“數形結合”為主線的整體教學設計
——以“反比例函數與矩形”的探究課設計為例

廣東省深圳實驗學校初中部 秦 哲 (郵編:518000)

1 前言

《義務教育數學課程標準(2022年版)》強調改變過于注重以課時為單位的教學設計,推進單元整體教學設計,體現數學知識之間的內在邏輯關系,以及學習內容與核心素養表現的關聯[1].推進“整體教學”需加強數學知識之間的聯系,以“更高”“更寬”的視角進行數學課程設計,讓學生在問題解決中,體會數學的學科特征,感受并理解數學的內在邏輯,不斷提升數學核心素養.

《義務教育數學課程標準(2022年版)解讀》強調主題單元是培養學生核心素養的重要形式,以數學思想為主線是確定主題單元的重要組織方式[2].多年來,反比例函數一直是中考的熱點和難點,它常常與平面幾何的知識相結合,從而增加試題的復雜性和難度,對學生的綜合能力提出挑戰. 本文對2019年撫順中考數學題進行變式拓展,通過改變問題條件,以“數形結合”的數學思想為主線來架構單元內容結構,圍繞“矩形的兩個頂點能否同時在反比例函數的圖象上”這一探究主題對教學內容進行重組和整合,為“整體教學”提供范例和思考,供大家討論.

2 教學設計

問題1如圖1,求點C的坐標.(2019年撫順中考數學題)

圖1

C(6,2),解析略.

問題2如圖2,連接BD與反比例函數相交于點K,求點K的坐標.

圖2

圖3

圖4

評注通過改變問題結構,拓展了3個問題,旨在幫助學生鞏固解決函數問題的方法和技巧.問題2鞏固求交點的重要方法:聯立方程;問題3引導學生通過不同方向對點P進行平移:水平方向、垂直方向、沿射線方向等等,拓展學生問題解決的思路.問題4引導學生利用“數”與“形”兩種視角解決問題,發展“數形結合”思想:方法1利用反比例函數解析式建方程;方法2關注“反比例函數圖象的中心對稱性”.

3 問題拓展

圖5

圖6

評注法國數學家笛卡爾說過:“我所解決的每一個問題,將成為一個模式,以用于解其他問題.”數學的問題千變萬化,看似毫不相關,表面上存在差異的問題,本質的結構是相同的,都能使用相同的方法和思路進行解決.問題1是對例題1的發展和延伸,學生需更加全面地分析問題,并將問題分為兩種情況,再利用例題1中問題4的方法進行解決,學生經歷問題解決不斷鞏固解題技巧和方法,加深對矩形與反比例函數的性質的理解.

問題2結論:“當k<0時,無論k取何值,若矩形ABCD有兩個頂點在反比例函數的圖象上,則符合條件的頂點A一定有4種”,請判斷此結論是否正確,并說明理由.

根據前面的學習經驗,將問題進行分類:情況1. 頂點B和頂點D在反比例函數圖象上;情況2. 頂點A和頂點C在反比例函數的圖象上.如圖7,可讓學生用GeoGebra來直觀感受這個結論是否正確,改變反比例函數的k值,拖動矩形ABCD去驗證矩形ABCD的兩個頂點是否同時在反比例函數的圖象上.

圖7

評注問題2由問題1的“確定性問題”拓展為“存在性問題”,解決方法和思想一脈相承,通過設點坐標,利用線段的數量和位置關系構建方程.學生在GeoGebra軟件中改變k的大小,拖動矩形ABCD的位置,通過直觀地理解和分析得到一個初步的結論,觀察和猜想得到的結論不一定是正確,需通過嚴謹的數學證明,證明的關鍵是將幾何問題利用“數形結合”的思想“轉化”為代數問題進行解決,感受“數形結合”的魅力,深化對“方程”和“轉化”數學思想的理解,提升學生綜合運用反比例函數的概念、解析式、圖象等性質解決問題的能力.

圖8

圖9

圖10

評注問題3關注“變化”中的“不變性”,雖然反比例函數的解析式和矩形ABCD的位置“變化”,但直線AC始終經過原點,學生繼續使用GeoGebra軟件探究變化,不斷提升動態的數學思維.在問題解決中,有學生會利用參數k表示點A和點C的坐標,進而求出AC的解析式,得到直線AC的截距為零,進而證明直線AC經過原點,此方法正確,但方法復雜,教師在教學中適當肯定與提醒.

4 感悟與思考

數形結合主要指“數”與“形”之間的一種一一對應關系,其實質就是實現抽象的數學語言、復雜的數學關系與直觀的幾何圖形、明了的位置關系之間的相互轉化,將抽象思維與形象思維相結合[3].前文闡述了以“數形結合”思想為主線的單元整體教學設計,通過研究與矩形ABCD的兩個頂點在反比例函數圖象上有關的存在性問題,不斷發揮直觀對抽象的支撐作用,用代數方法分析幾何圖形,促進問題的邏輯化理解;利用幾何方法分析代數,洞察數學問題的本質,“數”與“形”優勢互補,相輔相成.

《義務教育數學課程標準(2022年版)》強調應根據學生已有的知識經驗、認知水平、學習要求,結合具體內容特點系統規劃單元教學目標,整體把握結構化的課程內容,選擇能促進學生思考的教學方式,在教學中整體設計、分布實施[1].例題1旨在鞏固反比例函數的基礎知識,理解并強化解題的基本方法和技巧,如:利用矩形的性質和反比例函數的解析式構建方程解決問題等等;例題2中的矩形ABCD“動”起來了,由例題1的“靜態問題”變為與“存在性”有關的“動態問題”, 在問題1中,學生聯系“舊問題”解決“新問題”,問題3又引入反比例函數和一次函數的圖象變化,進一步加強數學知識的聯系. 問題設置由易到難,由“單一”到“綜合”,幫助學生理解知識的本質,從解題技能層面延伸至數學思想和方法的內化與鞏固,促進知識相互遷移與拓展,培養綜合運用的能力.

在平時的教學中,有許多“數形結合”有關的知識內容:一次函數圖象上點的坐標與二元一次方程的解,一次函數與二次函數的交點坐標與一元二次方程的解等等,若只就單一的知識點或習題進行講解則無法有效滲透“數形結合”的數學思想,應充分考慮課程內容的結構和學生的學習特點與認知水平,充分挖掘知識之間的內在聯系,以“整體教學”統領課程設計. 而“整體教學”并不是把各種數學知識松散地拼湊在一起,應以某個數學思想為主線、某個數學知識為主題,如:本文以反比例函數的數學知識為主要內容,充分整合反比例函數、矩形、一次函數等知識,以問題串的形式形成探究活動,沿著主題知識相關的內容進行探究和拓展,將探究活動中總結的技巧和思想方法串聯起來,幫助學生厘清知識之間的邏輯關系和脈絡體系,形成系統化的知識體系. 本文中的問題可繼續拓展:例題2的問題3中,若矩形ABCD的頂點A和C在反比例函數的圖象上,那么直線BD一定經過原點嗎?等等.教師在教學中關注問題的“生長”,引發學生不斷思考,延伸課程內容,產生新的問題,幫助學生拓展數學視野,讓學生在不斷的問題解決中增加興趣,享受成就感.