把握數學本質 滲透數學思想

何晶

小學數學教學中，教師抓住數學知識的本質展開教學，注重在教學過程中提煉、概括數學思想方法，有利于學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。筆者以人教版數學五年級“植樹問題”的教學為例，做具體闡釋。

“植樹問題”的教學重點是引導學生在實際問題情境中探索并總結“棵數”與“間隔數”的關系，教學難點是把現實生活中類似的問題同化為“植樹問題”，并運用解決植樹問題的數學思想方法探究、解決這些問題。本節課的教學不能停留在理解結論和運用結論的層面，而要讓學生經歷猜想、實驗、推理的探究過程，掌握獲得知識和運用知識的數學思想方法，發展數學核心素養。

一、滲透數形結合思想，經歷過程

數形結合思想旨在讓“數”和“形”統一起來，達到以“形”助“數”、以“數”輔“形”的效果，進而幫助學生直觀地分析、便捷地解決數學問題。四年級學生的抽象思維能力不強，分析、解決“植樹問題”對他們來說有一定的難度，尤其在學習的初始階段，他們思考問題的過程需要具體、形象的圖示做支撐。

為幫助學生更好地理清三種“植樹”情況（兩端要栽、一端栽一端不栽、兩端不栽）下“棵數”與“間隔數”的關系，筆者在教學中引導學生借助數形結合思想，通過畫圖來分析問題、解決問題。課堂上，筆者先呈現一條線段，并引導：“我們把它看作一條路，這條路長20米。如果要在這條路上植樹，請同學們想一想，我們還需要了解什么信息？”學生說需要知道每棵樹間隔幾米、路的兩端種不種等信息。筆者進一步引導：“如果在這條路的一邊種樹，每隔5米種一棵，你認為種幾棵合適？”有的學生認為種3棵合適，有的學生認為種4棵合適，還有的學生認為種5棵合適。筆者讓學生把頭腦中思考的植樹情況用簡單的示意圖表示出來，隨后收集到如下三種圖示。

學生通過觀察，發現這三種圖示都符合題目要求。筆者追問：“為什么三種植樹方式都符合題目要求，但種出的棵數不同呢？三種情況下植樹的位置有何不同？”學生在筆者的提示下清晰地認識到“植樹問題”有“兩端要栽、一端栽一端不栽、兩端不栽”三種情況。

以上教學，筆者引導學生利用數形結合思想研究問題，讓學生從整體上感知“植樹問題”的三種模型，為進一步探究“棵數”與“間隔數”的關系打下基礎。

二、滲透化歸思想，找出規律

“化歸”指將新問題中的條件或設問變形，使之轉化為某個已經會解決的問題。筆者在“植樹問題”的教學中運用了化歸的思想方法，引導學生把比較復雜、不容易解決的問題轉化為容易理解、有能力解決的問題。

“棵數”與“間隔數”之間的關系是學生容易混淆的知識，教師僅僅引導學生用畫圖方法解決問題是不夠的。筆者結合化歸思想展開教學，先將例題中的“100米”改為“20米”，引導學生從簡單的數據中發現規律，再讓學生列舉其他數據，進一步驗證、鞏固規律。課堂上，筆者聚焦“兩端要栽”的情況，引導學生把剛才畫圖表示的植樹情況用算式表示出來。學生列式“20÷5=4，4+1=5”，并解釋：“先用總長20米除以間隔長5米得到間隔數4，再用間隔數4加1得到棵數5?！惫P者追問：“如果把間隔長改為4米，需要多少棵樹苗呢？”學生稍加思考后回答：“先用‘20÷4=5計算出間隔數5，再用‘5+1=6計算出棵數6?！惫P者據此引導學生計算間隔長為2米時，間隔數為10，棵數為11，并列表呈現上述情境中的間隔長、間隔數和棵數（表略）。接著，筆者提問：“觀察表格中的數據，你發現了什么？”學生立馬發現“棵數比間隔數多1”“間隔數比棵數少1”。筆者引導學生用簡潔的公式表示這兩句話的意思。學生總結：“棵數=間隔數+1，間隔數=棵數-1?！比缓?，筆者隨機提問，引導學生鞏固、運用這個規律。面對“兩端要栽的情況下，8個間隔要栽多少棵樹？10個間隔呢？”“兩端要栽的情況下，6棵樹有幾個間隔？10棵樹呢？”等問題，學生對答如流。筆者引導學生思考：“兩端要栽的情況下，棵數為什么總比間隔數多1呢？”一名學生回答：“我們可以一對一對地看，一棵樹對應一個間隔，此時棵數與間隔數相等，而最后一個間隔的尾端也要栽，這樣就要再加一棵樹，所以棵數比間隔數多1?！惫P者回應道：“你的思路很清晰！這個規律能不能用到100米的小路上呢？”筆者緊接著呈現如下問題：“同學們在全長100米的小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？”學生很容易地通過自主計算得出了正確答案。筆者總結：“我們在解決復雜問題時可以從簡單的例子入手研究?！?/p>

以上教學，學生通過多次“植樹”體驗，探究出“棵數”與“間隔數”的關系。這樣的知識建構過程不僅能保證學生在脫離圖形的情況下依然有效解決相似問題，還有利于學生遷移、運用“棵數”與“間隔數”的關系解決變式問題。這樣教學，即使學生忘記了“棵數”與“間隔數”的關系式，也能通過枚舉法快速找到解題方法。

三、強化建模意識，拓展應用

數學模型是溝通數學與生活的橋梁。教師應該把解決“植樹問題”作為滲透模型意識的教學支點，借助“植樹問題”模型的建構及拓展應用，發展學生的數學思維。

教學中，筆者設計了從“植樹”到“鐘面”“車站”“站隊”，再到“安裝路燈”“切割”“上樓梯”“敲鐘”等不同層次的問題情境，幫助學生進一步明晰“棵數”與“間隔數”的關系，建構“植樹問題”模型。例如，學生順利解決“每隔5米栽一棵、兩端要栽”情況下“1000米小路的一邊栽多少棵樹”和“10000米小路的一邊栽多少棵樹”的問題后，筆者呈現“車站”問題情境：5路公共汽車行駛路線全長12千米，相鄰兩站之間的路程都是1千米，一共設有多少個車站？學生將車站數看作“棵數”，根據“全長÷間隔長=間隔數，間隔數+1=棵數”，得出一共有13個車站。接著，筆者出示“切割”問題情境：一根木頭長10米，要把它平均鋸成5段，每鋸下一段需要8分鐘，鋸完這根木頭一共需要多少分鐘？學生通過讀題聯想到鋸成的5段可看作“棵樹”，鋸的次數可看作“間隔數”，根據段數與鋸的次數之間的關系，找到了解決問題的突破口，成功解決了問題。

從改變數量——“量變”，到改變對象——“形變”，筆者通過啟發學生思考“此問題情境與植樹問題有什么聯系”，引導學生提煉出“植樹問題”的數學模型。自主建構的模型讓學生在面對多樣化的問題情境時豁然開朗，達到了舉一反三、觸類旁通的學習效果。

（作者單位：武漢市漢陽區教學研究培訓中心）

責任編輯? 劉佳