此λE-A1?B1的不變因子為

d1(λ)=d2(λ)=d3(λ)=d4(λ)=1,d5(λ)=(λ-6)2,d6(λ)=(λ-6)4.

故

通過類似計算可分別求得A1?B2,A2?B1,A2?B2的Jordan標準形,即

3 Kronecker積的最小多項式

假設矩陣A和B的最小多項式分別為

mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms,

mB(λ)=(λ-μ1)n1(λ-μ2)n2…(λ-μk)nk,

則矩陣A的相異特征值只有λ1,λ2,…,λs,并且A的Jordan標準形中對應的Jordan塊中最高階數分別為m1,m2,…,ms,矩陣B的相異特征值只有μ1,μ2,…,μk,并且B的Jordan標準形中對應的Jordan塊中最高階數分別為n1,n2,…,nk.由矩陣的Jordan標準形與最小多項式之間的關系以及定理2可得下列定理.

定理3已知矩陣A和B的最小多項式分別為

mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms,

mB(λ)=(λ-μ1)n1(λ-μ2)n2…(λ-μk)nk,

令tij=min{mi,nj},1≤i≤s,1≤j≤k.

(i) 若λiμj≠0且λiμj兩兩不同,1≤i≤s,1≤j≤k,則A?B的最小多項式

(ii) 若存在1≤i0≤s,1≤j0≤k使得λi0=μj0=0,且λiμj兩兩不同,1≤i≠i0≤s,1≤j≠j0≤k,則A?B的最小多項式

(iii) 若存在1≤i0≤s,使得λi0=0,且λiμj兩兩不同,1≤i≠i0≤s,1≤j≤k,則A?B的最小多項式

(iv) 若存在1≤j0≤k使得μj0=0,且λiμj兩兩不同,1≤i≤s,1≤j≠j0≤k,則A?B的最小多項式

(v) 若上述四種情況中連乘部分只要出現一次因式相同的情形,則只保留相同一次因式中方冪次數最高的那一項,而該一次因式方冪次數低的項直接舍去.

解由例2可知矩陣A1?B1,A1?B2,A2?B1,A2?B2的Jordan標準形分別為

由最小多項式與Jordan標準形的關系可知,A1?B1,A1?B2,A2?B1,A2?B2的最小多項式分別為

mA1?B1(λ)=(λ-6)4,mA1?B2(λ)=λ3,mA2?B1(λ)=λ2,mA2?B2(λ)=λ2.

這與定理3中的結論是一致的.

由于矩陣可相似對角化當且僅當矩陣的最小多項式是互不相同的一次因式的乘積,故有下列推論.

推論1[5]已知A∈m×m和B∈n×n都是非零矩陣,則A?B可相似對角化的充分必要條件是A和B都可相似對角化.

證充分性容易證明.下面采用定理3中記號約定,若A∈m×m和B∈n×n都是非零矩陣,并且A?B可相似對角化,因此A?B的最小多項式是互不相同的一次因式的乘積,由于mi≥1,nj≥1,1≤i≤s,1≤j≤t,并且定理3中的四種情況分別對應著

(1)mi+nj-1=1,1≤i≤s,1≤j≤t;

(2)ti0j0=min{mi0,nj0}=1,mi+nj-1=1,1≤i≠i0≤s,1≤j≠j0≤t;

(3)mi0=1,mi+nj-1=1,1≤i≠i0≤s,1≤j≤t;

(4)nj0=1,mi+nj-1=1,1≤i≤s,1≤j≠j0≤t;

因此mi=1,nj=1,1≤i≤s,1≤j≤t,即A和B的最小多項式都是互不相同的一次因式的乘積,故A和B都可相似對角化.

4 Kronecker積的范數和分解

為了完整起見,本節將已有的Kronecker積的常見矩陣范數性質進行了羅列,此外還給出Kronecker積的常見分解的相關結果.

性質1[3]已知矩陣A∈m×m和B∈n×n,則

‖A?B‖1=‖A‖1‖B‖1, ‖A?B‖∞=‖A‖∞‖B‖∞, ‖A?B‖2=‖A‖2‖B‖2,

‖A?B‖F=‖A‖F‖B‖F, ‖A?B‖m1=‖A‖m1‖B‖m1,

‖A?B‖mp=‖A‖mp‖B‖mp, ‖A?B‖m∞=‖A‖m∞‖B‖m∞.

由引理1可知,關于矩陣A∈m×m,B∈n×n的Kronecker積的三角分解、QR分解、滿秩分解、奇異值分解、極分解有如下性質.

性質2若A=L1R1和B=L2R2分別是矩陣A和B的三角(Doolittle,Crout)分解,則

A?B=(L1?L2)(R1?R2)

為矩陣A?B的三角(Doolittle,Crout)分解.

證若A=L1R1和B=L2R2分別是矩陣A和B的三角分解,即L1,L2是下三角矩陣,R1,R2是上三角矩陣,由引理1知L1?L2是下三角矩陣,R1?R2是上三角矩陣,因此A?B=(L1?L2)(R1?R2)為矩陣A?B的三角分解.

特別地,若A=L1R1和B=L2R2分別是矩陣A和B的Doolittle分解(或Crout分解),則L1,L2是單位下三角矩陣(或R1,R2是單位上三角矩陣),由引理1知L1?L2也是單位下三角矩陣(或R1?R2是單位上三角矩陣),因此A?B=(L1?L2)(R1?R2)為矩陣A?B的Doolittle分解(或Crout分解).

性質3若A=L1D1R1和B=L2D2R2分別是矩陣A和B的LDR分解,則

A?B=(L1?L2)(D1?D2)(R1?R2)

為矩陣A?B的LDR分解.

證若A=L1D1R1和B=L2D2R2分別是矩陣A和B的LDR分解,即L1,L2是單位下三角矩陣,D1,D2是對角矩陣,R1,R2是單位上三角矩陣,由引理1知L1?L2是單位下三角矩陣,D1?D2是對角矩陣,R1?R2是單位上三角矩陣,因此

A?B=(L1?L2)(D1?D2)(R1?R2)

為矩陣A?B的LDR分解.

A?B=(G1?G2)(G1?G2)H

為矩陣A?B的Cholesky分解.

A?B=(G1?G2)(G1?G2)H

為矩陣A?B的Cholesky分解.

性質5[5]若A=Q1R1和B=Q2R2分別是矩陣A和B的QR分解,則

A?B=(Q1?Q2)(R1?R2)

為矩陣A?B的QR分解.

性質6若A=F1G1和B=F2G2分別是矩陣A和B的滿秩分解,則

A?B=(F1?F2)(G1?G2)

為矩陣A?B的滿秩分解.

證若A=F1G1和B=F2G2分別是矩陣A和B的滿秩分解,即F1,F2是列滿秩矩陣,G1,G2是行滿秩矩陣,由引理1知F1?F2是列滿秩矩陣,G1?G2是行滿秩矩陣,因此

A?B=(F1?F2)(G1?G2)

為矩陣A?B的滿秩分解.

A?B=(U1?U2)(Σ1?Σ2)(V1?V2)H

為矩陣A?B的奇異值分解.

性質8[6]若A=C1Q1=Q1D1和B=C2Q2=Q2D2分別是矩陣A和B的極分解,其中Q1和Q2是酉矩陣,C1,D1,C2,D2是Hermite半正定矩陣,則

A?B=(C1?C2)(Q1?Q2)=(Q1?Q2)(D1?D2)

為矩陣A?B的極分解.

證若A=C1Q1=Q1D1和B=C2Q2=Q2D2分別是矩陣A和B的極分解,其中Q1和Q2是酉矩陣,C1,D1,C2,D2是Hermite半正定矩陣,由引理1知Q1?Q2是酉矩陣,C1?C2是Hermite半正定矩陣,D1?D2是Hermite半正定矩陣,因此

A?B=(C1?C2)(Q1?Q2)=(Q1?Q2)(D1?D2)

為矩陣A?B的極分解.

5 結 論

本文通過初等變換法給出矩陣A和B的Kronecker積A?B的Jordan標準形與A和B的Jordan標準形之間的關系,以及Kronecker積A?B的最小多項式與A和B的最小多項式之間的關系,由此證明了矩陣的Kronecker積A?B可對角化當且僅當矩陣A和B都可對角化. 此外本文還總結了Kronecker積A?B的各種范數以及分解與矩陣A和B的相應范數和分解的關系.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.