基于核心素養測評框架的新高考數學全國卷試題評價研究

首都師范大學教育學院 唐明超 (郵編:100048)

云南師范大學數學學院 張 勇 (郵編:650500)

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》首次明確了高中數學核心素養的概念與成分,提煉出“情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思”等體現數學學科核心素養的四個方面,再根據核心素養的具體表現及其難度差異將高中數學學業質量劃分為三個水平,依次代表學業水平考試、高考、大學自主招生考試的要求.歷年高考試題的命制緊扣水平二,試題的呈現方式、考查內容、以及綜合難度既決定了核心素養的不同水平層次,也是對核心素養內涵與具體表現的刻畫.構建并完善一套既能體現數學學科核心素養的四個方面,又能突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模與數學探究等四條內容主線,還能評價核心素養各水平考查比重的測評框架具有現實意義,不僅能指導命題工作,還能服務于課堂教學.在核心素養測評框架的指導下,試題的命制要能針對性地考查學生的某個或某幾個數學核心素養發展水平層次,整套試卷才能真正體現素養立意、能力并重的原則[1];一線教師使用測評框架對具體試題或試卷進行綜合測評,便于掌握核心素養考查方式以及試卷的命題特點,間接反哺教學工作.

新高考數學試卷的命制順應新高考改革總體要求,貫徹高考評價體系,參照《新高考過渡期數學科考試范圍說明》確定考試范圍,重點關注新舊兩版課程標準中的相同內容[2].但是,試卷是如何體現以上要求的,不同年份的不同試卷對核心素養的考查有何異同,是否存在某種規律,對高中數學的教學與備考工作有何啟示,這些都是廣大師生極為關切的現實問題.所以,有必要對近三年的新高考數學全國卷進行系統的比較研究,聚焦核心素養考查情況,結合典型試題的命題分析,總結試卷的命題特點,解讀試卷所承載的高考核心功能及其表現形式,為數學教學與考試命題提供參考.

2 文獻綜述

喻平給出數學核心素養評價框架之前,劉小慧等人對高考數學試卷中的核心素養考查情況做過分析,但局限于解題研究,僅宏觀闡述試題的命題特點與教學建議,尚未建立素養評價框架,缺乏系統深入的實證研究.喻平[3]認為,雖然課程標準對數學核心素養做了相應的水平劃分,但是對核心素養發展水平的評價需要更加明確的、可操作的統一標準.在綜合比較布盧姆(Bloom)認知目標分類理論、PISA模型(2012)、彼格斯(Biggs)學業水平分類方法SOLO模型等三個理論優缺點的基礎上,從知識與能力的辯證關系深度剖析數學核心素養的內涵,提出一個由知識理解、遷移、創新三個維度組成的數學核心素養測評框架,對日常教學與考試評價具有一定指導意義.

當然,喻平給出的數學核心素養測評框架也存在一些問題,雖然將知識學習過程作為評價數學核心素養發展水平的依據具有較好的理論基礎和可操作性,但是缺乏對核心素養具體表現的進一步總結與提煉,對知識理解、知識遷移與知識創新各水平的評價標準沒有進一步細化和闡述,導致一線教師使用測評框架對試題進行分析時容易出現理解錯位,影響測評的信度和效度.俞夢飛,章飛[4]等人進一步豐富了喻平的核心素測評框架,對每個核心素養的具體表現都進行了凝練,從知識理解、知識遷移與知識創新三個維度進行細分,給出評價標準的內涵解析,據此對江蘇卷高考試題進行評價研究,彰顯出較好的操作性與實用性.李華,胡典順[5]等人結合高中數學學科特點,深入解讀喻平數學核心素養測評框架中三個水平的內涵與表征,運用測評框架對2019年高考數學全國卷進行測評,并對測評數據進行多元統計分析,歸納核心素養考查特點,給出命題與教學改進建議.

俞夢飛、李華等人對數學核心素養測評框架的完善都是基于具體研究工作的實際需要,各有優缺點.俞夢飛改進后的測評框架加入了核心素養的具體表現,呈現出三級評價指標,能夠更加細致地評價試卷對核心素養各個具體表現的考查情況,更適用于同一地區、相同類型的試卷評價;對不同國家或具有不同結構特點的試卷進行測評可能會產生不必要的誤差.李華等人則是沿用喻平的測評框架,對核心素養具體水平的劃分標準給予說明,適用于不同類型的試卷分析.張玉環[6]等人綜合比較了俞夢飛和李華的研究工作,采用李華的數學核心素養測評框架對中法高考數學試題進行比較研究,為研究不同國家高考試題的核心素養考查情況提供了參考范例.

3 研究設計

3.1 研究對象

選取2020—2022年6套新高考數學全國卷共172道試題作為研究對象.試題包含單項選擇題、多項選擇題、填空題與解答題,由于不同類型的試題賦分值不相同,為盡可能控制變量、消除誤差,研究過程中總題量的統計以解答題中的每個小題為計數單位進行累加.其中,2020年首次使用新高考數學全國卷,兩套高考試卷只有第18題與第21題不同、其余試題均相同.

3.2 研究工具

2017年版普通高中數學課程標準對六大數學核心素養的內涵、具體表現以及育人目標做了綱領性的闡述.為了能夠根據核心素養的具體表現客觀分析試題所考查的核心素養具體成分及其水平,需要對課程標準描述的核心素養具體表現進行深度解析,試圖進行歸類與提煉,用更淺顯且容易被理解的文字將其表達出來.此處僅以數學抽象核心素養的評價指標構建為例,解讀數學試題核心素養測評框架的生成邏輯.

數學抽象是學習主體對數量與數量關系,圖形與圖形關系的抽象,具體表現為獲得數學概念與規則,提出數學命題和模型,形成數學方法與思想,認識數學結構體系[7].根據弗賴登塔爾的數學化觀點,“獲得數學概念與規則,提出數學命題和模型”反映的是對客觀世界的數學化表達;“形成數學方法與思想,認識數學結構體系”是對數學本身的數學化加工;兩個數學化過程呈層級遞進式關系,由淺入深經歷了認識抽象物,形成抽象物,抽象地思考三個階段.這三個階段很好地解釋了數學抽象的本質,所以數學抽象核心素養的具體表現可以歸納為對抽象物的認識與理解,形成抽象物,抽象地思考問題三個要素.再參考喻平數學核心素養測評框架中對核心素養發展水平的劃分依據,從知識學習的三個過程對核心素養的具體表現也作類似的水平劃分.數學抽象核心素養的第一個具體表現是認識抽象物,水平劃分如下.水平1:知識理解,評價依據:學生能夠在既定的情境中用數學語言描述給定對象;水平2:知識遷移,評價依據:學生能夠運用已有數學知識經驗對研究對象開展探究;水平3:知識創新,評價依據:學生通過探究活動與已有知識結構建立聯系,豐富認知.其余核心素養各具體表現的水平劃分詳見表1.

表1 數學試題核心素養測評框架

3.3 編碼方法

試題的編碼過程分為水平劃分、賦分、小組討論三個步驟.第一步,由包括作者在內的5位老師獨立完成172道題的解析,嚴格對照表1所示的測評框架,給出每一道試題所考查的核心素養成分、具體表現以及對應的水平.第二步,根據水平劃分結果和試題所占整套試卷的分數,綜合考慮核心素養考查的主次順序,合理劃分核心素養具體表現在各個水平上的得分.第三步,對核心素養水平劃分結果以及賦分值差距較大(大于1分)的試題進行綜合研討,以主流觀點確定試題的水平劃分結果,再請長期從事高考試題研究與省市統測命題的專家進行復審,最后取5位老師賦分的平均值作為核心素養具體表現各水平的最后得分.部分試題的分析與編碼過程如下.

A. 1.0×109m3B. 1.2×109m3

C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3

解析與編碼例1以學生熟悉的南水北調工程為背景,考查四棱臺的性質與體積計算.問題解答的關鍵在于能夠根據實際情境抽象出數學模型,通過對模型的分析選擇恰當的算法完成計算.重點考查數學抽象、數學建模與數學運算核心素養;雖然也涉及邏輯推理,但不作為主要成分可忽略不計.首先需要在具體情景中用數學語言描述給定對象的特征,進而作出立體圖形得到四棱臺,提煉數量關系明確計算目標,選擇恰當的運算方法(體積公式)完成試題解答.涉及到數學抽象核心素養的認識抽象物之理解水平(A11)以及形成抽象物之理解水平(A21);數學建模核心素養的發現并提出問題之理解水平(C11)以及建立求解模型之理解水平(C21);數學運算核心素養的運用算法之理解水平(E21).考慮到數學抽象與數學建模為主要成分,可賦分如下:A11=A21=1分,C11=C21=1分,E21=1分.即使部分學生會使用棱錐體積相減進行轉化求解棱臺體積,導致步驟相對復雜,試題運用棱臺體積公式進行計算是最佳選擇,故測評過程只考慮后者.

4 研究結果

對照表1所示的測評框架,運用編碼方法得出每一套試題在6個核心素養15個具體表現共45個水平上的初始得分.再從核心素養總體分布、各具體表現分布、各水平分布三個角度對數據進行分類匯總,計算出各要素的測評分數占試卷滿分(150)的比重,運用直觀比較與多元統計分析方法從不同角度對歷年新高考數學全國卷的核心素養考查特點進行分析與總結.

4.1 核心素養總體分布情況

(1)直觀比較

根據表2數據繪制的雷達圖1中可以看出,數學運算核心素養在歷年新高考全國卷中考查占比最大,其次是邏輯推理與直觀想象,三者累計占比在歷年試卷中均超過70%.2022年累計占比最大,超過80%.數學建?？疾檎急茸钚?數據分析次之,占比均低于10%,考查分數低于15分;說明試卷雖兼顧考查6大核心素養,但整體分布不均,對數學建模與數據分析素養的考查比重較小.按年份來看,歷年邏輯推理與數學建模核心素養的考查比重Ⅰ卷均大于Ⅱ卷;歷年數學運算與數據分析核心素養的考查比重Ⅰ卷均小于Ⅱ卷.按試卷類別看,Ⅱ卷考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養的比重呈逐年下降的趨勢,考查數學運算的占比呈逐年上升趨勢;Ⅰ卷考查數學建模與數據分析的比重呈逐年下降趨勢,考查數學運算的占比呈逐年上升趨勢,對其余核心素養的考查占比略有波動,無明顯變化規律.

圖1 近三年新高考數學全國卷核心素養考查總體分布圖

(2)相關程度對比分析

用SPSS22統計軟件對歷年試卷中的核心素養考查比重進行相關性檢驗,可以直觀反映具體核心素養的考查分布特點.以試題編號為變量,計算Spearman等級相關系數均大于0.886,在0.05水平上顯著,說明6套試卷的核心素養考查比重具有較好的相關性.其中,新高考Ⅱ卷的相關性整體好于新高考Ⅰ卷,反映出歷年新高考Ⅱ卷對核心素養的考查比重比Ⅰ卷更穩定.以核心素養為變量,計算Spearman等級相關系數,發現數學建模與數學運算的相關系數為-0.806,邏輯推理與數據分析的相關系數為-0.719,在0.01水平上顯著負相關;數學抽象與數據分析、數學建模、邏輯推理均成正相關,數學運算與其它核心素養均呈負相關.

4.2 核心素養各表現分布情況

(1)直觀比較

從表3可以看出,數學抽象核心素養在歷年試卷中的主要表現是抽象思考.邏輯推理的主要表現是演繹推理.數學建模的主要表現是建立求解模型.直觀想象核心素養的考查兼顧數形結合與空間想象,但數形結合的比例整體大于空間想象.數學運算核心素養的主要表現是運用算法和設計算法,運用算法所占比例整體高于設計算法與理解算理.數據分析的主要表現是對數據的認識,較少考查數據處理.運用算法解決問題是歷年核心素養考查中占比最大的表現維度,其次是演繹推理與設計算法.數學建模核心素養的發現并提出問題(C1)與檢驗和完善模型(C3)兩個表現在歷年試卷中的占比較小,部分年份沒有涉及.說明試卷不僅對核心素養的考查比重存在顯著差異,對核心素養各個具體表現的考查也存在顯著差異.

表3 核心素養具體表現考查分布表

(2)受重視程度對比分析

為進一步分析核心素養具體表現在歷年新高考數學全國卷中的受重視程度,對6套試卷的15個核心素養具體表現所占比重采用平均聯接方法進行系統聚類分析,測量區間選擇平方Euclidean距離,聚類結果以譜系圖的形式呈現,詳見圖2.

圖2 近三年新高考數學全國卷核心素養具體表現聚類譜系圖

基于數據的分布特點與譜系圖的基本特征,結合現實意義解讀,可以確定聚類數為4.以C1,C3,A2,F1,A1,C2為第一類;以E1,F2,D1,B1,A3為第二類,D3,E3為第三類;B2,E2為第四類.說明每一類中的核心素養具體表現在歷年試卷中的受重視程度具有很大的相似性,第四類最受重視,其次是第三類,第一類受重視程度最低,很好地印證了直觀分析的結果.

4.3 核心素養各水平分布情況

(1)直觀比較

從表4可以看出,歷年新高考試卷對數學抽象核心素養的考查主要體現在遷移水平,占比明顯大于理解與創新水平,說明新高考試卷突出綜合性與應用性.邏輯推理的創新水平考查比重顯著高于理解水平與遷移水平,說明新高考試卷具有較強的靈活性,具有打破試題的固化模式,淡化解題技巧,著重考查理性思維的趨勢.數學建模核心素養考查比重較小,理解水平與創新水平所占比重相當,說明考查數學建模的試題不僅強調真實情景的創設,呈現方式也具有較好的創新性,既考查學生的信息加工與整合能力,也考查發現并提出問題的能力.對直觀想象核心素養的考查聚焦遷移水平,其次是創新水平,理解水平考查比重較小,說明試卷更強調通過聯想與作圖來刻畫相對復雜的數量關系,再根據圖象特點與圖形關系分析并解決實際問題;立體幾何試題突出考查想圖、作圖、識圖與用圖的意識和能力,代數試題突出考查數形結合思想.數學運算重點考查理解與遷移水平,彰顯學科特點,能理解運算的合理性與必要性,再根據問題解決需要設計相應算法并選擇適當的公式或定理及其變形解決問題,突出試題的綜合性與創新性.數據分析突出考查遷移水平,說明試題的命制更強調基于問題解決需要靈活選擇合適的數據以及數據的處理方法解決問題,引導數學教學要加強對學生問題提出與解決能力的培養.

表4 核心素養各水平考查分布表

總體來看,除2022年Ⅰ卷外,5套新高考試卷考查核心素養的遷移水平比重均大于其它水平,說明重點考查知識遷移水平是命題趨勢.相同年份,Ⅱ卷考查遷移水平的比重均大于Ⅰ卷,Ⅱ卷考查創新水平的比重均小于Ⅰ卷;說明Ⅰ卷更突出創新性與綜合性,Ⅱ卷更突出基礎性與應用性.

(2)關聯程度對比分析

直觀分析描述了核心素養各水平考查比重的大小關系,但是各水平所占比重在空間位置上的區分度以及關聯程度卻很難呈現.運用SPSS22軟件對表4中的數據進行降維對應分析,繪制試卷與核心素養考查水平的對應分析聯合圖,由于數值并非頻數,選擇Euclidean距離和對稱方法進行計算,結果見圖3.為了使圖式更清晰,便于直觀測量比較區分度與關聯程度,新定義了核心素養各水平的標簽,抽象1表示數學抽象的水平1,即知識理解水平,依次類推.

圖3 近三年新高考數學全國卷核心素養考查水平對應分析聯合圖

從圖3可以看出,試卷分布整體較集中,核心素養各水平分布較分散,說明試卷的區分度較差,這與新高考改革穩步推進有關.2020年I卷與II卷相互靠近與2020年兩套試卷只有兩道試題不相同有關系.2020年II卷與2022年II卷相互遠離,且離原點都較遠,說明兩套試卷的核心素養各水平考查比重與平均水平差距較大,考查特點也存在較大差異.從距離遠近來看,同一年的兩套試卷相互靠近,考查特點相似度更高;I卷的相似程度整體比II卷更好.從核心素養各水平的分布情況看,直觀想象水平1,邏輯推理水平1,數學建模水平1,數學建模水平2分布集中,說明關聯程度好;邏輯推理水平1與數學建模水平2在同一方向,說明考查特點相似度高,差異不顯著.反之,距離越遠,說明關聯程度越不明顯,考查特點差異越大.從學科特點與解題規律來看,直觀想象的具體表現是空間想象與數形結合,與演繹推理緊密相關,解釋了邏輯推理水平1與直觀想象水平1關聯程度較好的原因.

5 結論與建議

5.1 結論

借鑒并完善了俞夢飛等人的數學試題核心素養測評框架,對6套新高考數學全國卷的核心素養考查情況做了細致分析,完成了三方面的工作.一是細化了數學試題核心素養測評框架的具體表現與評價依據,并以具體操作實例呈現了基于測評框架分析數學試題的過程與方法.二是完成了6套新高考數學試卷的核心素養測評工作,并對數據進行統計.三是基于測評數據,運用直觀比較與多元統計分析方法,對6套試卷的核心素養考查總體分布情況,核心素養具體表現的考查分布情況,核心素養各水平的考查分布情況進行多角度分析.得出以下結論,僅供參考.

(1)核心素養考查比重不均衡

新高考數學試卷兼顧考查六大核心素養,但是考查比重分布不均,存在顯著差異.數學運算、邏輯推理、直觀想象是歷年考查的重點,數學運算占比最大,三者累計占比均大于70%.數學建模與數據分析歷年占比均不足10%.Ⅰ卷更注重考查邏輯推理,Ⅱ卷更注重考查數學運算.Ⅰ卷考查數學建模與數據分析的比重逐年下降,Ⅱ卷考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象的比重逐年下降,考查數學運算的占比Ⅰ卷與Ⅱ卷均逐年上升.試卷對核心素養各個具體表現的考查也存在顯著差異,考查運用算法解決問題是歷年核心素養考查中占比最大的表現維度,其次是演繹推理與設計算法.數學建模核心素養的發現并提出問題與檢驗和完善模型兩個表現在歷年試卷中占比較小,部分年份沒有涉及.此外,對核心素養各水平的考查也存在顯著差異,歷年考查遷移水平的比重均大于其它水平.相同年份,Ⅱ卷考查遷移水平的比重均大于Ⅰ卷,Ⅱ卷考查創新水平的比重均小于Ⅰ卷;說明Ⅰ卷更能突出創新性與綜合性,Ⅱ卷更能突出基礎性與應用性.

(2)核心素養考查具有相關性

結合多元統計分析結果可以認為,6套試卷的各核心素養考查比重具有相關性.其中,Ⅱ卷的相關性整體好于Ⅰ卷,反映出Ⅱ卷對各核心素養的考查比重較Ⅰ卷穩定.數學建模與數學運算,邏輯推理與數據分析在6套試卷中的考查分布呈顯著負相關,說明數學運算與邏輯推理的考查比重很大程度上影響著數學建模與數據分析的比重,可以通過調整數學運算與邏輯推理的考查比重來強化對數學建模與數據分析的考查.數學抽象與數據分析、數學建模、邏輯推理成正相關,數學運算與其它核心素養均呈負相關,說明適當降低數學運算的考查比重可以提高其它核心素養的比重,使得整套試卷的核心素養考查分布更均衡.對核心素養各表現的聚類分析結果也表明,數學運算與邏輯推理在歷年高考中最受重視,考查比重也最大.對核心素養各水平的降維對應分析結果顯示,6套試卷的整體區分度較小,核心素養各水平的區分度較大.同一年的兩套試卷相互靠近,考查特點相似度更高;I卷的相似程度整體比II卷更好.直觀想象水平1,邏輯推理水平1,數學建模水平1,數學建模水平2分布集中,說明關聯程度好,考查特點相似度高,差異不顯著.

(3)試題命制特點具有相似性

歷年新高考數學試卷的題型與題量均保持穩定,命題風格一致,彰顯新高考改革特點,突出知識主干的考查,創新試題設計.多項選擇題的設置增強了試題的層次性,提高了試卷的區分度;結構不良試題的考查,豐富了試題的探究價值,增強了試題的開放性與創新性,滿足不同層次學生的實際需要.此外,存在性問題(2021年I卷18題)與半開放舉例問題(2021年II卷14題)的設計都是新高考數學試題的命題特色.試題的命制遵循主干知識的生成與發展基本邏輯,強調數學基本思想,聚焦問題本質,考查學生對基本概念和原理的深度理解與深刻認識.貫徹高考評價體系,深化基礎知識的靈活考查,發揮選拔功能,試題命制對標課程標準要求,整體體現出較好的基礎性、綜合性、應用性與創新性,通過增強試題的靈活性重點考查學生的理性思維.聚焦核心素養,考查關鍵能力,突出育人價值,新高考試題的命制繼續強化真實情景的創設,圍繞德智體美勞五個方面設計問題情景[8],既豐富了試題的文化內涵,也彰顯了鮮明的時代特征,注重跨學科整合,凸顯數學學科的應用價值.

5.2 建議

(1)加強核心素養考查比重的合理性研究

作為選拔性考試,試卷命制存在試卷容量與作答時間有限等限制因素,必然導致各核心素養具體表現及其水平所考查的比重存在差異.值得思考的是,當前的考查比重及其分布特點是否滿足選拔需要,其選拔功能與教學導向功能是否達到理想水平,有無改進空間?研究結果表明,數據分析和數學建模核心素養考查比重與邏輯推理和數學運算呈負相關,且考查比重不足10%.如果通過改進命題技術,適當降低試題的運算復雜程度,減少推理步驟,加強對問題情景中信息提取與加工能力的考查,測評學生整合數據信息、探索數量關系、建立求解模型的能力,實現在沒有改變試題數量與分值的前提下有效平衡核心素養的考查權重是否合理?在試卷命制之前,應該基于核心素養測評框架對雙向細目表進行適當調整,明確具體試題所考查核心素養的成分、具體表現、水平層次以及考查權重.在試卷論證環節,對試卷所要考查的核心素養進行測評,及時調整比重,也是平衡核心素養考查比重的的可行方法.對難以設計試題或不方便確定評分標準的考查內容,如問題提出能力的考查,可以創新性地設計結構不良試題、開放性問題、以及存在性問題進行考查,新高考已經做了嘗試,也取得了不錯的效果,可以適當加大考查力度.

(2)深入開展高考試卷的多角度系統研究

當下對高考試卷的研究存在一定的局限性,主要體現在研究主體的行為差異、研究對象的單一、研究視角和方法的系統性不強、研究成果轉化不足四個方面.研究主體主要包括一線教師(含職前教師)、教研員以及專門從事課程與教學論研究的高校教師(含研究生).一線教師開展試卷研究多著眼于探索高考命題規律,以期改進教學策略和復習備考工作,習慣性從具體試題的考查內容、考查方式、命題意圖、解題策略等方面進行探索,實踐意義較強但是理論深度不夠.教研員的研究視角多局限于對試題的命題方式與命題原理解讀,在提高自身命題能力的基礎上指導一線教師如何開展針對性的教學活動.專門從事課程與教學論研究的高校教師習慣性地從課程、教材與教學的相關理論出發,聚焦各學段的具體教育教學現象或行為、以及學科的某個具體概念或問題開展理論闡釋與理論探索.主體的研究行為和目的各有側重,系統性不強,如何建立主體間的聯系,構建多主體一體化的協同研究機制和研究團隊是確保研究工作走深走實的基礎.研究對象的單一性體現在對某類題型、某套或某幾套試卷的對比研究,亦或是對不同國家或地區具體年份的試卷開展對比研究,這些研究工作的代表性以及在多大程度上反映了總體特征卻值得商榷.研究視角和方法的系統性不強也是存在的突出問題.就該項研究工作而言,聚焦核心素養測評框架對新高考數學全國卷進行評價研究,揭示了核心素養考查情況,但是對試卷綜合難度的測評與比較研究卻鮮有涉及,同時也缺乏基于高考評價體系的試卷比較研究,自然無法開展核心素養考查分布特點、試卷綜合難度、高考考查要求三者之間的關系研究.不同研究主體開展的不同研究工作可能產出不同的研究成果,但是研究成果的去向卻是明確的,一是為命題工作提供參考,二是指導數學教學.成果轉化渠道的構建與轉化效率的提高就成為需要深入思考和探索的問題.總之,構建多主體一體化的研究協作體對加強高考試卷的系統研究,推進新高考改革,實現研究成果的有效轉化都具有較強的現實意義.