數學與音樂的跨學科融合

金奎 陳緒梅

【摘要】跨學科教學是新課標重點倡導的教學方式.基于跨學科的教學視角，實現數學與音樂的融合，讓學生在體驗音樂之美的過程中體會數學原理，運用數學知識解決實際問題，培養其模型意識和應用意識，關注學生創新意識的培養.

【關鍵詞】跨學科；綜合與實踐；核心素養

1引言

《義務教育數學課程標準（2022 版）》（ 以下簡稱《新課標》）指出：綜合與實踐領域的教學活動，以解決實際問題為重點，以跨學科主題式學習為主，適當采取主題活動或項目學習的方式呈現，通過綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題，著力培養學生的創新意識、實踐能力、社會擔當等綜合品質[1].在跨學科情境項目化改造教學中，通過教師把握“度”的實踐教學指導，提高學生學習數學“悟”的真諦[2].本文以人教版九年級下冊“實際問題與反比例函數 ”為例，設計和實施數學與音樂跨學科學習，結合具體情境體會反比例函數的意義，并能應用反比例函數解決簡單實際問題.2數學與音樂融合

從古至今，數學與音樂一直相輔相成.數學家畢達哥拉斯在世界上第一次發現音樂與數學的關系；中國古代通過數學運算研究音律；萊布尼茨說音樂是一種隱藏的數學練習；傅里葉發現聲波是周期函數的一種；音樂大師貝多芬、肖邦、柴可夫斯基等也常常根據曲線來譜曲.

音樂離不開數學思維，數學思維的秩序性可以讓音樂呈現出節奏、穩定、有序的狀態，能夠使聽眾產生和諧、愉悅的感受.數學的思維方式不僅能夠讓學生更好地理解音樂，鑒賞音樂，也能幫助學生用理性邏輯創作音樂.在我國最早產生的完備的律學理論是三分損益律，時間大約在春秋中期，《管子·地員篇》和《呂氏春秋·音律篇》中分別有述；明代朱載 （1536—1610）在其音樂著作《律學新說》對十二平均律的計算方法作了概述，在《律呂精義·內篇》中對十二平均律理論作了論述，并把十二平均律計算的十分精確，與當今的十二平均律完全相同，這在世界上屬于首次[3]．根據十二平均律的定義，也可以寫為數字式，如：122·122·122·…=2.因此，相鄰的兩個音之間的頻率比為fn[]fn-1=122=1.05946…由此可見，在古代音樂的發展就與數學緊密地聯系在了一起.從那時起，隨著數學和音樂的不斷發展，人們對它們之間關系的理解和認識也在不斷地加深.

3教學過程

3.1設境催問，引燃探究

讓學生用吸管吹奏音樂，感受吸管長度不同，吹出的音調也不同.引導學生從音樂、科學、物理等相關知識進行思考，從其他學科引入數學問題，然后運用數學加以解決，這始終是數學學習的重要方法.學生已了解到音調與吸管材質、吸管粗細、吸管長度、吹氣的力度等有關.本節課在吸管材質和粗細均相同條件下，聚焦到音調和吸管長度的關系.

本節課基于音樂常識（吸管越短，音調越高）、物理常識（吸管越短，振動頻率越大），通過信息技術軟件（Phyphox和Geogebra軟件）輔助，建立數學模型，讓學生在真實的環境中探索，應用數學知識發現、解決問題，提升學生思維品質.

在課堂開始之前，請學生們來欣賞一段音樂.（播放吹吸管音樂）

問題1他們在用什么樂器演奏？

師生活動學生通過觀看視頻，回答樂曲是用吸管吹奏的.

問題2吹吸管能發出聲音嗎？

師生活動學生體驗吹吸管能發出聲音，確定本研究的可操作性.

問題3如何吹出不同的音調？和哪些因素有關？

師生活動學生根據音樂、物理等相關知識進行發散性思維，讓學生自由發揮，充分調動學生積極性和求知欲，通過教師的引導，讓學生發現問題，進行自我總結和反思，培養學生的批判精神.最終得出音調與吸管材質、吸管粗細、吹氣的力度、吸管長度等有關，本節將問題聚焦到音調與吸管長度的關系.

問題4改變吸管長度真的能吹出不同的音調嗎？

師生活動學生現場操作，同桌相互配合，一人吹、另一人剪，并邀請兩位同學上臺展示.實驗發現：吸管越短，音調越高.學生積極參與，共同探索它們的數量關系和變化規律.

設計意圖本節從優美的音樂入手，感受音樂之美和中國傳統文化的博大精深.涉及一些音樂與物理的知識，學生在理解上存在一定的難度.通過問題，將數學和其他學科的知識整合起來，側重幫助學生深入學習數學的知識和技能、理解數學的思想和方法，能創造性地解決應用性問題，實現跨學科教學[4].師生明確本節研究的對象與任務，從變量角度進一步加深對函數的認識，引導學生運用函數關系進行分析.

3.2收集數據，建立模型

問題5如何研究兩個變量之間的關系？

追問1用函數來研究兩者之間的關系，具體應該怎么做呢？

追問2收集什么數據？

師生活動師生共同確定好變量，確定用函數來研究此問題，可運用刻度尺測出吸管的長度，用Phyphox軟件測量出此長度下吹吸管的振動頻率（圖1、圖2）.

（學生現場實驗，前后四人互為一組，在小組內一人吹吸管，一人測量振動頻率，一人讀取數據，一人將數據記錄在數學實驗報告單中.）

問題6要想通過實驗得出有用的數據，在實驗之前需要思考怎樣做，以及會遇到哪些問題.同時，在這次測量活動中我們要對同學們的表現進行評價，評比出最佳測量小組.你認為需要圍繞哪些方面進行評價呢？

師生活動師生共同制定實驗報告單（表1）和實驗評價表（表2），學生在教師的引導下動手完成實驗，按照項目化的分工，一部分學生記錄數據，一部分學生統計數據，一部分學生協助，合作完成實驗報告單和評價表.

追問1：要更直觀地表示這組數據的變化規律（如上表3），有什么方法？

追問2：觀察圖象，可以用什么函數來刻畫兩個變量之間的關系？

師生活動1.教師提出問題，學生獨立解決問題.學生畫出圖象后，發現有的圖象接近于一次函數，有的接近于反比例函數.經過反復實驗，多次得到數據，畫出圖象，猜測更接近于反比例函數.教師巡視學生完成情況，并請學生展示解答過程（圖3），給予適當評價.2.師生共同分析數據，引導學生經歷觀察表格、尋找規律、描點繪圖、觀察圖象的過程.由于手動繪圖存在一定的誤差，教師引導學生運用現代信息技術（如Geogebra軟件），幫助學生利用已學的函數圖象與性質，確定函數更接近于反比例函數（圖4），即可以選擇反比例函數來刻畫這兩個變量之間的關系，擬合得到函數表達式.

教學說明《新課標》指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.學生根據已學物理知識將音樂中抽象的音調轉化為可以測量的振動頻率這一想法，筆者給予了高度的贊賞.《新課標》指出：數學教學應該從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并理解運用的過程.本節活動課的設計體現綜合與實踐課從生活出發、學科融合的特質.

設計意圖引導學生通過實驗收集數據，從觀察表格數據發現規律過渡到繪制函數圖象，使學

生經歷將現實問題轉化為數學問題的過程.Geogebra軟件的應用讓學生體會到信息技術在數學建模

中的作用，引導學生經歷“看數據，繪圖象，先猜想，再判斷”的過程，滲透數形結合的思想，為

應用函數模型打好基礎.

3.3應用模型，成果展示

問題8吸管長度5cm，對應的振動頻率是多少呢？

師生活動依據圖4，總結求出解析式，正確使用反比例函數解析式解決問題，得到應使用長度的吸管.教師可以利用Geogebra軟件操作驗證得到圖5，并請另一位學生進行實驗驗證.

問題9嘗試完成《小星星》的吹奏并進行成果展示.

設計意圖通過具體情境應用反比例函數模型解決問題，對反比例函數的性質和圖象等有更深入的理解.小組合作吹奏歌曲《小星星》，學生經歷合作交流、實踐探索和組織協調的過程，親身動手、

動腦、動嘴，充分感受數學與音樂的緊密融合，發展學習能力和實踐能力.

3.4問題歸納，課堂小結

（1）回顧探索音調與吸管長度關系的過程，我們經歷了哪些步驟？

師生活動：學生先自己總結，進行交流互動，再得出數學建模的一般步驟，由實驗獲得數據—用描點法畫出圖象—根據圖象選擇函數—擬合求函數關系式—應用模型解決問題.

（2）經過這一節課的學習，你有什么收獲？

師生活動學生暢所欲言.

學生1我經歷了整個數學建模過程，解決了音調與吸管長度的關系問題.

學生2我感受到了高科技的魅力，比如用聲學軟件測頻率、計算機描點等.

學生3我感受到數學來源于生活，在日常生活中數學無處不在.

學生4我了解運用函數解決問題的步驟：實驗—收集數據—確定變量—描點—求函數解析式—評價.

設計意圖由學生先自行整理回顧數學建模的全過程，明確數學建模的一般方法與步驟，再由教師補充提升，充分發揮了學生的自主性.通過對數學與音樂史的講述，感受數學與生活的緊密聯系，從情感上提升學生對數學學習的熱情.通過學生自行總結，檢驗本節的教學效果，為今后的項目化的學習做好鋪墊.

3.5課后拓展，鞏固提升

（1）請選擇除吸管外的物品（如皮筋）對其音調與長度的關系進行探究，運用數學建模的方法，尋找變量之間的關系，擬合函數，并應用求得的函數自制樂器，完成樂曲的演奏.

（2）請考慮幾何結構等因素，優化自制樂器.

4教學感悟

4.1培養學生動手實驗能力

杜威說：“人們最初的知識，最能永久不忘的知識是關于‘怎樣做的知識.”目前的一線數學教學中基本都以傳授知識為主的教學方式，為知識而講解知識，陷入學生死記硬背、盲目機械刷題、疲于應付形形色色考試怪圈，完全扼殺學生動手能力，忽略其知識生成的過程和本質原理，無法提升學生思維能力和運用數學知識解決實際問題的能力.

本節課從“做實驗”的視角，通過學生親自參與，協同合作，在反復實驗中，不斷修正，建立數學模型，積極評價，最大化地實現教學目標.通過數學與音樂的融合，讓學生親自參與，提高動手能力，感受數學之美，感受生活中數學無處不在，提升學生核心素養.

4.2培養學生解決問題的能力

讓學生在欣賞數學美、創造數學美的過程中，引發對數學文化的思考，培養學生運用數學解決問題的能力[5].學生通過吸管實驗，直觀感受音調與吸管長度的關系，以振動頻率與吸管長度為變量建立數學模型，尋找數學關系，反復實驗，收集數據，運用信息技術處理數據，應用數學知識處理圖象，構建反比例函數模型，合理進行評價.

學生通過操作、驗證、說理，將零散的知識結構化、單一的圖形模型化、抽象的思維顯性化、靜態的圖形動態化，關注學科間的綜合聯系，形成對知識的整體性認識，經歷構建反比例函數模型的探究過程.通過項目化學習，學生在不斷解決問題的過程中，體會如何利用理論知識解決問題的過程，從而在構建反比例函數模型時，利用理論知識來尋找解決問題的基本方向，再進一步利用知識指導實踐.學生在做中思，在思中行.

4.3培養學生批判性思維

《新課標》明確要求：發展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態度，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神.目前課堂教學中，多數學生是老師要求做啥我就做啥，教材如何寫我就如何做，知其然不知其所以然，教師以教學時間不夠、學生能力差等為托詞，在課堂教學中忽視對學生批判性思維能力的培養.教師要能自覺開發資源，并結合學生實際創設真實情境，深度挖掘蘊含的培養批判性思維的價值，從問題處進行批判性思考，從困惑處進行批判性探索，從猜想處進行批判性實驗，從結論處進行批判性驗證，從遷移處進行批判性拓展，引導學生領悟具有批判性學習的數學，從而促進學生批判精神和批判能力的提升.

4.4跨學科教學的必要性

《新課標》指出：義務教育的“綜合與實踐”以“跨學科主題學習”為主，其中小學可采用“主題活動”和“項目式學習”，初中可采用“項目學習”，高中階段采取“數學建?；顒印迸c“數學探究活動”[6].數學跨學科教學體現數學與其他學科的聯系，通過解決綜合性的實際問題，培養學生的模型觀念、數據分析意識、運算能力和推理能力.跨學科除了教學內容、教學形式的整合，更需要學生思維的整合，優化并提升學生的思維品質.在課堂教學中引導學生在跨學科的背景下用數學的眼光觀察現實世界，用數學的語言表達現實世界中事物的概念、關系和規律，幫助學生感悟數學與現實世界的聯系[7].傳統教學中，由于缺失了對函數生成過程的展現，使得學生普遍認為函數知識抽象難懂.本文借助跨學科的數學實驗，讓學生經歷了構建函數的過程，深化了對函數概念的理解.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：87.

[2]張潔，戴小駒，黃麗.跨學科情境教學：數學課堂的項目化改造：以“孟德爾遺傳規律”為例[J].中學數學月刊，2023（06）：43-46.

[3]劉衛峰，王尚志.數學與音樂[J].數學通報，2005（04）：19-21.

[4]劉祖希.關于數學跨學科內容與教學的已有研究：兼及2022年全國高考數學試卷跨學科試題分析[J].教育研究與評論（中學教育教學），2022（12）：5-11.

[5]肖丹，杜蘭歌，朱哲.數學與藝術的跨學科融合：以綜合與實踐課“美麗的鑲嵌”為例[J].中學數學月刊，2023（04）：41-43.

[6]劉祖希.圖說數學與跨學科教學[J].中學數學雜志，2023（10）：19-20.

[7]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：5.

作者簡介金奎（1980—），男，安徽安慶人，蕪湖市中學數學教研員，安徽師范大學碩士研究生導師，蕪湖市數學學科帶頭人；出版著作兩本，主持多項省、市級課題，發表文章20余篇.

陳緒梅（1991—），女，安徽蕪湖人，中學二級教師；參與多項市級課題，獲蕪湖市中小學實驗說課一等獎.

基金項目

安徽省教育科學研究課題“多學段融通視域下數學閱讀課程資源的開發與實踐”（JK23176）.