BCI代數的Ω-猶豫模糊P理想

姜 曼

(西安交通工程學院 公共課部,西安 710300)

0 引 言

自從模糊集[1]的概念被提出后,模糊集已經應用到生活中的各個方面.模糊集及其擴展在處理問題中的不確定性方面取得了成功的結果,在世界范圍內,人們對模糊集的應用興趣正在迅速增長.由于需要考慮元素之間非此即彼的關系,文獻[2]提出了直覺模糊集;由于在客觀事物都具有兩極性,在處理問題中難免有更多的不確定性,文獻[3]提出了雙極值模糊集的概念;Ω-模糊集[4]是經典凸集的推廣,它是線性空間中一類特殊的模糊集;為了能夠更全面,更精確地了解決策者對信息的判斷,文獻[5]提出了猶豫模糊集.直覺模糊集和雙極值模糊集已經得到推廣,這些模糊化思想也被應用到其他代數結構中,一系列結論相繼出現,例如,文獻[6]研究了否定非對合剩余格中的雙極值模糊理想并討論了它們的性質,文獻[7]把直覺模糊理論和教學評價相結合做的一些研究,更多結論見文獻[8-9].

猶豫模糊集是一種表達現實生活中人們在決策中模棱兩可的有用工具,它解決了很多不確定性問題.它在解決問題時比一般的模糊集更精準,能夠解決一些存在猶豫性的,不確定的問題,這在許多數學模型中都有應用[10-12].猶豫模糊集的思想更接近于一般思維,能更準確地研究邏輯代數.文獻[13-14]提出了Baltic Capesize Index Algebras(簡稱BCI代數),并在BCI代數中引入了模糊 Prime Ideal(簡稱P理想)的概念,BCI代數是邏輯代數的一個典型代表,它上面的準則,比如濾子、子代數、理想等都有很強的研究意義.因此,本文主要研究BCI代數中的Ω-猶豫模糊P理想,得到了一些有意義的結果.

1 預備知識

1.1 BCI代數

定義1[13]對一個集合X,如果它滿足下列條件:對?x,y,z∈X,有

(i) {(x*y)*(x*z)}*(z*y)=0; (ii) {x*(x*y)}*y=0; (iii)x*x=0;

(iv)x*y=y*x=0?x=y; (v)x*0=0?x=0,

則稱集合X為BCI代數.

定義2[13]設X是BCI-代數,I是X上的非空子集,如果I滿足以下條件:

(vi) 0∈I; (vii) ?x,y∈X,x*y∈I和y∈I,x∈I,

則稱I是X上的理想.

在本文中,用Ω和X表示BCI代數上的非空集合.

定義3[13-15]μ是X上的模糊集,如果?x,y∈X,μ滿足下列條件:

(viii)μ(0)≥μ(x); (ix)μ(x)≥μ(x*y)∧μ(y),

則稱μ是X上的模糊理想.

定義4[15]設I是X上的非空子集,?x,y∈X,如果μ滿足下列條件:

(vi) 0∈I; (x)(x*z)*(y*z)∈I和y∈I,x∈I,

則稱μ是X上的P理想.

定義5[15]μ是X上的模糊集,?x,y,z∈X,如果μ滿足(viii)和下列條件:

(xi)μ(x)≥μ((x*z)*(y*z))∧μ(y),

則稱μ是X上的模糊P理想.

定義6[5]設Ω,X表示一非空集合,稱映射δ∶R×Ω→[0,1]為R的Ω-模糊集.

定義7[16]δ是X上的Ω-模糊集,如果?x,y∈X,q∈Ω,δ滿足下列條件:

(xii)δ(0,q)≥δ(x,q); (xiii)δ(x,q)≥δ(x*y,q)∧δ(y,q),

則稱δ是X上的Ω-模糊P理想.

性質1[15]設X是BCI代數,則有

(xiv)0*(0*((x*z)*(y*z)))=(0*y)*(0*x);

(xv)0*(0*((x*y))=(0*y)*(0*x).

1.2 猶豫模糊集

定義8[5]設X是一個給定集合,一個X上的猶豫模糊集A的定義如下:A∶{(x,hA(x))|x∈X},其中hA(x)是由區間[0,1]上若干個不同值構成的集合,表示X中的元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度.記X上的全體猶豫模糊集為HF(X).

如果P([0,1])為區間[0,1]的冪集,A為X上的猶豫模糊集.稱集合X(A,γ)∶={x∈X|γ?hA(x)}為A的猶豫水平集,并且γ∈P([0,1]).

2 Ω-猶豫模糊P理想

定義9設X上的Ω-猶豫模糊集A具有如下形式:A∶{(x,hA(x,q))|x∈X,q∈Ω}.

記X上的全體Ω-猶豫模糊集為Ω-HF(X).

定義10設A∈HF(X),對?x,y,z∈X,如果A滿足以下條件:

(i)hA(0)?hA(x);

(ii)hA(x)?hA((x*z)*(y*z))∩hA(y),

則稱A是X的猶豫模糊P理想.記X的全體猶豫模糊P理想為HFPI(X).

定義11設A∈Ω-HF(X),對?x,y,z∈X,q∈Ω,如果A滿足以下條件:

(iii)hA(0,q)?hA(x,q);

(iv)hA(x,q)?hA((x*y),q)∩hA(y,q),

則稱A是X的Ω-猶豫模糊理想.記X的全體猶豫模糊理想為Ω-HFI(X).

定義12設A∈Ω-HF(X),對?x,y,z∈X,?q∈Ω,如果A滿足以下條件:

(iii)hA(0,q)?hA(x,q);

(v)hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q),

則稱A是X的Ω-猶豫模糊P理想.記X上全體Ω-猶豫模糊P理想為Ω-HFPI(X).

例1(i) 每一個常數函數A∶X×Ω→[0,1]是X的Ω-猶豫模糊P理想.

(ii) 令X={0,a,b,c}是一個BCI代數,且滿足下表:

表1 BCI代數

定義X上的Ω-猶豫模糊集如下:對任意的q∈Ω,hA(0,q)=0.8,hA(a,q)=0.6,hA(b,q)=hA(c,q)=0.5;通過計算可得A是X的Ω-猶豫模糊P理想.

性質2若A∈Ω-HF(X),A∈Ω-HFPI(X).如果對?x,y∈X,且x≤y,那么有hA(x,q)?hA(y,q).

性質3設A∈Ω-HFPI(X),如果?x∈X,q∈Ω,則有hA(x,q)?hA(0*(0*x),q)成立.

證因為A∈Ω-HFPI(X),則對?x,y,z∈X,?q∈Ω,有

hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q),

現在用x代替z,用0代替y,則有

hA(x,q)?hA((x*x)*(0*x),q)∩hA(0,q)=hA(0*(0*x),q)∩hA(0,q)=hA(0*(0*x),q).

定理1如果A∈Ω-HFPI(X),則A∈Ω-HFI(X).

證令A∈Ω-HFPI(X).對?x,y∈X,?q∈Ω,由于x*0=x,則有

hA(x,q)?hA((x*0)*(y*0),q)∩hA(y,q)=hA(x*y,q)∩hA(y,q).

因此,A∈Ω-HFI(X).

注 定理1的逆,即如果A是X上的Ω-猶豫模糊理想,不能得到A是X上的Ω猶豫模糊P理想,下面給出具體例子說明此結論.

例2令X={0,a,b,c,d}是一個BCI代數,滿足下表:

表2 BCI代數

定義X上的Ω-猶豫模糊集如下:A∶X×Ω→[0,1],且對任意的q∈Ω,令

hA(0,q)=0.71,hA(a,q)=0.62,hA(b,q)=hA(c,q)=hA(c,q)=0.58;

根據計算可得A∈Ω-HFI(X).但是

hA(a,q)?hA((a*b)*(0*b),q)∩hA(0,q),

因此A?Ω-HFPI(X).

定理2設A∈Ω-HFPI(X),如果對?x,y,z∈X,?q∈Ω,則hA((x*z)*(y*z),q)?hA(x*y,q)成立.

證在BCI代數中有(x*z)*(y*z)≤x*y成立,則有

((x*z)*(y*z))*(x*y)=0.

因為A∈Ω-HFPI(X),則由定理1可得A∈Ω-HFI(X).即對?x,y,z∈X,?q∈Ω,有

hA((x*z)*(y*z),q)?hA(((x*z)*(y*z))*(x*y),q)∩hA(x*y,q)
=hA(0,q)∩hA(x*y,q)=hA(x*y,q).

定理3設A∈Ω-HFI(X),如果對?x,y,z∈X,?q∈Ω,有

hA((x*y)*(y*z),q)?hA(x*y,q)

成立,則有A∈Ω-HFPI(X).

證因為A∈Ω-HFI(X),對?x,y,z∈X,?q∈Ω,則有

hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)?hA(y,q)∩hA(x*y,q)?hA(x,q)

和定義11(iii)成立,因此,A∈Ω-HFPI(X).

說明 若A∈Ω-HFI(X),則有hA(0*(0*x),q)?hA((0*(0*x))*x,q)∩hA(x,q).

定理4如果A∈Ω-HFI(X),則對?x∈X,?q∈Ω,有hA(x,q)?hA(0*(0*x),q)成立.

證若A∈Ω-HFI(X),則對?x∈X,?q∈Ω,有

hA(0*(0*x),q)?hA(0*(0*x)*x,q)∩hA(x,q)=hA(0,q)∩hA(x,q)=hA(x,q)

成立.

定理5設A∈Ω-HFI(X),如果對?x∈X,?q∈Ω,有hA(x,q)?hA(0*(0*x),q)成立,則有A∈Ω-HFPI(X).

證對?x,y,z∈X,?q∈Ω,因為A∈Ω-HFI(X),由定理4以及性質1,有

hA((x*z)*(y*z),q)?hA(0*(0*((x*z)*(y*z))),q)=hA((0*y)*(0*x),q)
=hA(0*(0*(x*y)),q)?hA(x*y,q).

因此,由定理3可得,A∈Ω-HFPI(X).

定理6設A,B∈Ω-HF(X) ,如果A,B∈Ω-HFPI(X),則A∩B∈Ω-HFPI(X).

證由于A,B∈Ω-HFPI(X),因此對?x,y,z∈X,?q∈Ω,則

hA∩B(0,q)=hA(0,q)∩hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(x,q)=hA∩B(x,q),

hA∩B(x,q)=hA(x,q)∩hB(x,q)

?(hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q))∩(hB((x*z)*(y*z),q)∩hB(y,q))

=(hA((x*z)*(y*z),q)∩hB((x*z)*(y*z),q))∩(hA(y,q)∩hB(y,q))

=hA∩B((x*z)*(y*z),q)∩hA∩B(y,q).

定義13設X和X′都是BCI代數,f是X到X′的同態映射,A與B分別是X和X′上的Ω-猶豫模糊集,則由f可以誘導出兩個Ω-猶豫模糊集f(A)和f-1(B):

定理7X,X′是兩個BCI代數,設f∶X→X′是同態滿射,B∈Ω-HF[X′],如果B∈Ω-IFPI[X′],則有f-1(B)∈Ω-IFPI[X].

證設

B={x,hB(x,q)|x∈X′,q∈Ω},f-1(B)={x,hf-1(B)(y,q)|x,y∈X′,q∈Ω}.

由于B∈Ω-IFPI[X′],因此對?x∈X,?q∈Ω,有

hf-1(B)(0,q)=hB(f(0),q)=hB(0′,q)?hB(f(x),q)=hf-1(B)(x,q),

對?y′,z′∈X′,?q∈Ω.因為f∶X→X′是同態滿射,所以?y,z∈X,使得f(y)=y′,f(z)=z′.則有

hf-1(B)(x,q)?hB((f(x)*z′)*(y′*z′),q)∩hB(y′,q)

=hB((f(x)*f(z))*(f(y)*f(z)),q)∩hB(f(y),q)

=hB(f((x*z)*(y*z)),q)∩hB(f(y),q)

=hf-1(B)((x*z)*(y*z),q)∩hf-1(B)(y,q),

因此f-1(B)∈Ω-IFPI[X].

定理8X,X′是兩個BCI代數,設f∶X→X′是同態滿射,若A具有上確界且滿足A∈Ω-HFPI[X],則有f(A)∈Ω-HFPI[X′].

證設

A={x,hA(x,q))|x∈X,q∈Ω},

f(x)={y,hf(x)(y,q)|f(x)=y,y∈X,q∈Ω}.

由于0∈f-1(0′),則對?x∈X,?q∈Ω,有

對?x′∈X′,?q∈Ω,有

對?x′,y′,z′∈X′,?q∈Ω,令x0∈f-1(x′),y0∈f-1(y′),z0∈f-1(z′),則有

因此可得

綜上可得,f(A)∈Ω-HFPI[X′].

現在,研究如何用猶豫模糊P理想構造Ω猶豫模糊P理想.

定理9X是一個BCI代數,令Ω={A|A∈HFPI(X)},定義B∈Ω-HF(X),如果對?x∈X,?B∈Ω,hB(x,A)=hA(x), 則B∈Ω-HFPI(X).

證?x∈X,?A∈Ω,則有

hB(0,A)=hA(0)?hA(x)=hB(x,A).

?x,y,z∈X,?A∈Ω,可得

hB(x,A)=hA(x)?hA((x*z)*(y*z))∩hA(y)=hB((x*z)*(y*z),A)∩hB(y).

因此,B∈Ω-HFPI(X).

定義XΩ∶Ω→X,在XΩ上定義二元運算?:

(α?β)(q)=α(q)*β(q),α,β∈XΩ,q∈Ω,

則(XΩ,?,θ)是一個BCI代數,且對q∈Ω,θ是XΩ上的零映射當且僅當θ(q)=0.

定理10設A∈HFPI(X),如果f∶XΩ×Ω→[0,1],其中hf(α,q)=hA(α(q)),α∈XΩ,q∈Ω.則f∈Ω-HFPI(XΩ).

證對α,β,γ∈XΩ,q∈Ω,有

hf(α,q)=hA(α(q))?hA(0)=hA(θ(q))=hf(θ,q),

hf(α,q)=hA(α(q))?hA((α(q)*γ(q))*(β(q)*γ(q)))∩hA(β(q))

=hA((α?γ)(q)*(β?γ)(q))∩hA(β(q))

=hA((α?γ)?(β?γ))(q))∩hA(β(q))

=hf((α?γ)?(β?γ),q)∩hf(β,q),

因此f∈Ω-HFPI(XΩ).

定理11令A∈Ω-HFPI(XΩ),對?q∈Ω,定義Aq∶X→[0,1],其中對?x∈X,hAq(x)=hA(x,q).則有Aq∈Ω-HFPI(X).

證對?x∈X,?q∈Ω,有

hAq(0)=hA(0,q)?hA(x,q)=hAq(x).

令x,y,z∈X,q∈Ω,則

hAq(x)=hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)=hAq((x*z)*(y*z))∩hAq(y),

因此,Aq∈Ω-HFPI(X).

定理12令A∈Ω-HF(X),A∈Ω-HFPI(X)當且僅當對?γ∈[0,1],則有

R(A,γ)={x∈X|hA(x,q)?γ,q∈Ω}≠?

是X的P理想.

證假設A∈Ω-HFPI(X),由定義12可得,對?x∈X,q∈Ω,hA(0,q)?hA(x,q).因此,hA(0,q)?hA(x,q)?γ,所以0∈R(A,γ).

令(x*z)*(y*z)∈R(A,γ),y∈R(A,γ),則

hA((x*z)*(y*z),q)?γ,hA(y,q)?γ.

因為A∈Ω-HFPI(X),則有

hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)?γ,

因此A∈Ω-HFPI(X).

反之,僅需要證明定義12中的(i)和(ii)成立.用反證法證明.

假設(i)不成立.則存在x′∈X,q′∈Ω,使得

hA(x′,q′)?hA(0,q′).

如果令γ′=[hA(x′,q′)+hA(0,q′)]/2,則有hA(x′,q′)?γ′?hA(0,q′).因此x′∈A且R(A,γ)≠?.因為R(A,γ)是X的P理想,則有0∈R(A,γ),因此γ′?hA(0,q′).產生矛盾.

假設(ii)不成立.則存在x′,y′,z′∈X,q′∈Ω,有

hA(x′,q′)?hA((x′*z′)*(y′*z′),q′)∩hA(y′,q′).

令

γ′=[hA(x′,q′)+hA((x′*z′)*(y′*z′),q′)∩hA(y′,q′)]/2,

則

hA(x′,q′)?γ′?hA((x′*z′)*(y′*z′),q′)∩hA(y′,q′),

因此可得

γ′?hA((x′*z′)*(y′*z′),q′),γ′?hA(y′,q′),

即(x′*z′)*(y′*z′)∈R(A,γ),y′∈R(A,γ).因為R(A,γ)是X的P理想,則有x′∈R(A,γ),并且hA(x′,q′)?γ′.這仍然矛盾.

定理13若A∈Ω-HFPI(X),則對?x0∈X,Ix0={x∈X|hA(x,q)?hA(x0,q),q∈Ω}≠?是X的P理想.

Ix0={x∈X|hA(x,q)?hA(x0,q),q∈Ω}

是X的P理想.

3 Ω-猶豫模糊P理想的乘積

定義14設ξ是X上的一個Ω-猶豫模糊關系,則稱ξ是X×X上的Ω猶豫模糊集.其中ξ定義如下:ξ∶(X×X)×Ω→[0,1].

定義15設A,B∈Ω-HF(X),對?x,y∈X,q∈Ω,A和B的乘積A×B定義如下:

hA×B((x,y),q)=hA(x,q)∩hB(y,q).

引理1令A,B∈Ω-HF(X),則以下結論成立:

(i)A×B是X上的Ω-猶豫模糊關系;(ii)?t∈[0,1],(A×B)t=At×Bt.

定義16設A∈Ω-HF(X),則X上的強Ω-猶豫模糊關系ξ0是X×X上的Ω猶豫模糊集,且ξ0定義如下:hξ0((x,y),q)=hA(x,q)∩hB(y,q),?x,y∈X,q∈Ω.

引理2設A∈Ω-HF(X),如果ξ0是X上的強Ω-猶豫模糊關系,則對?t∈[0,1],有(ξ0)t=At×At.

定理14設A∈Ω-HF(X),ξ0是X上的強Ω-猶豫模糊關系.如果ξ0是X×X上的Ω猶豫模糊P理想,則對?x∈X,q∈Ω,有hA(0,q)?hA(x,q)成立.

證因為ξ0是X×X上的Ω猶豫模糊P理想,即對?x∈X,q∈Ω,hξ0((0,0),q)?hξ0((x,x),q).因此

hA(0,q)∩hA(0,q)?hA(x,q)∩hA(x,q),

由此可得hA(0,q)?hA(x,q).

定理15令A,B∈Ω-HFPI(X),則A×B∈Ω-HFPI(X×X).

證對?(x,y)∈X×X,q∈Ω,由于A,B∈Ω-HFPI(X),首先

hA×B((0,0),q)=hA(0,q)∩hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(y,q)=hA×B((x,y),q).

又令(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)∈X×X,q∈Ω,則有

hA×B(((x1,x2)*(z1*z2))*((y1,y2)*(z1*z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA×B(((x1*z1,x2*z2)*(y1*z1,y2*z2),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA×B(((x1*z1)*(y1*z1),(x2*z2)*(y2*z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA(((x1*z1)*(y1*z1),q)∩hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hA(y1,q)∩hB(y2,q)

=hA((x1*z1)*(y1*z1),q)∩hA(y1,q)∩hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hB(y2,q)

?hA(x1,q)∩hB(y1,q)=hA×B((x1,y1),q).

即證A×B∈Ω-HFPI(X×X).

定理16A,B∈Ω-HF(X),如果A×B∈Ω-HFPI(X×X),則以下結論成立:

(i) ?x∈X,q∈Ω,hA(x,q)?hA(0,q)或hB(x,q)?hB(0,q)成立.

(ii) ?x∈X,q∈Ω,若hA(x,q)?hA(0,q),可得hA(x,q)?hB(0,q)或者hB(x,q)?hB(0,q)成立.

(iii) ?x∈X,q∈Ω,若hB(x,q)?hB(0,q),可得hA(x,q)?hA(0,q)或者hB(x,q)?hA(0,q)成立.

(iv)A∈Ω-HFPI(X)或B∈Ω-HFPI(X).

證(i)假設對?x,y∈X,q∈Ω,hA(x,q)?hA(0,q)和hB(y,q)?hB(0,q)成立.則有

hA×B((0,0),q)=hA(0,q)∩hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(y,q)=hA×B((x,y),q).

產生矛盾.因此(i)成立.

(ii)假設存在x,y∈X,q∈Ω,hA(x,q)?hA(0,q)和hB(y,q)?hB(0,q)成立.因此

hA×B((0,0),q)=hA(0,q)∩hB(0,q)=hB(0,q).

即

hA×B((0,0),q)=hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(y,q)=hA×B((x,y),q).

產生矛盾,因此(ii)成立.

(iii)證明同(ii).

(iv)對?x,y∈X,q∈Ω,由(i)可得hA(x,q)?hA(0,q)或hB(x,q)?hB(0,q)成立.假設hB(x,q)?hB(0,q),由(iii)可得hA(x,q)?hA(0,q)或hB(x,q)?hA(0,q)成立.如果對?x∈X,q∈Ω,hB(x,q)?hA(0,q),則有

hA×B((0,x),q)=hA(0,q)∩hB(x,q)=hB(x,q).

令(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)∈X×X,q∈Ω,因為A×B∈Ω-HFPI(X×X),有

hA×B((x1,y1),q)?hA×B((x1,x2)*(z1,z2))*((y1,y2)*(z1,z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA×B(((x1*z1)*(y1*z1),(x2*z2)*(y2*z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q).

(1)

如果令x1=y1=z1=0,則

hB(x2,q)=hA×B((0,x2),q)

?hA×B((0,(x2*z2)*(y2*z2)),q)∩hA×B((0,y2),q)

=hA(0,q)∩hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hA(0,q)∩hB(y2,q)

=hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hB(y2,q).

即證B∈Ω-HFPI(X×X).

現在考慮對?x∈X,q∈Ω,有hA(x,q)?hA(0,q)成立.假設對?x∈X,q∈Ω,有hB(y,q)?hA(0,q)成立.則

hB(0,q)?hB(y,q)?hA(0,q).

因為hA(x,q)?hA(0,q),則有hB(0,q)?hA(x,q).因此

hA×B((x,0),q)=hA(x,q)∩hB(0,q)=hA(x,q).

在(1)中,令x2=y2=z2=0,則有

hA(x1,q)=hA×B((x1,0),q)

?hA×B(((x1*z1)*(y1*z1),0),q)∩hA×B((y1,0),q)

=hA((x1*z1)*(y1*z1),q))∩hB(0,q)∩hA(y1,q)∩hB(0,q)

=hA((x1*z1)*(y1*z1),q)∩hB(y1,q).

即證A∈Ω-HFPI(X×X).

現在給出具體例子說明,如果A×B∈Ω-HFPI(X×X),則A和B不一定是X的Ω猶豫模糊P理想.

例3X是一個BCI代數,且|X|≥2.定義X上的Ω-猶豫模糊集,對?x∈X,q∈Ω,分別定義

則

hA×B((x,y),q)=hA(x,q)∩hB(y,q)=0.4,

即A×B是常函數,因此A×B∈Ω-HFPI(X×X).現在有A∈Ω-HFPI(X),但是當x≠0時,有

hB(0,q)=0.6<1=hB(x,q),

所以B?Ω-HFPI(X).

定理17設A∈Ω-HF(X),ξ0是X上的強Ω-猶豫模糊關系.則A∈Ω-HFPI(X)當且僅當ξ0∈Ω-HFPI(X×X).

證假設A∈Ω-HFPI(X),對?x,y∈X,q∈Ω,有

hξ0((0,0),q)=hA(0,q)∩hA(0,q)?hA(x,q)∩hA(y,q)=hξ0((x,y),q).

對?(x,x′),(y,y′),(z,z′)∈X×X,q∈Ω.有

hξ0((x,x′),q)=hA(x,q)∩hA(x′,q)

?[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)]∩[hA((x′*z′)*(y′*z′),q)∩hA(y′,q)]

=[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA((x′*z′)*(y′*z′),q)]∩hA(y,q)∩hA(y′,q)

=hξ0(((x*z)*(y*z),(x′*z′)*(y′*z′)),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0((x*z,x′*z′)*(y*z,y′*z′),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0((x,x′)*(z,z′))*((y,y′)*(z,z′)),q)∩hξ0((y,y′),q),

因此ξ0∈Ω-HFPI(X×X).

反之,假設ξ0∈Ω-HFPI(X×X),則對?x∈X,q∈Ω,

hA(0,q)=hξ0((0,0),q)?hξ0((x,x),q)=hA(x,q).

對?(x,x′),(y,y′),(z,z′)∈X×X,q∈Ω.則有

hA(x,q)∩hA(x′,q)=hξ0((x,x′),q)

?hξ0((x,x′)*(z,z′))*((y,y′)*(z,z′)),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0((x*z,x′*z′)*(y*z,y′*z′),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0(((x*z)*(y*z),(x′*z′)*(y′*z′)),q)∩hξ0((y,y′),q)

=[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA((x′*z′)*(y′*z′),q)]∩hA(y,q)∩hA(y′,q)
=[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)]∩[hA((x′*z′)*(y′*z′),q)∩hA(y′,q)].

特別地,如果令x′=y′=z′=0,則

hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q).

因此A∈Ω-HFPI(X).

4 結 論

作為模糊集一個重要的分支,猶豫模糊集對研究BCI代數有非常重要的理論意義. 許多文獻在研究了BCI代數理論時,側重點主要是此代數中的濾子和理想等相關性質.本文在相關概念的基礎上研究了BCI代數的Ω-猶豫模糊P理想,討論了它的一些性質,豐富了BCI代數和猶豫模糊集的理論研究.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.