例析初中數學教科書例題中跨學科問題
——以《數與代數》為例

內蒙古赤峰學院數學與計算機科學學院 王洋洋 (郵編:024000)

內蒙古民族數學教育研究所 李書海 (郵編:024000)

《義務教育數學課程標準(2022)》(以下簡稱“課標”)提出:立足學生核心素養發展,體現數學課程育人價值,并且設置“綜合與實踐”主題,旨在整合數學與其他學科間的知識,完成跨學科實踐活動,感悟數學與生活,數學與其他學科的關聯,發展學生學習能力、實踐能力和創新意識[1],用數學學科視角回答跨學科問題,跨學科融合教學逐漸成為學者們研究的熱點問題.

例題是數學學習過程中不可或缺的一部分,凝練著知識核心,具有代表性和典型性,對于學生新知識的理解與鞏固、新技能的培養與提升都有非常大的作用.例題展示出了數學的解題思路,搭建了新知與舊知的橋梁,對于學生學習和探究以及思維能力的發展都起到積極的促進作用,因此必須要精心設計,滿足學生的發展需求.

“課標”將初中數學學習的主要內容劃分為數與代數、圖形與幾何、概率與統計、綜合與實踐[1]四個領域.總的來看,數與代數是其它幾個領域學習的基礎,其它幾個領域的學習離不開數與代數的支撐.初中數與代數的內容廣泛,幾乎貫穿整個初中數學課程.因此在數與代數領域的例題中融入跨學科內容,既可以提高學生對于知識的運用能力,又可以幫助喚起學生的跨學科意識,感受學科之間的關聯,培養學生學會用數學的思維思考跨學科問題,會用數學的語言表達跨學科問題的意識和能力.

1 概念界定

1.1 跨學科

最早對于“跨學科”一詞進行使用的是心理學家伍德沃斯[3].而在基礎教育階段,跨學科的理念出現得較早一些,哈佛大學“零點項目”負責人博伊克斯·曼西利亞(Boix Mansilla)探討了中小學跨學科學習實踐,給出了學?？鐚W科學習的含義,即學校的跨學科是將兩個或兩個以上的學科在課程、認知和操作層面上聯系起來,進而從不同的視角 ( 目標、學習對象、概念和觀念、學習方法、技術能力等 ) 建立互補或合作聯系、相互滲透或相互作用的實踐[4].

我國 2022 年版“課標”中所倡導的跨學科主題學習,體現了義務教育階段課程設計綜合化和實踐化的特點,超越學科與教科書的邏輯體系,通過跨學科概念將各種相互關聯的學科勾連起來,基于真實任務情境進行問題解決,促進學生體會學科之間相互依賴的關系,培養他們的高階思維和核心素養[3].對于數學教科書中的例題的內容來說,就是在題干的設計上使得兩個或者多個學科的內容融合,在探索蘊含真實的情境中所蘊含的關系中,發現和提出問題,運用數學和其他學科的知識與方法分析和解決問題[1].

1.2 例題

例題是教科書中涵蓋新知識并帶有詳細解答過程的數學問題,是數學樣例的主要表現形式之一.例題一般由數學問題以及解答步驟構成,是對于數學原理以及概念的具體化表達.例題具有展示問題、描述解決過程、解釋數學概念與規則、提高解決問題能力等多項復合功能[5].本文中的“數與代數部分的例題”,指的是“數與代數領域”中的例題.

2 問題的提出

“課標”提出,培養學生綜合能力,提升學生核心素養.隨著時代的發展,傳統的教育模式下學科之間界限明顯,知識之間關聯不強,知識點相對零散,已經難滿足當下教育發展新形勢的要求,因此加深不同學科之間的聯系是教育發展大勢所趨,是符合新時代的育人要求的.

教科書是數學知識的重要載體,是學生進行學習的重要工具,學生大部分的知識都來源于教科書,教師所教授的內容也以教科書為依據,因此教科書內容的合理編制對于學生來說至關重要.同時,數學的學習離不開例題的練習,例題內容的設置直接會影響到學生的學習效果甚至是思維的發展,因此在例題部分精心設計、加強學科之間的關聯同樣非常有必要.

跨學科教學在初中階段的實施國內還處于探索階段,并沒有細化以及進一步落實.相關的研究現狀為:一是中國和澳大利亞、日本、新加坡等國外初中數學教科書跨學科內容、設置理念及其比較研究[6-8]; 二是中國初中數學教材“跨學科”綜合實踐活動的比較研究[9];三是中國初中新手教師對數學教科書例題的認識及使用情況調查、教學與學習策略研究[10-14].

上述研究發現,關于初中教材(2012年審定)數與代數部分的例題中跨學科問題還沒有系統分析和研究,這是有待深入研究的問題.

本文對于人教版初中教材(2012年審定)數與代數部分的例題中跨學科問題進行分析,并對教科書的編寫以及教師對于教科書的使用提出相應的建議.

3 數與代數部分跨學科問題例題的分析

3.1 跨學科內容例題在教科書中的分布情況

“課標”中將初中(7～9)階段劃分為第四學段,該學段數與代數領域主要分為數與式、方程與不等式以及函數[2]三個主題.在這一部分中,共有例題155道,分布如下(表1)

表1 例題所屬章節分布情況

可以發現,在155道例題中,涉及跨學科內容的例題共36道,占例題總數的23.23%,其中不等式與不等式組、一次函數以及反比例函數章節的例題中,涉及跨學科內容的例題占比較大,分別達到了42.86%、44.44%、50.00%,有理數和二次函數則相對較少,只有18.18%、20%.而整式的乘法與因式分解、二次根式和一元二次方程則為0%.例題共涉及九個學科門類,各個學科的占比如圖1所示.我們可以發現其中經濟學以及交通運輸所占比重較大,分別達到了27.78%以及19.44%.環境工程學以及航空航天技術占比較少,僅為2.78%.整體來看,跨學科融合相關例題在所有例題當中占比并不是很大,涉及的學科門類并不廣泛.

圖1 例題內容學科來源分布情況

通過對于初中數學教科書例題分析發現(如表2),數與式主題中例題最多,函數次之,方程與不等式最少.但是涉及跨學科內容的例題所占比例函數主題最多,為38.71%,方程與不等式次之,占比為27.27%,數與式最少,只有17.65%.可以看出涉及跨學科內容的例題分布并不均衡,且不夠深入.

表2 例題所屬主題分布情況

3.2 跨學科內容例題在教科書中呈現的案例

案例1(七年級下冊第九章不等式與不等式組第二節一元一次不等式例2)

去年某市空氣質量良好(二級以上)的天數與全年天數(365)之比達到60%,如果明年(365天)這樣的比值要超過70%、那么明年空氣質量良好的天數比去年至少要增加多少?

該例題出自于七年級下冊第九章第二節中,在這之前,學生學習了不等式的相關概念,為加強對知識的進一步理解和運用,本例題結合實際生活情境,將空氣質量問題與數學結合,從跨學科實例中抽象出數學模型,引導學生在實際情境中運用不等式知識解決相關的問題.在本題中,主要將數學學科與化學(空氣成分)和環境工程學相結合,一方面讓學生初步認識用建立“數學模型化”的方法分析和解決具體問題,從而進一步提高學生學習數學興趣,并通過例題體驗和理解將具體問題轉化為數學問題的過程和方法.另一方面可以引起學生們對于當前空氣質量好與壞及其產生原因的思考,產生相關問題的好奇心,同時感受良好的空氣對于人們日常生活的重要性,進而喚起學生的環保意識.

案例2(九年級下冊第二十六章第二節真實問題與反比例函數例3)

小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1 200 N和0.5 m.

(1)動力F與動力臂I有怎樣的函數關系?當動力臂為1.5 m時,撬動石頭至少需要多大的力?

(2〉若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂I至少要加長多少?

這是一道結合情景解決反比例函數的問題,學生在本章第一節已經對于反比例函數有了初步了解,并且在八年級下冊的物理課上,學生對于杠桿原理、阻力、阻力臂,動力、動力臂有了一定的了解,在此基礎之上,學生就可以根據已有知識經驗,找出數量關系,建立數學模型,進而解決實際問題.這道題將數學以及物理的學科知識進行融合,結合學生已有的數學以及物理知識解決了實際問題,一方面加深了學生對于數學知識的鞏固和運用,另一方面還可以幫助學生構建完整的知識體系,體會學科間的密不可分性.

3.3 跨學科內容例題在教科書中分布的廣度以及深度

在這些跨學科例題當中,共涉及9個學科門類,且大多是將數學與另外一個單一學科融合在一起,涉及兩個學科門類級以上的學科共3道,在這部分例題中,學科間的交叉融合并不深入,僅僅將其作為解決數學問題的情境支撐,整體來看,在初中數與代數部分,跨學科融合的廣度以及深度都有待提高.

4 教科書例題編寫的建議

4.1 在例題設置的內容方面

人教版初中數學教科書關于數與代數部分涉及跨學科內容的例題在總例題中的占比并不多,而且可能受課本篇幅的限制,例題的內容都很簡單,與其他學科雖然有一定的聯系,但是并不深入,在學生學習的過程中,也很難同時注意到數學學科與其他學科知識的聯系,也就很難達到發展學生思維的目的.以核心素養為導向,教科書中的例題編寫不僅要設置跨學科的內容,也要注重背景的介紹以及適當的拓展,結合學生的認知規律和現有水平,設置相應的探究活動,引導學生創造性地理解學科間的關系,感受不同學科的美妙之處.

4.2 在例題設置的位置方面

初中階段的數與代數部分,是學生理解數學符號,以及感悟數學符號表達事物的性質、關系和規律的關鍵內容,是學生初步形成抽象能力、推理能力、感悟用數學的語言表達現實世界的重要載體[1].

在數與式部分,要設置豐富的問題情境以及一些跨學科相關的探究活動,引導學生主動構建不同學科間的聯系,這樣既可以引發學生學習興趣,讓學生們主動思考和學習,也可以讓學生感受到學科間的關聯.在學生初步形成量感之后,對于數與式有了更深的認識,則可繼續結合具體實例深入學習.對于函數以及方程專題來說,則應當編制不同類型的跨學科例題來理解數量關系以及變化規律,了解常量和變量變化的意義,加深與其他學科的聯系,抽象出存在于其中的數學模型,探索不同的未知量之間的關系.增強學生知識的運用以及遷移能力.

4.3 在例題設置的廣度以及深度方面

學生的學習具有整體性和一貫性,因此例題的內容設置也要呈現一定的系統性.人教版教科書跨學科問題例題中,涉及了九個一級學科門類,相對來說種類較少,且多為數學與一門其他學科的融合,是窄而淺的,只是簡單設置情境,沒有引發學生對于其他學科內容的深度思考,學生還是將注意力完全放在解決數學問題上,掌握公式、定理,機械化的解決數學問題,這樣是沒有辦法進一步發展學生的創新創造能力的.因此數與代數部分例題的編寫要加大數學與其他學科的聯系,而不僅僅是將跨學科內容作為數學學習的一個背景,并且考慮將多個學科同時融入例題當中,提高數與代數跨學科問題例題的廣度,當然,也不是涉及的學科門類越多越好,也要考慮到是否合適,使學生以超學科的態度進行學習和探究,才能更好的提升學生的核心素養.

4.4 在例題設置的類型方面

除了重視數學與其他學科的交叉融合之外,現代教育對于數學文化融入數學教學也日益重視,通過對于數學學科與一些人文學科的融合,比如數學文化以及數學史,使得學生可以在這當中感悟數學家們鍥而不舍的探究精神,產生對于數學家們的崇拜之情,并在這個過程中感受到數學的高峰并不是不可攀登,進而培養學生們的探索精神以及學好數學的信心.因此,在例題的編寫部分,也要充分重視數學文化內容的滲透對于學生數學學習的重要作用,將數學文化的內容融入到例題的編寫中去,使例題更加鮮活,更加生動,引導學生感受到數學的文化美.

4.5 教師對于教材的使用

教師是教學的實踐者,應該不斷的更新自己的教育理念,意識到學科融合是教育發展的大勢所趨,并將其滲透到教學的全過程當中去.因此,教師應當深入研讀教科書,有意識引導學生深入挖掘例題中的跨學科知識,拓寬學生的知識面,培養學生的跨學科意識.對于例題中跨學科內容有些欠缺的部分,教師需要針對所講授的內容適當進行拓展,引導學生在更加豐富的情境中解決數學問題.在這個過程中,培養學生跨學科的應用意識和實踐能力,提高學生核心素養.