探究數形結合思想在初中數學解題中的運用路徑

魏莉紅

摘 要：較小學數學相比，初中數學在解題方面的難度有所增加，且邏輯性和系統性也更強.對此，很多學生在面對復雜的解題時，由于缺乏對數形結合思想的理解與運用，往往手足無措，沒有解題思路，導致解題能力得不到提高.基于此，本文在概述初中數學解題運用數形結合思想的基礎上，著重分析數形結合思想在初中數學不同類型解題中的運用路徑，以期為廣大一線初中數學教師提供教學參考.

關鍵詞：數形結合思想；初中數學；解題

近年來，隨著基礎教學改革的推動與實施，中考在數學知識考核方面也發生了明顯的變化，即考核內容更加豐富，考核方式也更為靈活.這種轉變也意味著初中數學教師在日常教學中，要從根本上把握數學知識結構體系，通過傳授有效的解題思維為學生理清知識脈絡，使學生快速地理解并掌握解題的思想和方法.數形結合思想是初中數學學習中重要的思維方法之一，對于解決數學問題起著不可或缺的關鍵作用，具備這一解題思維，能夠使學生在面對復雜的數學題時游刃有余.因此，教師要充分地認識到數形結合思想在初中數學解題中的重要性及必要性，并借助數形結合思想開拓學生的思維，發展學生的幾何直觀能力和解決問題能力.

1 數形結合思想概述

1.1 數形結合思想

數學家華羅庚曾提出：“數形結合百般好，割裂分家萬事休.”數學的基本內容就是圍繞“數”與“形”進行學習和研究，“數”指的是數量以及數與數之間的抽象關系，“形”指的是圖形以及圖形的概念.數形結合思想就是將原本存在本質區別的“數”與“形”相互結合并轉化，通過分析二者之間的關系找到解題的思路和方法.具體來說，當前數形結合思想在解題中常用的方法有兩點：第一，借助圖形的直觀性來得出數字之間的邏輯關系，將抽象的知識具象化；第二，使用數字來填補圖形中缺失的主要信息，從而使圖形間的關系更加清晰明了，將原本復雜的數學題目變得簡單化.

1.2 初中數學解題中運用數形結合思想的意義

首先，增加數學解題教學的趣味性.數學學科的主要學習內容就是研究數量的抽象關系與空間的概念關系，因此在初中數學學習中，學生最應具備的數學思維能力便是邏輯思維和空間思維，這樣才能夠使學生在面對復雜的數學問題時快速理清解題思路.然而實際上，大多數初中生的數學思維能力普遍較弱，在面對抽象的數量關系和空間關系時，經常找不到問題的切入點，對解題思路毫無頭緒，這也在一定程度上打擊了學生學習數學的自信.而在解題教學中應用數形結合思想，能夠引導學生從不同的層面去思考“數”和“形”的關鍵連接點，并找到正確的解題思路.這一思維方式使解題過程充滿趣味性和探索性，當學生能夠運用數形結合思想解開數學難題時，也會獲得學習數學的樂趣與成就感，從而在潛移默化中提高自身的解題能力.

其次，增強數學解題思維的靈活性.在數學解題過程中應用數形結合思想主要有兩個作用和方向：一是“以形輔數”，也就是用直觀的圖形關系輔助學生去理解抽象的數量關系，從而通過轉變思維來開拓解題思路；二是“以數助形”，指的是用邏輯嚴謹的數量關系來表達抽象復雜的圖形關系，從而降低解題難度.“數”與“形”的相互結合與轉變使得數學解題思維更具靈活性和多變性，學生可以在初中數學解題過程中，利用數形結合思想靈活地解決數學問題，從不同的角度對不同類型的數學問題進行思考分析，并實現舉一反三、一題多解.不僅如此，數形結合思想在提高學生解題效率的同時，還能夠有效培養學生的邏輯思維能力，以及學生思考問題的靈活性和創新性.

1.3 初中數學數形結合思想的教學原則

若想在初中數學教學中有效地應用數形結合思想，教師需要遵循以下三個基本原則：

首先，要堅持等價應用原則.這意味著在應用數形結合思想時，需要確保代數與幾何圖形在轉化過程中的等價性.無論是“數”轉化為“形”，還是“形”轉化為“數”，都要保證各自的性質和特征在轉化過程中保持一致，這樣才能確保數形結合思想在解決問題時的準確性和有效性.

其次，要堅持雙向應用原則.教師既要利用圖形的直觀性來解決代數問題，也要利用代數的精確性來分析幾何圖形.通過這種雙向應用的方式，學生可以更深入地理解數學問題的內在聯系，提高他們解決數學問題的效率.同時，這也有助于培養學生全面分析問題的能力，增強學生的邏輯思維和空間想象能力.

最后，要堅持簡單應用原則.在具體的問題解決過程中，教師要根據問題的性質選擇合適的代數法或幾何法，以簡化問題解決的過程，提高解決問題的效率.這不僅可以降低學生解決問題的難度，也有助于增強學生的學習興趣和自信心.

2 影響學生解題能力的原因

2.1 數學思想方法意識不強

解決數學問題離不開數學思想方法的支撐，盡管在初中階段，教材中并未有一節課專門講解數學思想方法，然而，從初一開始，每一本數學教材都在傳遞著各種各樣的數學思想方法.這些數學思想方法隱藏在課本知識中，不易被直觀地看到，相比數學知識的學習，數學思想方法的學習與運用要更為復雜和困難.許多學生的數學思想方法意識不強，主要原因在于：首先，一些學生審題后感覺有了解題思路后便快速開始解題，而解題思路也往往只有一種，沒有用心去思考是否還有更多的解題方向，也沒有思考哪種方法更適用于解題過程；其次，有些學生雖然對一些數學思想方法有所了解，但他們對這些方法的掌握往往停留在表面，不能理解各種思想方法的特性和使用范圍，這就導致他們在面對具體問題時，無法靈活運用這些思想方法，或者在解決問題時出現失誤.

2.2 數學思維能力較弱

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中提出：“……培養學生的演繹推理、總結歸納、構建模型、空間猜想等數學思維能力.”數學思維可以分為數學邏輯思維和數學形象思維，這兩種思維既相互獨立，又相互關聯.一般來說，在解題過程中，學生首先通過審題來直觀地理解題意，這就是形象思維的體現；之后，運用邏輯思維，對題意進行分析、推導和聯想；最終將問題求解出來，這充分體現了邏輯思維的重要性.然而，在實際數學解題中，學生很容易受到定向思維的影響，當遇到常規或典型的例題時，他們能夠根據所學的知識概念快速判斷解題思路，但當面對開放探究型題目時，由于很多學生的思維能力較弱，思考問題時容易變得固化，不能靈活運用多種解題思維，導致解題受阻.

2.3 題后缺乏反思

在實際教學中，很多學生在發現解題錯誤后，只是簡單地核對一下正確答案，并沒有認真分析出錯的原因，也沒有反思解題思路和過程，沒有真正地將錯題搞明白，導致之后再遇到同樣類型的問題時，仍然會再次出錯，浪費了大量的時間和精力，解題能力也沒有得到有效的提高.目前，許多學生都存在這樣的問題，反復做題卻反復出錯，這是因為他們缺乏反思意識，不愿意主動去總結和分析錯題，學生只是為了解題而解題，失去了解題的意義和價值.

3 數形結合思想在初中數學解題中的運用路徑

3.1 運用數形結合思想解決不等式（組）的問題

不等式是初中數學學習中的基礎知識，同時是初中數學知識結構中的重要一環.教師在日常教學中若用文字來簡單描述不等式的內涵和概念，很難引發學生的深度思考，導致教學效果只流于表面形式.因此，在解決不等式問題的過程中，教師可以引導學生從數形結合思想的角度去發現解題思路，從而加深學生的學習效果.例如，關于x的不等式組0≤x²＋ax＋4≤2有唯一的解，求解a的值.由于題目中沒有展示任何圖形信息，很多學生在解題時便也不考慮用圖形解題的思路，而是直接對題目進行計算.對于這類題目來說，運用數量分析的思路來解題并不是最優選擇，不僅解題過程復雜而且還容易產生思路混淆.對此，教師可以引導學生運用數形結合思想對該不等式組進行拆解，得到y＝x²＋ax＋4，y＝0，y＝2這三個方程式，這時學生便想到可以通過圖象繪制的方式來解題，并在此過程中找到三個方程式之間的關系，最終得出“只要拋物線和直線滿足具有唯一交點這一條件，便能得到題目中所說的‘唯一的解”.通過這種解題方式，學生能夠進一步了解到“圖”與“形”之間切換和結合的關系，并在圖象繪制的過程中使解題思路更加清晰，從而有效提高解題能力.

3.2 運用數形結合思想解決函數的問題

在實際解題過程中，很多學生對于復雜的函數問題往往無法快速理清思路，究其原因是因為學生沒有找到空間關系與數量關系之間的連接點.函數問題實際上就是融入了代數知識以及幾何內容的綜合數學問題，因此在解決函數問題時，教師可以引導學生運用數形結合思想，通過“以形輔數”的思維快速找到解題的突破口.例如，小輝正在進行羽毛球訓練，小輝的身高為1.35 m，高度以AB來表示，此時當他進行打擊后，羽毛球擊飛的最高點為2.35 m，若此時羽毛球與小輝的實際水平距離正好為1 m，則羽毛球的落點C和小輝的位置B的水平距離約多少米呢？通過圖1能夠看出，題目所求的B到C的距離是一條直線距離，其中涉及“拋物線”知識中的“應用型函數”這一知識點，通過觀看圖形和圖象能夠使學生快速地對該題有一個直觀的了解.在運用數形結合思想分析時，教師要保證學生能夠通過圖象轉換判斷數量關系的準確性，并形成嚴謹的解題思路.

3.3 運用數形結合思想解決幾何的問題

如果說不等式和函數問題都是通過數形結合思想中的“以形輔數”思維來解題的，那么幾何問題則是通過“以數助形”的思維來解決的.幾何問題就是基于幾何定理，給出特定的條件和信息，通過分析得出最終結論，其難點主要在于學生即使了解所涉及的幾何定理，但是也不能保證正確推理出證明過程.對此，就需要教師引導學生認真分析題目中所給出的條件和信息，將數量關系對應到空間關系，并且采用反向思維去推理驗證，從而明晰解題思路.在實際解題時，很多學生會因為幾何圖形較為復雜而不知從何入手，這時教師可以指導學生將復雜煩瑣的圖形拆解成幾個簡單的圖形，并從中找到有效信息，化繁為簡，從而掌握分解圖形的規律，并形成正確的解題思路.

例如，在幾何證明中通過分析數字比值關系來證明三角形相似關系，通過運用數形結合思想能夠有效合理地完成這一證明過程.如圖2所示，四邊形CBFG為正方形，且在△ACB中∠ABC＝90°，E為AG與CB的交點，D為AC上一點.已知AB∥DE，求證BE＝DE.

從圖2中能夠看出，BE與DE兩條線段包含了兩個三角形，因此教師可以引導學生將圖形拆解為兩個三角形，并通過圖形中所給出的較多的平行條件作為解題方向，在證明BE＝DE時，可以通過比例線段進行推理和驗證.具體步驟為：證明△ACG∽△ADE，則可以證明DE∶CG＝AE∶AG.證明△AEB∽△AGF，則可以證明BE∶FG＝AE∶AG，所以DE∶CG＝BE∶FG.同時因為在正方形CBFG中CG＝FG，所以BE＝DE.

4 結論

初中數學問題具有邏輯性和抽象性的特點，運用數形結合思想能夠有效幫助學生明確解題方向，并且啟發學生從多個角度去思考問題，拓展解題思維，從而做到舉一反三.為了能夠使學生更好地運用數形結合思想，教師需要制定出科學合理的教學計劃，幫助學生構建完整的數學知識體系，及時做到題后反思，彌補知識漏洞，使學生養成良好的解題習慣和思維意識，從而真正有效地提高解題能力.

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