數學基本思想在集合教學中的運用

胡 乙

（江蘇經貿職業技術學院，江蘇 南京 211168）

0 引言

數學基本思想是數學產生及數學發展中必須依賴的思想［1］，一般包括抽象、推理與模型。國內外學者從不同角度對數學基本思想在集合教學中的運用進行了研究。黃根初［2］提出從數值對象與非數值對象出發，引導學生認識集合及其蘊含的原則。劉廣科［3］認為集合是沒有定義的數學概念，主張學生應區分集合與元素，切勿混淆點集與數集，切勿忽略空集的作用。熊玲玲等［4］認為數學基本思想是解決集合教學中所有問題的重要途徑，但涉及具體的教學方法與教學內容尚在研究中。格林貝格［5］主張通過舉例引導學生理解集合符號、集合名稱、集合中的集合、有限集與無限集之間的關系等。皮尤［6］主張采用概念疑問教學法引導學生準確理解集合概念。羅森［7］主張從屬性出發認識集合。此外，為訓練學生邏輯思維，柯朗等［8］主張從集合代數出發，引導學生推導出新的集合命題或集合恒等式，但具體推導方法還需要補充與完善。

在高職數學教學中，從數學基本思想出發開展集合教學是一項有益的嘗試，有助于學生感悟集合抽象的特點與層次、建構集合知識系統、掌握運用集合模型解決相關問題的方法。

1 數學抽象思想在集合教學中的運用

數學抽象是將現實世界中發生的事物抽象到數學中，使之成為數學的研究對象。這是一種構造性活動，是借助定義、概念、推理等進行的邏輯構建。由數學抽象思想派生出集合的思想，以此為基礎，在抽取復雜事物間共同屬性的過程中，初步形成抽象集合概念。

1.1 集合概念的抽象性

區別于其他抽象概念，數學抽象僅僅抽取事物或現象的量的關系和空間形式而舍棄其他一切。自然數是人類對現實事物中數量與數量關系的抽象，天然地包含了集合的概念。如果用口袋比喻集合，則數字本身就是一種集合。例如：數字1表示該口袋中天然具有1個“1”的符號，數字2表示該口袋中具有2個“1”的符號，以此類推?？梢?，數本身就應該是集合或集合數?？梢詫颠M行簡化與抽象，設計用一個符號a代表所有的數。同理，也可以用集合符號使現實世界中數值與非數值對象成為數學的研究對象。

假設所有的對象（成員）具備某種特定性質，則組成一個大類、一個群體、一個口袋，即一個集合。據此，集合是一個抽象概念，準確地說應是抽象集合，它包括成員或元素。集合是一類具有特定性質元素（成員）的集體，其中元素可以包括數值對象與非數值對象。例如：小于10的正整數構成一個集合，全世界說中文的人構成一個集合。描述集合有多種方式，最簡單的描述方式為花名冊法，即列出集合中所有的元素。通常用大寫字母表示集合，用小寫字母表示其中的元素（成員）。如果a∈A，則a是A中一個元素（成員）；反之，a?A，則a不是A中一個元素（成員）。由于現實的復雜性，當不可能列出集合中所有元素時，可運用集合構造器描述該集合。為方便研究，可規定N為自然數集、Z為整數集、Q為有理數集等。

此外，集合概念的抽象性還表現為集合可將其他集合作為自己的成員。例如：假設D集合中只有2與｛3｝兩個元素，則2∈D且｛3｝∈D，但是3?D。一個有效的區分方法是根據集合中的逗號，列出集合中的所有元素后再進行辨別。

集合概念的抽象性導致集合大小的抽象性。如果集合A中有n個有限且不相同的元素，則n是A的基數，記為。如果n是無限的，則A為無限集合。如果一組集合是有限集合，則只要比較各自基數即能分清各自大??；如果一組集合是無限集合，則只能運用基數衡量其相對大小。集合間的一一對應性質在此過程中發揮了重要作用。

1.2 集合關系的抽象性

集合是對具體事物共有性質的抽象，其概念的抽象性導致集合關系的抽象性。學生經常會混淆子集、空集、冪集之間的關系，其根源在于學生無法準確理解集合與元素之間的關系。當集合A中所有元素都是集合B中的元素時，A是B的子集，即當x∈A能推導出x∈B時，說明A?B。當集合B中至少有1個元素不屬于A時，A是B的真子集，即A?B且A≠B，亦可寫作A?B。據此，如果兩個集合相等，則A?B且B?A。當集合中有多個相同元素或集合中元素的順序有變化時，規定以上因素均不影響對集合相等的判斷。例如：｛2，2，4，6，6｝，｛4，6，2｝，｛2，4，6｝均為同一集合。據此，要證明兩個集合相等，可根據定義證明A?B且B?A，但空集的出現使得子集問題更為復雜。

不含任何元素的特殊的集合稱為空集，記為?或者｛｝，設立該符號的目的是使之成為集合的一個子集，以令集合子集數量與集合元素數量之間建立聯系。雖然空集的基數為零，但是?≠｛?｝。只有一個元素的集合稱為單元素集，如果A＝｛?｝，則單元素集A有唯一元素，是空集。

從定義出發，空集不包含任何元素，故其所有元素都在任意其他集合中。同時，任意集合自身也可能是空集，故空集只能是任意集合的子集。同理，任意集合的所有元素均包含自身，故任意集合也是其自身的子集，子集與冪集密切相關。在集合A中，所有子集構成的集合為A的冪集，記為P（A）。如果A＝｛2，4，6｝，則P（A）包括?，｛2｝，｛4｝，｛6｝，｛2，4｝，｛2，6｝，｛4，6｝，｛2，4，6｝?？占挥幸粋€子集，即P（?）＝｛?｝。而P（｛?｝）包括?與｛?｝，這再次說明?≠｛?｝。根據排列與組合規則，如果一個集合中有n個元素，則其冪集中有2n個元素，且冪集中的元素都是以集合的形式存在。

綜上，集合A∈B與A?B完全不同。前者指B是一組集合的集合，A是B中的一個元素；后者指A是B的真子集，如果A＝｛a，b，c｝且B＝｛a，b，c，d，e｝，則A?B。如果B集合中的元素是｛a，b，c｝與｛e，d，f｝，則｛a，b，c｝∈B且｛e，d，f｝∈B。若B集合中的元素是｛a｝，｛b｝，｛a，b｝，則｛a｝∈B而a?B。集合可以將其他集合作為自己的元素，如果考慮到空集，則問題更為復雜，故學生應熟練掌握集合、元素、子集等概念，為今后證明集合命題做好準備。

2 數學推理思想在集合教學中的運用

推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程，包括歸納推理與演繹推理。理解集合性質、集合恒等式等必須依靠推理，推理是認識集合的有效途徑。從集合模型定義可推理得到集合運算性質及其相關定律等。

2.1 集合推理運算的基礎

從集合定義出發，兩個或多個集合能以不同的方式相結合。如果A為主修英語課程的學生集合，B為主修數學課程的學生集合；則以上集合可以組成主修英語或主修數學的學生集合、既主修英語又主修數學的學生集合、只主修英語卻不主修數學的學生集合等，分別對應并集、交集、差集。

當元素x屬于A或者屬于B時，x屬于A與B的并集，即A∪B ＝｛x｜x∈Aorx∈B｝。并集亦可寫作A＋B。如果元素有重復或元素順序發生變化，則以上情況對并集運算結果不產生影響。

當元素x同時屬于集合A與集合B時，x屬于A與B的交集，即A∩B＝｛x｜x∈Aandx∈B｝。交集亦可寫作AB。在特殊情況下，如果交集為空集，則該組集合不相交。

當元素x屬于集合A但不屬于集合B時，x屬于A與B的差集，即A－B ＝｛x｜x∈Aandx?B｝。當A＝｛1，3，6｝且B＝｛1，3，5｝時，A－B ＝｛6｝≠6，而B－A＝｛5｝≠5。若交換了運算順序，則差集運算結果也不同。

從差集出發，一旦定義了全集I，則較為容易理解補集。當元素x?A時，x∈。即＝｛x∈I｜x?A｝。補集與全集的關系亦可寫作A＋A＝I。

當出現多種集合模型混合運算時，應從定義出發求解，切勿用代數運算法則去推理集合運算法則。

2.2 集合恒等式的推理與證明

從集合定義與集合代數出發，可引導學生深入理解集合運算中的推理思想，并創新證明德摩定律。

集合運算性質1：當且僅當A＋B＝B時，A?B。

證明：假設A?B，則將該式兩邊同時與B做并集，得到A＋B?B。又B?A＋B，故A＋B＝B。

假設A＋B＝B，則x∈A可推導出x∈B，故A?B。綜上所述，原命題得證。

集合運算性質2：當且僅當A∩B＝A時，A?B。

證明：假設A?B，則將該式兩端同時與A做交集，得到A?AB。又AB?A，故AB ＝A。

假設AB＝A，則x∈A可推導出x∈AB，亦即x∈B，故A?B。綜上所述，原命題得證。

集合運算性質3：A（B＋C）＝AB＋AC

證明：從互為子集角度考慮，假設x∈A（B＋C），則有x∈AB或者x∈AC，可推導出x∈（AB＋AC），故A（B＋C）?（AB＋AC）。

假設x∈（AB＋AC），則x∈AB可推導出x∈A（B＋C），x∈AC亦是如此，故（AB＋AC）?A（B＋C）。綜上所述，原命題得證。學生可運用類似方法證明差集運算性質。

集合運算性質4：

證明：假設AB≠?，x∈（A－B），則x∈（A－AB）即x∈，故（A－B）?。

假設AB≠?，x∈，則x∈A（I－B），可推導出x∈（A－B），故?（A－B）。

如果AB＝?，則可運用以上思路得到同樣結果。綜上所述，原命題得證。學生運用以上結論可創新證明德摩定律。

若在德摩定律1中運用換元法，用替換A，用替換B，則有若繼續對其兩邊同時做補集，則可得，此即為德摩定律2。以上定律廣泛應用于數理邏輯中。

集合運算是學生遇到的第一個講究嚴格性的課程，學生必須時刻按照邏輯規則來思考、計算、表達。只有經歷大量的訓練，學生方能體會到集合中的推理思想。集合代數是學生推導集合命題的有力工具。

3 數學模型思想在集合教學中的運用

數學模型是指用數學語言描述現實世界所依賴的思想，側重于用數學的概念、原理和思維方法描述現實世界。集合模型是建構其他數學模型的基礎，通過對集合模型的變換，可以產生新的數學概念。此外，在解決問題時，可以將問題轉化為集合模型進行研究。

3.1 計數與概率論中的集合模型

集合模型是構造新的數學概念、數學模型的重要基礎。從集合論出發建立了函數、序列、圖、樹等新的數學概念，同時構建了以計數、概率論為代表的一批新的數學分支學科。

考慮集合A，B，設A＝｛a1，a2，…，am｝，B＝｛b1，b2，…，bn｝，如果A中每個元素都與B中一個元素組成一對有序二元組合aibj，則全部結果可歸結為n行m列共計mn個有序二元組。此時，假設A表示完成A步驟項目的各種方法，B表示完成B步驟項目的各種方法，如果一項工作必須先要完成A步驟項目，再完成B步驟項目，則用集合描述為交集AB，其完成工作的方法總數則是兩個集合基數（元素數）的乘積，用集合描述為│AB│＝│A││B│，此即計數的乘法原理。

同理，如果一項工作可以通過A步驟項目完成，也可以通過B步驟項目完成，且工人不能同時完成以上兩個項目，則用集合描述完成該工作總的方法數為│A＋B│＝│A│＋│B│，此即計數的加法原理。在特殊情況下，如果AB≠?，則│A＋B│＝│A│－│AB│＋│B│，此即著名的容斥原理。

此外，如果用I表示所有可能發生事件構成的全集，而A是I的任意子集，則用集合定義子集A發生的概率為：P（A）＝│A│/│I│；其中，P（A）為子集A發生的概率，│A│指A集合的基數，│I│指全集I的基數。當已知特定集合的概率，而要求其他集合概率時，依然要運用集合代數的思想來做概率的計算。例如：已知P（A），P（B），P（AB）時，即可求取P（A＋B）。

3.2 數理邏輯中的集合模型

多數離散數學教材是先介紹邏輯與證明，后介紹集合論。如果改變順序，引導學生從集合出發理解數理邏輯，則可將邏輯化歸為集合運算語言，從而使學生提高學習效率。

若將論述總體確定為全集I，將具有特定屬性的集合確定為A，B，則可用集合化歸邏輯術語或邏輯關系。如果A發生或者B發生，則可描述為A＋B。如果A發生同時B也發生，則可描述為AB。當出現如果A則B時，可描述為A?B。當出現既非A又非B時，可描述為等。以上結論有助于快速證明數理邏輯中的相關命題。

求證：

式（1）表明：或者p發生，或者q發生，此為情況1；或者p不發生，或者r發生，此為情況2；如果情況1與情況2同時發生，則或者q發生，或者r發生。

證明：依據集合運算性質，已知ˉpq?q，則ˉpq＋q＝q。同理，rp＋r＝r，rq＋q＝q。據此，可推得（p＋q）（ˉp＋r）＋q＋r＝q＋r，故（p＋q）（ˉp＋r）?q＋r，由此原命題得證。同理，求證：

式（2）表明：如果p事件發生，則q事件也發生；如果p事件發生而q事件不發生，則可推導出p事件肯定不發生。

證明：假設p→q，則p?q。運用前述集合運算性質與德摩定律，可得p＋q＝q且，由此可推導出，故原命題得證。

可見，區別于傳統證明中的真值表，從集合代數出發理解、證明數理邏輯推理規則更加簡單高效。

4 結束語

本文探討了數學抽象思想、推理思想和模型思想在集合教學中的運用。通過舉例法、比較法等，引導學生運用集合代數理解集合的基本運算法則并形成集合知識的意義建構；運用集合模型建構新的數學概念并解決相關問題，激發了學生的數學學習興趣，從而使學生克服數學學習障礙。在未來的高職數學教學中，如何用集合論看待現有數學定理和公式以及用集合論觀點編寫現有數學教材，值得深入研究。