MPCK視角下的“勾股定理”教學案例分析

姚山雪 李紅梅

[摘 要] 結合“勾股定理”同課異構教學案例，通過課堂觀察，分析三位教師在“創設情景、活動探究、猜想證明”三個教學環節中的不同MPCK呈現，對比分析三位教師關于“勾股定理”的MK，PK，CK的異同，并嘗試給出教學建議：深挖教材，獲得豐富MK；深度理解CK，靈活選擇PK.

[關鍵詞]MPCK；勾股定理；案例分析；課堂觀察

研究背景

舒爾曼于1986年提出PCK（學科教學知識）的概念[1]，后經學者研究將數學教師特有的學科教學知識從PCK泛學科的研究中獨立出來，形成了MPCK（數學教學內容知識）理論.黃毅英教授將MPCK分為三類知識：（1）MK（數學學科知識），包括準確理解教材與課程目標等；（2）CK（內容的知識），包括學生的知識、學習的困難等；（3）PK（一般教學法的知識），本質是在指導學生的思維方式后，確定的教學方法與教學策略[2][3].

勾股定理是基本的幾何定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，對從數量的角度研究幾何具有十分重要的作用，是平面幾何的重要定理之一.勾股定理的教學十分重要，上好這一堂課，對數學教師的專業素質有一定的要求.

筆者選取了三位教師的“勾股定理”同課異構的教學比賽視頻.經了解，授課的三位教師，第一位是有10年教齡的骨干教師A（本科學歷，任教于安徽省某中學），在2019年獲教學競賽一等獎；第二位是5年教齡的青年教師B（研究生學歷，任教于廣東省某中學），在2021年課例展示比賽中獲一等獎；第三位同樣是5年教齡的青年教師C（本科學歷，任教于新疆維吾爾自治區某中學），與教師B參加同場比賽，雖未獲獎，但個人教學特色較強.

三位教師的教學流程都包括情境導入、活動探究、猜想證明三個環節，但教學設計存在明顯的差異，這些差異反映出教師關于“勾股定理”的MK，CK，PK存在異同，從而在教學中三位教師的MPCK展現出不同呈現方式.筆者通過課堂實錄分析比較三位教師在這三個教學環節中不同的MPCK呈現，對比分析她們關于“勾股定理”一課的MK，CK，PK異同，并嘗試給出一些基于MPCK視角下的教學建議[4].

基于課堂觀察的MPCK對比分析

課堂觀察即通過對課堂運行狀況進行記錄、分析與研究，在此基礎上謀求學生課堂學習的改善、促進教師發展的專業活動.與一般的觀察活動相比，它要求觀察者直接（或間接）從課堂上收集資料，材料真實性強，研究價值高，在當時疫情形勢嚴峻的情形下，教師無須實地聽課，也可以通過錄課視頻間接地進行課堂觀察，開展研究.

環節一 情景導入

1.課堂實錄

教師A：宇宙浩瀚無邊，有無數的星星與星球，在這茫茫的宇宙中，有外星人的存在嗎？如果有的話，我們如何與外星人溝通呢（圖1）？

教師A在此處留了足夠長的時間，引導學生嘗試用四個相同的直角三角形紙片去拼圖驗證，總結歸納勾股定理的結論，鼓勵學生用文字、符號、圖形三種語言表述勾股定理，最后補充介紹勾股定理相關歷史.

教師B：將證明過程細化為四個步驟.步驟1：并線擺放圖形.兩個圖形如圖10擺放，面積為多少？步驟2：畫線分割圖形.如何把這個圖形變換成以c為邊長的正方形呢？考慮在這個圖形中構造出最大的邊長c，如何構造？如圖11，在CD上截取CB=a，連接BB，BB的長為多少？∠ABB為多少度？為什么？

過點B作BF⊥AE，延長BG交BF于點H.圖12中的四個三角形是什么關系，如何說明？此時空出來了一個四邊形EFHG，四邊形的邊長FH等于多少呢？四邊形EFHG是什么圖形？為什么？步驟3：拼接重組圖形.現在要構造出邊長為c的正方形，已經發現了一組鄰邊BB， AB，你能找到另外一組鄰邊，即找到大正方形的第四個頂點嗎？把△ABC與△BBC放置在如圖13所示的位置，四邊形ABBI是什么圖形？為什么？步驟4：對比拼接前后的圖形，如圖14（面積不變，因此a2+b2=c2，證畢）.

教師B介紹的這種方法是出入相補法.最后拼出來的圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注釋《周髀算經》時給出的，人們稱之為“趙爽弦圖”（圖15）.思考變換截取點，在AC邊截取邊長，同樣也可以得到邊長為c的正方形，叫作青朱出入圖，它的原理同樣使用了出入相補法（圖16）.

教師C：小組合作完成例題（圖17），探究任意直角三角形三邊的關系.

如圖18，現有兩個正方形如圖形①擺放，小正方形邊長為a，大正方形邊長為b，這兩個正方形的面積之和如何表示？在較大正方形的一邊上選取一個點，使這條線段的長度為a，設斜邊長為c，這樣構造兩個直角三角形（圖形②），這兩個直角三角形全等嗎？你是怎樣判斷的？將這兩個三角形分別旋轉，得到一個新的四邊形（圖形③），新的四邊形的面積如何來表示？

通過拼圖再次進行驗證，用課前準備的4個全等的直角三角形拼成一個正方形嗎？（學生給出圖19中的兩種拼法）教師介紹圖形①是我國古代數學家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為“趙爽弦圖”.

2. MPCK呈現對比

三位教師MPCK的三種構成成分在猜想證明環節的表現對比如表3.

MPCK視角下的教學建議

1.深挖教材，獲得豐富MK

從數學發展看，勾股定理的意義非常重要，其證明是論證數學的發端，是第一個將幾何與代數結合起來的定理；它促進了無理數的發現，引發了第一次數學危機，加深了人們對數的理解；它是歐氏幾何的基礎定理，具有重要的實用價值.

從數學文化背景看，勾股定理蘊含的思想文化非常豐富，中西方提出勾股定理的方法、渠道、研究過程、方法都不同.尤其是其證明，中西方有著各自的證明特色.因此，教師可根據中外探索勾股定理的時間線對比，進行德育滲透，以增加學生的民族自豪感和文化自信心.

從教材內容看，勾股定理的發現、證明和應用，精確地研究直角三角形三邊長的等量關系，對后續還要研究直角三角形的邊角關系及銳角三角函數，以及四邊形、圓與其他幾何內容具有奠基作用.

從以上不同角度深挖教材，可以使教師站在不同的高度去理解教學內容，進而不斷豐富自身的MK.

2.深度理解CK，靈活選擇PK

學生的最近發展區是教學的起點.本節課的難點是如何自然地獲得勾股定理猜想的證明思路？不同的學生認知水平、風格都不同，因此教師要根據學生的實際情況，根植于學生的最近發展區，搭建適合學生的“腳手架”.

教學過程注重問題的設計.問題是學生思維的起點，數學是思維的科學，一個問題的提出，后續問題實際上就是這個問題的邏輯展開，所以，只要涉及初始問題，后續問題就會自然而然地產生.

對于本節課，三位教師在勾股定理的探究與證明環節精心設計問題串，探究階段從“等腰直角三角形三邊有什么關系”到“一般的直角三角形三邊有什么關系”，學生圍繞兩個關鍵問題，經過自主探究、小組合作等方式完成直角三角形三邊長的等量關系的猜想.證明階段，教師B的問題串設計得比較出彩，證明環節的關鍵問題是“思考如何把這個圖形變換成以c為邊長的正方形，考慮在這個圖形中構造出最大的邊長c，如何構造”，成功地為學生打開證明的思路，且在證明過程中，教師適時的追問也起到了很好的教學效果.總之，教師的PK要基于MK，CK，靈活地根據課堂、學生情況進行選擇.無論教師采取哪一種教學方式，都一定要根據學生的思維能力選擇適合他們的方式.

另外，三位教師在本節課中均實現了信息技術與數學課堂的深度融合.《義務教育數學課程標準（2022年版）》中關于勾股定理提出“使用動態幾何軟件設計教學活動，利用面積的不變性幫助學生體會勾股定理的直觀證明”要求[6].我國核心素養框架中也強調了信息意識，突出數字化生存能力.所以，教師應將教學與信息技術相融合，提升教師的教學水平，在教學中使用信息技術也有助于學生借助多媒體更好地理解數學，發展學生使用現代信息與通信技術等技能，進而提升學生的信息素養.

參考文獻：

[1] LEE S. SHULMAN. Those W ho Understand：Knowledge Growth in Teaching[J]. Educational Researcher，1986，15（2）：4-14.

[2] 黃毅英，許世紅.數學教學內容知識——結構特征與研發舉例[J].數學教育學報，2009，18（01）：5-9.

[3] 李渺，寧連華.數學教學內容知識（MPCK）的構成成分表現形式及其意義[J].數學教育學報，2011，20（02）：10-14.

[4] 陸明明.MPCK視角下“三角函數的周期性”的教學設計對比分析與建議[J].數學通報，2015，54（02）：25-29.

[5] 18.1“勾股定理”教學設計 - 百度文庫[DB/OL].https：//wenku. baidu.com/view/ca7d0399af02de80d4 d8d15abe23482fb5da0250.html

[6] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.