“大概念”引領下數學解題教學的實踐與思考
——以“一類導數恒成立問題的策略”為例

程建新, 田 闊

(1.杭州市余杭中學,浙江 杭州 311121;2.浙江省蔡小雄名師工作室,浙江 杭州 310000)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出,進一步精選學科內容,重視以學科大概念為核心,使課程內容結構化,以主題為引領,使課程內容情境化,促進學科核心素養的落實.可以看出,學科大概念在新課程、新高考的實施中占有十分重要的地位.圍繞大概念的研究目前主要集中在基于大概念理解的單元整體教學設計,而基于大概念視角的解題及解題教學的探索還很少[1].

劉徽教授指出,大概念是將素養落實到具體教學中的錨點,是指反映專家思維方式的概念、觀念或論題,具有生活價值.理解大概念有助于形成高通路遷移,形成具體與抽象的復雜認知結構.大概念的理解不僅可以讓學生通過掌握少而精的內容,形成結構化的知識網絡,在真實情境中建構大概念,從而提升獨立且真實地解決問題的能力,還可以在遷移應用中內化大概念,對提升學生的核心素養具有重要意義.

在高三的復習備考過程中,學生需要經歷各個單元的系統復習,對所學知識進行二次加工,在提升解題思維方面狠下功夫.因此,教師需要引導學生回歸原點,將相關聯的知識和方法進行歸類、整合,以“大概念”引領高三的深度復習,幫助學生形成豐富的知識網絡和解題方法體系.筆者開設了一節“一類導數恒成立問題的策略”的高三復習課,下面以這節課為例展開說明.

1 提取大概念,明確學習目標

為了獲取“利用導數解決恒成立問題”的大概念,需要站在整個“函數”與“導數”單元的高度對教學內容進行剖析.從課程標準的角度定位,函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.從函數基本性質的研究,再到冪函數、指數函數、對數函數、三角函數,一類一類地研究這些基本初等函數,對每一類函數,都由圖象到性質、由性質到圖象地進行研究.“導數”單元是對函數性質和基本初等函數的進一步深化研究,利用“導數”這一工具,定量地研究函數的局部性質(如極值點、最值點、零點等).因此,研究重心還是“函數”,“函數的基本性質”和“回歸原點”的解題理念是本節課的大概念.

恒成立問題是學生從高一就接觸的一類典型問題.學生對處理恒成立問題的兩種基本方法(最值分類討論法和參變分離法)已經很熟悉,而導數中的恒成立問題是新高考考查的重點與難點之一,學生對于“導數”工具還是稍感陌生,對求導的目的不清,很多時候,學生只知道求導,但是卻不知道求導是為了什么,難以回歸到導數單元的大概念原點——函數.

2 導數中恒成立策略探究的問題設計

2.1 創設情境,激發興趣

本節課以一道高考導數題為例:

(2020年全國數學高考Ⅰ卷理科試題第21題節選)

問題1這是一道函數恒成立問題,你認為有哪些方法可以解決這類問題?

生1:參變分離.

師:請用參變分離嘗試解決,在解決過程中你遇到了哪些困難?

師:還有其他方法嗎?

最后轉化為求函數

的最大值,難點在于涉及參數范圍的討論,比較煩瑣.

師:導數是研究函數局部性質的工具,我們能否通過觀察函數的局部特征為參數范圍探路呢?這是本節課要研究的內容.

2.2 問題引領,探究生成

2.2.1 探路手段1:端點效應,端點代入

例2已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求實數a的取值范圍.

(2016年全國數學高考新課標Ⅱ卷文科試題第20題節選)

問題2請觀察不等式右邊的值與函數值的關系,你發現了什么特征?

生4:當x=1時,f(1)=0,即f(x)>0=f(1),剛好在端點處取到.

師:這說明函數f(x)在x=1附近的小鄰域內具有什么特征?

生5:說明函數f(x)在x=1附近的小鄰域內一定會呈現單調遞增的趨勢.

師:為什么會呈現局部遞增的趨勢呢?

生6:因為如果f(x)在x=1附近的小鄰域(1-δ,1+δ)(其中δ>0)內遞減,那么f(x)

師:函數f(x)在x=1附近的小鄰域內單調遞增,如何用數學語言進行刻畫?

生7:f(x)在x=1處的導函數f′(x)≥0.

師:那么這個參數a的范圍a≤2是否就是最終要求的范圍呢?

生8:應該是的.

師:a≤2這個范圍只是一個必要條件,下面我們把a≤2當作已知條件,來證明充分性.

當a≤2時,

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)

≥(x+1)lnx-2(x-1).

接下來證明(x+1)lnx-2(x-1)>0即可.將對數單獨分離出來進行考慮,由于

只需證明

從而g(x)在區間(1,+∞)上單調遞增,即

g(x)>g(1)=0,

于是當a≤2時,f(x)>0.

當a>2時,直接考察函數f(x)的單調性,因為

所以f′(x)在區間(1,+∞)上單調遞增,且

根據零點存在定理,可知存在x0∈(1,+∞),使得f′(x0)=0,函數f(x)在區間(1,x0)上單調遞減,在區間(x0,+∞)上單調遞增,則

f(x0)

與已知f(x)>0矛盾,故充分性不成立.

設計意圖通過問題鏈的設計,引導學生觀察函數的端點值,回歸函數與導數的大概念:函數,從而得到命題成立的必要條件,在此基礎上再證明充分性.該方法稱為“端點效應”,本質是利用導數定量地刻畫函數在局部鄰域內的單調性,同時也為分類討論提供了分類的“界點”.

2.2.2 探路手段2:端點效應,局部恒成立

(2011年全國數學高考新課標卷理科試題第21題節選)

問題3你認為用參變分離的方法,可行嗎?

生9:參變分離,得

求極值點非常煩瑣.

問題4能否直接移項構造函數,觀察端點值有何特征?

生10:移項得到

師:我們不妨將自變量范圍限定在x∈(1,+∞),則問題可以轉化為

恒成立,利用端點效應可以得到什么?

故

k≤0.

師:下證充分性.當k≤0時,

從而當x∈(1,+∞)時,

h(x)

當x∈(0,1)時,

h(x)>h(1)=0,

則

命題得證.

當k>0時,不等式不恒成立,請同學們自行證明,此處不再贅述.

設計意圖通過該問題的設計,引導學生深刻理解導數是定量地研究函數局部性質的工具,將問題轉化為導函數在局部小鄰域內的恒成立問題,從而得到命題成立的必要條件,在此基礎上再證明充分性.

2.2.3 探路手段3:極值點效應

例4已知函數f(x)=ex-1-x-ax2,當a≥0時,f(x)≥0,求實數a的取值范圍.

(2010年全國數學高考新課標卷理科試題第21題節選)

問題5還可以類似例2和例3,通過代入端點值求解嗎?

生12:我們注意到f(0)=0,即f(x)≥f(0),于是得到f′(0)≥0,但是f′(x)=ex-1-2ax,f′(0)=0,最后a消失了,得不到a的范圍.

師:也就是剛才的“端點效應”失效了,那就回歸原點,利用導數去研究函數的局部性質,問題轉化為:在區間為(0,δ)(其中δ是很小的正數)的小鄰域內,f′(x)=ex-1-2ax≥0恒成立,其中f′(0)=0.你觀察到了什么?

生13:設g(x)=ex-1-2ax≥0=g(0),利用端點效應,得到

g′(0)=1-2a≥0,

即

師:盡管一開始“端點效應”失效了,但是我們可以通過導函數的端點效應(極值點效應),將a的范圍探出來.下面證明充分性:

h′(x)=ex-(x+1)≥0,

則h(x)在[0,+∞)上單調遞增,即

h(x)≥h(0)=0,

問題6通過上述幾道例題,你能否歸納端點效應或極值點效應的基本特征呢?

生14:一類是端點函數值為0;另一類是區間端點函數值為0,且導函數的端點值也為0.

類型1若f(x)≥0(含參數a)在x∈[m,n]上恒成立,且f(m)=0或f(n)=0,則f′(m)≥0或f′(n)≤0.

類型2若f(x)≥0(含參數a)在x∈[m,n]上恒成立,且

則

f″(m)≥0或f″(n)≤0.

設計意圖通過函數端點效應失效,引導學生進一步觀察其導函數的端點值,從而將問題轉化為導函數的“端點效應”,即極值點效應.

2.3 深入探究,揭示本質

2.3.1 探路手段4:特殊點效應

例5已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求實數a的取值范圍.

(2020年全國數學新高考Ⅰ卷第21題節選)

問題7你能觀察出f(x)的端點函數值為1的點嗎?

生15:觀察不出來,而且當x趨近于端點時,函數值不會趨近于1.

師:那能否嘗試一些特殊點進行代入?

生16:因為對任意x>0,不等式f(x)≥1都成立,而且注意到函數解析式中有lnx,所以可以嘗試將x=1代入,得到f(1)≥0,從而a≥1.

師:a≥1只是不等式成立的必要條件,你能否嘗試證明充分性?

生17:當a≥1時,

f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

利用切線不等式ex≥x+1和lnx≤x-1,可得

f(x)≥ex-1-lnx≥x-(x-1)=1

成立,故實數a的取值范圍為a≥1.

生18:當a≥1時,可以將a當作主元,令g(x)=ex-1·a+lna-lnx,可以發現g(a)在[1,+∞)上單調遞增,則

g(a)=ex-1·a+lna-lnx≥ex-1-lnx.

師:取特殊值x=1,解得a的范圍,從而縮小了a的范圍,可問題是為什么取x=1,且當x=1時所解得的a的范圍就是最終要求的范圍呢?

問題8通過不等式f(x)≥1可知,如果f(x)取到最小值,那這個最小值一定是極小值,這個極小值在哪里取到呢?

生19:設f(x)在x=x0處取得最小值,于是

消元得

即

由單調性解得x0=1.

師:通過上述分析,我們知道必要性探路所取的值并不是隨意的,而是有“預謀”的,是經過極值點的取值,得到相應的特殊值代入,只是在實際過程中省略了思維過程.因此,問題的本質還是回歸函數的原點,轉化為函數的極值與最值.

生20:該題還可以利用同構進行轉化.

aex-1-lnx+lna≥1

?

ex+ln a-1+x+lna-1≥x+lnx=lnx+eln x.

令g(x)=x+ex,則

g(x+lna-1)≥g(lnx),

因為g(x)在R上單調遞增,所以

x+lna-1≥lnx,

從而

lna≥0,

即

a≥1.

設計意圖通過系列問題的設計,為學生創設探究的思路與空間,揭示特殊值選取背后的“原點”思維,讓學生理解特殊值的選取不是隨意的.

2.4 釋疑解惑,彰顯“核威力”

(2020年全國數學高考Ⅰ卷理科試題第21題節選)

設計意圖呼應本節課一開始遇到的疑難問題,讓學生嘗試利用特值探路再證充分性.從創設問題情境,到幾種探路手段的原點探究,最后到情境問題的著手解決,讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的探究歷程,積累在大概念引領下進行數學解題的基本活動經驗.

2.5 高考中的恒成立問題

(2023年全國數學高考甲卷理科試題第21題節選)

(2023年全國數學高考乙卷文科試題第20題節選)

設計意圖這兩道高考題都可以通過端點效應和必要性探路解決,讓學生體會利用大概念進行數學解題的“威力”.

3 數學解題教學的若干教學反思

通過以上教學案例的分析,我們發現函數與導數問題解決的核心在于研究和利用函數的性質.研究的函數對象不一定是直接給定的形式,而是依據解題的基本活動經驗,通過模式識別合理選擇或改變研究對象的形式.在“導數是定量地研究函數局部性質的工具”這一大概念的指引下,解題中要引導學生特別關注端點值、特殊點、極值點.除此之外,筆者對高三的解題教學提出了以下3點建議.

3.1 思想方法引領,知識能力并行

高三的復習課怎么上?如何開展高三的數學解題教學?是重新復習,還是就題論題?筆者認為,高三的復習教學既要重視基礎功底,也要強方法、講思想.如果學生的學習還是像高一、高二階段那樣停留在淺層學習,就很難觸動學習內容的核心和本質.恒成立問題是一個極其龐大的專題,題型多樣,解題方法豐富,但沒有一種方法可以解決所有問題.教師提煉大概念,以大概念為引領,幫助學生學會識別、學會轉化,建立知識與方法之間的聯系,促進學生的深度理解,實現深度學習[2].

3.2 以問題鏈為抓手,引領深度學習

傳統的高三解題教學,教師一般呈現例題后就直接講解,提問也缺乏系統性,學生很難抓住核心“大概念”.教師要以學生的數學思維為基本依據,精準把握學生的思維水平和思維生長點,將問題情境進行深度加工,設計難度合適的起點問題,逐層深入、緊密關聯的過渡性問題,具有挑戰性的最終問題,以及體現批判性思維的發展性問題,以問題鏈驅動的探究活動將學生的思維引向深度理解[3].

3.3 順應學生思維,注重知識生成

課堂教學離不開預設,但課堂的生成往往與預設有偏差.本節課的學生分享環節讓筆者有了很多意外的收獲.課堂教學是教師與學生共同完成的,是預設與生成的有機結合.深度學習的關鍵在于“學”.每名學生都有獨特的思維,對問題分析的角度不同,對問題也會有新的看法,特別是高三的復習課,要讓學生感到這樣的思想方法是自己想出來、悟出來的.