基于整體建構，探尋“植樹問題”本質

陳學榮

基于整體建構理念設計教學，能讓單元內的數學知識融為一體，更好地引導學生理解數學知識的本質和聯系，建立結構化的數學知識體系。筆者以“植樹問題”教學為例，闡釋單元教學視角下幫助學生整體建構知識的教學策略。

一、數形結合，感知結構共性

數學課程標準指出，要“引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構”。本節課，筆者以三個模型的共同點為抓手，引導學生圍繞路長、間隔長、棵數、間隔數四個概念展開學習，重點探究棵數與間隔數之間的數量關系。

課始，筆者用課件出示如下圖所示的“植樹問題”情境圖，引導學生明確兩棵樹之間的距離叫做“一個間隔”，并提問：“這些間隔的長度有什么關系呢？”學生通過觀察，發現這些間隔的長度相等。筆者讓學生繼續觀察圖上有幾棵樹、幾個間隔。學生回答：“有6棵樹、5個間隔?！惫P者引導學生總結棵數與間隔數的關系，學生很容易發現棵數比間隔數多1。

接著，筆者用課件去掉最左端的一棵樹，并提問：“現在有幾棵樹、幾個間隔？”學生流利地回答出“5棵樹”，但是對于間隔數，有的學生說“有5個間隔”，有的學生說“有4個間隔”。筆者順勢引導：“這棵樹雖然不栽，但位置要留著，數學上規定這也是一個間隔，所以這里還是有5個間隔?！彪S后，筆者又用課件去掉最右端這棵樹，并提問：“現在有幾棵樹、幾個間隔？”有了上面的經驗，學生很快答出“4棵樹、5個間隔”。筆者提出質疑：“棵數從6棵降為5棵，再降為4棵，為什么間隔數始終是5個呢？”學生發現，因為路長不變，間隔長度不變，所以，即使棵數減少了，間隔數也不變，還是5個。

然后，筆者用課件出示三種類型“植樹問題”的圖示（圖略），并提問：“三條小路上各有幾棵樹、幾個間隔？”學生觀察發現：第一條小路上有4棵樹、3個間隔；第二條小路上有2棵樹、3個間隔；第三條小路上有3棵樹、3個間隔。筆者點撥：“這就是我們這節課要研究的‘植樹問題的三種類型‘兩端要栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽。為了方便研究，我們可以用畫線段圖的方式模擬植樹，一般用小圓點表示樹，用線段表示間隔長度?！彪S后，筆者用課件演示用線段圖模擬三種情況下植樹的動態過程，并提問：“如果第一個間隔長是3米，這條路全長是多少米？”學生回答：“如果第一個間隔長是3米，說明第二、第三個間隔長也是3米，那么這條路全長是3×3=9（米）?！?/p>

教師多次追問“有幾棵樹、幾個間隔”，目的是讓學生明確清晰的棵數和間隔數的概念；利用線段圖動態模擬植樹的過程，目的是促使學生對植樹的過程形成清晰的表象。

二、實踐操作，整體建構模型

動手操作是學生探索知識的重要方式。教學中，筆者在操作環節給學生提供了充分的時間和空間，讓學生在操作中深刻領會“植樹問題”的本質，整體構建清晰的“植樹問題”模型。

課堂上，筆者出示探究任務：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，有幾種栽法？請在表格（表略）中填寫各種栽法的棵數、間隔數，用線段圖表示這幾種栽法，并思考棵數與間隔數的關系。筆者還提出如下探究要求：①想一想要畫幾個間隔才是20米；②每個間隔要畫得一樣長；③線段要用直尺畫；④獨立完成后小組交流。學生開始操作，筆者巡視指導。

在展示交流環節，筆者先展示第一種栽法，并提問這種栽法屬于哪一種類型。學生回答“兩端要栽”。筆者接著問：“這種情況下，有幾棵樹、幾個間隔？怎樣表示棵樹與間隔數的關系？”學生借助學習任務單上已有的探究結果，回答出“有5棵樹、4個間隔，棵數=間隔數+1”。筆者繼續展示第二種栽法，并提問這種栽法屬于哪一種類型。學生很快回答“屬于兩端都不栽”。筆者又問：“這種情況下，有幾棵樹、幾個間隔？怎樣表示棵數與間隔數的關系？”學生回答：“這種栽法有3棵樹、4個間隔，棵數=間隔數-1?！庇辛松厦娴慕涷?，學生能自主說出第三種栽法屬于“一端栽一端不栽”，這種情況下有4棵樹、4個間隔，棵樹=間隔數。至此，“植樹問題”的三個模型全部呈現。

教師通過設計任務活動引導學生經歷操作過程，通過對比“植樹問題”的三種類型發現規律，讓學生從整體上理清了三種類型之間的關系，從整體上建構了“植樹問題”的三個模型。

三、拓展應用，升華植樹模型

構建線段型“植樹問題”的三個模型是為了應用其解決問題，只有讓學生經歷應用的過程，他們才能體會到“植樹問題”模型的應用價值。練習中，筆者引導學生應用“植樹問題”的三種模型解決問題，幫助學生鞏固知識，厘清解決“植樹問題”的一般思路。

首先，筆者呈現第一題：在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共需要多少棵樹？有學生錯誤地列式解答：100÷5=20（棵）。筆者提問：“要求的樹的棵數就是間隔數嗎？”學生發現這是“兩端要栽”的情況，由“棵樹=間隔數+1”得出“20+1=21（棵）”。

接著，筆者呈現第二題：大象館和猩猩館相距60米，綠化隊要在兩館之間的小路兩邊栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3米，一共要栽多少棵樹？學生列式解答：60÷3-1=19（棵）。筆者提問：“20是什么？為什么減1？”學生回答：“20是間隔數，因為兩端不栽，棵樹=間隔數-1，所以要減1?！绷硪幻麑W生補充道：“‘兩邊表明小路兩邊都要栽樹，因此，要用19乘2計算總棵數，即總棵數是38?！?/p>

最后，筆者呈現第三題：在教學樓前植樹，每隔4米栽1棵（一端栽一端不栽），32米內可以栽多少棵樹？學生列式解答：32÷4=8（棵）。筆者引導學生總結：因為一端栽一端不栽，棵數＝間隔數，所以是8個間隔，也是8棵樹。

教學中，筆者還引導學生拓展“植樹問題”的外延，升華“植樹問題”的三種模型，發展解決“植樹問題”的普適性經驗。筆者借助問題“除了樹，還能換成別的事物嗎”，打開學生的思路，使學生聯想到“樹”還可以換成路燈、欄桿、斑馬線、樓層、隊列等。筆者接著說：“看來‘樹可以換成很多東西，接下來我們一起解決這些與‘植樹問題相似的問題?！惫P者呈現如下兩個變式習題：①同學們做廣播體操，某一列有25人，每兩人之間間距2米，這列隊伍一共有多少米？②一根木頭，要把它平均鋸成5段，每鋸一次需要8分鐘，鋸完一共要花多少分鐘？這些問題的有效解決能讓學生感受到“植樹問題”模型的廣泛應用，促使學生的思維發展。

（作者單位：棗陽市太平鎮第二小學）

責任編輯? 張敏