讓數學思想植根于數學課堂

周慧

“植樹問題”的教學旨在引導學生發現數學規律，建立“植樹問題”模型，并在實際生活中加以應用，發展數學應用意識。教學中，教師如何把握“植樹問題”的核心目標？如何設計結構化的教學環節、教學活動？如何滲透數形結合等思想方法，提高學生解決問題的能力？本期，我們從“數學思想”角度精選三篇文章，討論“植樹問題”的教學策略。

數學思想對數學發展起到關鍵作用。小學數學課堂教學中，教師如何使學生領悟數學思想的內涵，并自覺利用數學思想探究問題、解決問題，彰顯數學學科的育人價值呢？筆者以“植樹問題”的教學為例，做具體闡釋。

一、如何理解“植樹問題”

“植樹問題”需要教什么？大家一般會認為，三種類型“植樹問題”的棵數與間隔數的關系是教學重點，即兩端要栽、一端栽一端不栽、兩端不栽的模型建立是教學重點。事實上，這樣缺乏結構化理解的教學是零散的，不一定能取得好的效果。筆者認為，這三種類型不是并列的關系，而是層級關系，因此教學時不能平均用力?！耙欢嗽砸欢瞬辉浴边@種類型可以看作“主干”，因為它的棵數與間隔數能一一對應，即“棵數=間隔數”，其算理與二年級學習的除法相通，都體現了一一對應，商可以直接作為問題的答案。教師在教學中將“一端栽一端不栽”植樹問題的教學與除法關聯起來，學生的學習就有了扎實的基礎。其他兩種類型（兩端要栽、兩端不栽）可以在這個類型的基礎上進一步建構?！皟啥艘?、兩端不栽”情況下棵數與段數不是一一對應的，因此需要在一一對應的基礎上“＋1”或“－1”，這兩種類型可以看作“分枝”。

教師在教學時應該把重點放在理解“一一對應”及“商＋1”或“商－1”的道理上，如此，教學就有了結構，“植樹問題”就變成了基于舊知識的拓展運用。由此，筆者認為學生掌握“植樹問題”的基礎和關鍵是與除法的意義建立關聯，而不是機械地記憶棵數與間隔數的數量關系。

二、掌握“植樹問題”的關鍵是什么

“植樹問題”模型并不是三種不同的類型，而是只有一個“源”，即用“包含除”解決問題?！鞍鄙婕皟深悊栴}，一類是當商是整數時，要么能“一一對應”，要么需要根據實際情況對商進行“+1”或“-1”，后兩種是變式；另一類是當商不是整數而有余數時，需要根據實際問題對余數進行“進一”和“去尾”的處理。思維導圖如下圖所示。

由此可知，教學“植樹問題”的首要任務是讓學生建立“一端栽一端不栽”植樹問題與除法意義的關聯，打通新舊知識之間的聯系，并在原有的除法體系里進行拓展，以解決變式問題（兩端要栽、兩端不栽）。這樣教學有助于學生理解和應用“植樹問題”模型，減輕他們的學習負擔。

三、“植樹問題”要根植哪些數學思想

1.感悟化繁為簡思想

課堂上，筆者用課件出示問題：“村里新修了一條平安大道。綠化工人要在長200米的平安大道的一邊植樹（每隔5米栽一棵，兩端要栽），一共需要栽多少棵樹苗？”出示問題后，筆者提問“每隔5米栽一棵，兩端要栽是什么意思”，并讓學生猜一猜“一共需要多少棵樹”。有的學生說“能種40棵”，有的學生說“能種41棵”，還有的學生說“能種39棵”。筆者啟發學生思考：“到底能種幾棵？你有什么好的驗證方法嗎？”一名學生提出：“我們可以試著種一種?！惫P者肯定了學生的想法并引導：“我們可以利用課件模擬在200米的線段上種樹?！彪S后，筆者用課件演示“每隔5米種一棵，一棵一棵不停地種”的動態過程。這時，一名學生質疑：“這樣要花很長時間，很麻煩?！绷硪幻麑W生建議：“我們可以換成短一點的距離，比如將200米換成20米，用比較小的數據研究出植樹規律?！惫P者肯定了學生的想法，指出先探究在較短距離的路上共種幾棵樹的一般規律，再用這種規律去解決較復雜的問題，是一個不錯的辦法。這樣教學，化繁為簡的數學思想得以有效凸顯。

2.感悟數形結合思想

在解決問題中采用數形結合思想能幫助學生更好地理清數量之間的關系，明確解題思路，確定有效的解題方法。

教學“植樹問題”時，筆者引導學生借助直觀圖形進行分析，并從圖形中歸納、總結出一般的解題方法。課堂上，筆者先讓學生畫圖，模擬植樹，驗證在20米的道路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端要栽，可以栽幾棵。有的學生用“___”代表間隔，用“＼”代表一棵樹，畫出圖示“＼___＼___＼___＼ ___＼ ”；有的學生用“___”代表間隔，用“●”代表一棵樹，畫出圖示“●___●___●___● ___●”。筆者引導學生觀察圖示，學生發現棵數比間隔數多1。這樣教學，學生借助圖形直觀感知到兩端要栽時棵數與間隔數之間的數量關系（棵數=間隔數+1），感悟到數形結合思想的應用價值。

3.感悟一一對應思想

教學“植樹問題”時，教師可以滲透一一對應的思想方法，幫助學生學會用一一對應的數學思想解決問題。

“植樹問題”的本質是對應，學生只要明確“植樹間隔”與“樹的棵數”之間的對應關系，并以此為基礎深入探究，就可以應對各種變式情況。在學生發現兩端要栽情況下“棵數=間隔數+1”的數量關系后，筆者追問“為什么棵數比間隔數多1”，引導學生用一一對應的方法分析問題。學生指著圖示分析道：“一棵樹后面跟著一個間隔，也就是一棵樹對應一個間隔，最后一棵樹沒有間隔與之對應，所以棵數比間隔數多1?！狈N樹還可能出現什么情況？學生發現，還可能出現“一端栽一端不栽”和“兩端不栽”的情況，并且都能用一一對應的思想方法解釋這兩種情況下棵數與間隔數的關系，從而感悟到一一對應數學思想的應用價值。

4.感悟數學模型思想

“植樹問題”的教學過程就是數學模型建立的過程，教師應該讓學生經歷“猜想—驗證—建?！獞谩钡膶W習過程，以更好地理解和掌握“植樹問題”模型。教學時，筆者把重點放在讓學生積極探索并發現“植樹問題”的解題規律上，著力激發學生的好奇心和求知欲，把“植樹問題”作為學生感悟數學思想方法的支點，引導學生感悟數學建模的重要意義。

當學生掌握了“兩端要栽”的模型后，筆者引導學生探究“一端栽一端不栽”和“兩端不栽”的情況。筆者先請學生獨立思考每種情況的棵數與間隔數，再把這些數據整理成表格，然后對比分析（表略）。通過探究，學生構建了“兩端要栽：棵數=間隔數+1”“一端栽一端不栽：棵數=間隔數”“兩端不栽：棵數=間隔數-1”三種模型。建立“植樹問題”模型后，學生要用模型解決生活中的實際問題，以此提高解決問題的能力。教師可以通過不同的變式練習，比如求總長、求間隔、求間隔數、求棵數等問題，以及鋸木頭、爬樓梯、開業剪彩等問題，讓學生拓展應用“植樹問題”數學模型，使其感悟到模型思想對于解決數學問題的價值。

（作者單位：襄陽市?？悼h馬橋鎮小學）

責任編輯? 張敏