信息技術助力直觀想象素養提升

王洋

直觀想象是高中數學課程六大核心素養之一，是學生發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，也是學生探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。本文以“橢圓及其標準方程”的教學為例，探析現代信息技術助力高中數學直觀想象素養培養的策略。

一、數學問題情境化，啟迪數學思考

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象，感知事物的形態與變化，建立數與形的聯系，并利用幾何圖形描述數學問題、理解和解決數學問題的素養。借助信息技術，教師不僅可以圖文并茂地呈現數學問題，還能結合現實情境將空間形式或數量關系等抽象的數學知識直觀地、動態化地呈現出來，把復雜的數學問題變得簡明、形象， 幫助學生突破視覺和思維的限制，更好地感知數學模型的構建過程。

學生在日常生活中經常見到的橢圓都是靜態的圖形，所以他們難以將橢圓與動點的軌跡結合起來，而這正是建立橢圓概念和標準方程的關鍵點。教學中，筆者在情境引入環節充分借助信息技術手段，將數學問題情境化，用視頻動態呈現神舟十四號載人航天飛船進入太空后運行的軌跡、各種行星在宇宙中繞著太陽運行的軌跡等（如圖1），讓學生在具體的情境中抽象出橢圓的幾何形狀，清晰地感受橢圓是動點的軌跡。

在此基礎上，筆者進一步啟發學生思考：神舟十四號載人航天飛船的運行軌跡是怎樣形成的呢？學生在筆者啟發下從數學的角度思考，了解到飛船的運行軌跡是在科學家設計的多個程序和方程的條件下形成的，初步體會到運行軌跡與方程之間的聯系。

二、動態演示，發現數學本質

直觀想象的核心是幾何直觀和空間想象，幾何直觀可以將相對復雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖形描述問題，進而借助圖形分析、解決問題。教師充分利用信息技術手段將數學問題中運動的量或軌跡還原，凸顯數學問題的本質，不僅可以幫助學生理解抽象的概念，還可以充分發揮學生的想象力，讓他們將“數”的變化與“形”的形成建立緊密聯系。

在建立橢圓的概念時，筆者借助幾何畫板軟件動態演示橢圓的形成過程（如圖2），將“數”與“形”結合起來，引導學生觀察動點M位置的變化，發現動點M到兩個定點（[F1]和[F2]）的距離有哪些變化，又有哪些不變。

具體數學過程如下。

師：如上圖所示，[MF1]=9.67厘米，[MF2]=3.95厘米，[MF1]+[MF2]=13.62厘米，[F1F2=]7.38厘米。在點M移動的過程中，觀察[MF1]、[MF2]如何變化，它們的和有什么特點？

生1：[MF1]、[MF2]的距離一直在變化，但[MF1][+MF2]是一個定值。

師：此時，[MF1+MF2]與[F1F2]之間有怎樣的關系？

生2：[MF1+MF2>F1F2]

師：[MF1+MF2]的值是動態變化的，它與[F1F2]之間可以有怎樣的關系？點的軌跡怎樣變化？

生3：[MF1+MF2>F1F2]，點的軌跡是橢圓。

師：如果[MF1+MF2=F1F2]，點的軌跡是什么圖形？

生4：[MF1+MF2=F1F2]時，點的軌跡為一條線段。

師：[MF1+MF2

生5：[MF1+MF2

學生在操作演示的過程中強化了對橢圓的幾何特征的認識，明確了定點即焦點、兩定點間距離為焦距、橢圓上一點到兩定點間距離之和為定長，并將橢圓上一點到兩定點間的距離之和與焦距進行比較，探究出定長與焦距之間的大小關系對點的軌跡的影響。這樣的演示操作，直觀、清晰地揭示了橢圓的本質屬性，幫助學生理解了橢圓的概念，感悟到概念的內涵——橢圓是平面內與兩個定點的距離的和等于常數的點的軌跡。

三、直觀呈現，外顯數學思維

“課程標準”強調，要培養直觀想象能力，就要建立“數”與“形”的聯系，形成數形結合的思想。其中很重要的一個方面是以“形”直觀呈現問題中的信息，讓學生借助“形”的直觀理解抽象的“數”，依托“形”的直觀產生對數量關系及事物其他本質屬性的感知，養成結合圖形思考問題的習慣。

構建橢圓的標準方程時，建立坐標系是基礎。怎樣建立坐標系更簡單呢？如圖3所示，筆者運用信息技術動態演示橢圓左右對折、上下對折的過程，以及過點[F1]和點[F2]的直線的形成過程，引導學生發現過兩個焦點的直線[F1F2]是橢圓的對稱軸，線段[F1F2]的垂直平分線正好是橢圓的另一條對稱軸，以這兩條對稱軸所在的直線分別作x軸和y軸，建立平面直角坐標系O-xy，用有序數對[（x，y）]表示曲線上任意一點[M]的坐標，分析點（記為[p]）在曲線上的條件，寫出適合條件[p]的點[M]的集合為[p=MMF1+MF2=2a]，建立曲線方程形成的依據。

隨后，學生借助靜態圖形，根據兩點間的距離公式，用坐標表示條件[MF1=x+c2+y2]，[MF2=x－c2+y2]，用代數表示點集，列出方程[x+c2+y2+x－c2+y2=0]。處理此類問題時，通常會涉及代數與幾何兩個不同的領域，如果離開直觀化的情境，學生很難理解其中各個部分的意義。借助信息技術展示圖形，描述、分析問題，學生就比較容易理解方程中每部分與圖形間的對應關系。以上教學，筆者將難以理解的代數表達式通過圖形直觀展現出來，引導學生發掘其中的隱藏條件，外顯了學生的數學思維過程，使學生理解了方程的實際意義。

責任編輯? 張敏