淺析分數與除法的內在聯系

陶禮松

人教版數學五年級下冊《分數與除法》單元的教學重點是理解分數既可以表示一個具體的量，又可以表示兩個量之間的關系；教學難點是理解分數與除法之間的關系。為突破以上教學重難點，筆者教學該單元內容時基于單元整體教學理念做了如下嘗試。

一、綜合分析，確定教學目標

教學前，筆者綜合分析了人教版、蘇教版和北師大版教材中關于“分數與除法”的相關內容。人教版教材先給出“把1個月餅平均分給4個人”的例題情境，旨在引導學生感受除法的商可以用分數表示。在此基礎上，教材呈現第二個例題情境“把3個月餅平均分給4個人”，并提示了兩種分法——一個一個地分（3個[14]個是[34]個）、三個摞在一起分（3個[14]是[34]個），進而引出分數與除法的關系。蘇教版教材在人教版的兩個例題的基礎上又給出第三個例題情境——3個月餅平均分給5個人，然后引出分數與除法的關系。北師大版教材用一個例題呈現了兩個情境——1個餅平均分給2個人、7個餅平均分給3個人，最終也引出了分數與除法的關系。三個版本的教材均采用了分餅的情境引出分數與除法的關系，人教版和蘇教版大致相同，蘇教版多一個例題，北師大版與其他版本差異較大，直接從[12]過渡到[73]。

隨后，筆者對學生學情做了如下分析：在三年級上學期的學習中，學生初步認識了分數，知道了分數各部分的名稱，能夠讀、寫簡單的分數，能夠比較分子是1的分數和同分母分數的大小，會計算簡單的同分母分數加減法。但是從三年級初步認識分數到五年級再次認識分數的意義，學生所見到的分數基本上是分子比分母小的真分數。在許多學生心目中，分數表示的是部分與整體的關系，部分只能小于或等于整體，不可能超過整體，所以學生很難理解假分數的含義，這就需要教師通過多種情境活動進一步拓展和延伸分數的意義，讓學生充分把握分數的本質特征。

分數有不同的意義，學生印象最深的就是分數的比率意義，即部分與整體的關系，而本節內容要引導學生感受和理解分數作為商可以表示數量。量和率的辨析向來是分數教學的難點。如何突破這個難點呢？多數學生的學習經驗中只有真分數，而假分數、帶分數在實際生活中有重要的意義，因此，筆者決定借助分餅這個大情境，引導學生感受真分數、假分數、帶分數是一脈相承的。

綜合以上分析，筆者將本單元的教學目標確定如下：①結合具體情境，理解分數與除法之間的關系，會用分數表示兩個數相除的商，知道分數既可以表示一個具體的量，又可以表示兩個量之間的關系；②借助觀察比較活動，培養學生歸納推理的意識和能力，提高學生的抽象、概括能力，培養學生自主分析問題和解決問題的能力；③在探索分數與除法關系的過程中，增強學生的交流與合作意識，培養學生的探索精神，幫助學生養成用數據說話的習慣，促進學生感悟數學與生活的聯系。

二、創設情境，理解分數與除法的關系

教學中，筆者創設了如下分餅情境，引導學生寫出計算過程，并用自己喜歡的方式解釋思考過程，逐步梳理分數與除法的關系，感受如何用分數表示商。

①8個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？

②1個餅平均分給2個人，每人分得幾個餅？

③1個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？

圍繞情境①，學生均能列得出式8÷4=2（個）。

圍繞情境②，有的學生列式得出1÷2=0.5（個），有的列式得出1÷2=[12]（個）。筆者讓學生解釋算式中[12]的含義，當有學生答出“把1個餅平均分成兩份，每份就是[12]”后，筆者讓學生回顧情境1的具體問題“每人分得幾個餅”，引導學生將“每份就是[12]”的說法更正為“每人分得[12]個餅”。

圍繞情境③，有的學生畫線段圖并列式得出1÷4=0.25，有的學生畫餅圖并列式得出1÷4=[14]。筆者讓學生分別解釋各自的思考過程。畫線段圖的學生解釋：把1條線段看成1個餅，平均分給4個人，用除法計算，每人得到0.25個餅；畫餅圖的學生解釋：把1個圓看成1個餅，平均分給4個人，用除法計算，每人得到0.25個餅或者說[14]個餅。筆者提示：雖然圖形不一樣，但得到的結果是一樣的，也就是說，當除法的商不是整數時，除了用小數表示商，還可以用分數表示商。至此，學生初步理解了分數與除法的關系。

為讓學生深入理解分數與除法的關系，筆者創設新的分餅情境：3個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？學生列出算式“3÷4”后遲遲寫不出答案。筆者引導學生先大膽估一估、猜一猜，再通過折一折、剪一剪、拼一拼的方式研究。學生小組合作探究后，派代表匯報。

學生代表1用圓片代替餅，現場剪、分后，匯報如下：我們把第1個餅平均分成4份，每人得到一小塊，剩下的兩張餅也像這樣分，最后每個人手里拿到了3個[14]塊，合起來就是[34]個餅。筆者指導學生把分到的餅貼到黑板上，在每一個圓片下面均寫“[14]個”，進而直觀地得到[34]個餅。

學生代表2匯報：我們把3個餅摞在一起，同時分成4份，每人拿走其中1份，也就是3個[14]，合起來就是[34]個餅。此時，有學生提出異議，認為合起來應該是[312]個餅。該學生代表一時也給不出合理的解釋。筆者請“外援團”幫忙解答這個疑問。有學生說：[312]是拿走部分占整體的[312]，也就是3個餅的[312]，不是餅的個數；還有學生補充，不能說[312]個，它是占3個餅的[312]，我們要求的是幾個餅，就是和1個餅比的，不是和3個餅比的。筆者肯定了學生的質疑精神和理性思考，并讓學生把手里的3個餅的[14]拼在一起，看看究竟是[34]個餅還是[312]個餅。學生動手操作后，發現每人得到[34]個餅。筆者提示：我們可以說每人分到的餅占整體的[312]，但如果說餅的個數，只能說每人分得[34]個餅。

學生代表3匯報：我們把前2張餅摞在一起，直接剪一刀平均分成4塊，每人拿走其中1塊，也就是[12]個，再把第三個餅平均分成4份，每人分得[14]個，合起來也是[34]個餅。也就是說，[12]個加上[14]個，拼在一起就是[34]個。

筆者指出，分餅時既可以一個一個地分，也可以摞在一起分，還可以先分前兩個再分第三個，雖然過程不同，但得到的結果“[34]個”是相同的。隨后，筆者用動畫演示這三種分餅過程，讓學生邊看邊思考，從相應的除法算式和結果中發現規律，抽象、概括出分數與除法的關系。學生發現：被除數相當于是分子，除數相當于分母，除號相當于分數線；如果用字母表示，a除以b就是b分之a（b不等于0）。

三、拓展延伸，升華學生對分數的認知

拓展延伸環節，筆者繼續創設分餅情境“5個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅”，引導學生利用前面概括的分數和除法的關系，探究[54]個、1[14]個的關系，升華學生對分數的認知。

有的學生發現應列式“5÷4”，按照剛才得出的關系，結果應該寫作[54]。有的學生上講臺拼5個[14]個餅，得到[54]個餅。有的學生認為可以先每人分得1個餅，然后把最后一個餅平均分成4份，每人再分到[14]個，加起來就是每人分得1[14]個。最終，學生發現[54]個等于1[14]個。

這樣，學生通過分餅活動明白了分數和除法的關系，發現除了用整數、小數表示商，還可以用分數（真分數和假分數）表示商，認識到b不等于0的情況下，a除以b就是b分之a。

（作者單位：襄陽市南漳縣板橋鎮竹坪中心小學）

責任編輯? 孫愛蓉