“做數學”理念下學科育人的實踐探究

卞煥清

摘? ? 要：圖形的旋轉是義務教育階段研究的三種基本運動方式之一，其動態變化的特征對學生的直觀想象、歸納推理等能力提出了較高要求，但常規教學不能讓學生體會前后知識之間的緊密聯系、認識知識結構的整體性. 而“做數學”理念強調知識源于生活，鼓勵學生通過觀察生活現象發現問題、提出問題，并在動手操作的過程中經歷新概念或者規律的形成，感悟思維和知識的發生.因此，教師可將數學實驗作為教學手段，設計層層遞進的問題，引導學生在動手實踐中探究旋轉的概念和基本性質，使其在自主探索數學知識的同時體會探究數學知識的一般路徑，提升關鍵能力和學科核心素養.

關鍵詞：“做數學”;學科育人;數學實驗;圖形的旋轉

數學具有高度的嚴謹性、抽象性和邏輯性，這使得初中階段的學生學習起來困難重重.同時，傳統數學教學往往注重演繹而輕視歸納、類比，滿足于證明現成的結論，學生很少能夠親身經歷數學結論的探索、發現過程，也無法體會數學知識的整體性，這進一步降低了學生學習數學的興趣.正是基于這樣的教學現狀，新課程改革對數學教育不斷提出更高的目標和要求. 然而，不論是“四基四能”，還是數學核心素養，僅僅依靠教師單向的、講授式的教學，顯然是無法達成的.因此，在適當的數學情境下，“做數學”就成為數學課堂教學的應然選擇[1，2].

一、“做數學”理念下“圖形的旋轉”教學分析

（一）“做數學”的基本概念

“做數學”教學理念起源于美國科學學科實施的“Hands-on”學習計劃，我國于20世紀90年代在幼兒園和小學的科學教育中引入，后被引入數學教育[3].“做數學”理念下的數學教學強調知識源于生活，鼓勵學生通過觀察生活現象發現問題、提出問題.和傳統教學相比，“做數學”理念下的教學，不再將教師作為課堂的主體，教師不直接告知問題的答案，而是引導學生自己設計操作、親身實驗，在動手操作的過程中經歷新概念或者規律的形成，感悟思維和知識的發生.除了傳授數學新知外，“做數學”課堂還注重幫助學生體會數學基本思想，探究解決問題的基本路徑，提升數學思維品質.

（二）“圖形的旋轉”教材分析

“圖形的運動”貫穿整個義務教育階段的數學教學，而初中階段強調學生能夠通過探索來理解平面圖形運動的內涵，這也意味著學生需要更加主動、系統地研究圖形運動之間的共性和個性問題. 在蘇科版義務教育教科書《數學》八年級下冊中，“旋轉”是繼“平移”和“翻折”之后學習的另一種圖形的基本運動方式，也是后續學習“中心對稱圖形”的基礎，在知識體系中起著承上啟下的作用.旋轉的基本概念及對其性質的探索和歸納是這節課的重點和難點.數學課堂不僅要關注數學概念、性質、定理等顯性知識，更應重視顯性知識背后的學科思維、研究路徑和學科價值等默會知識.然而，在傳統教學中，教師一般直接講授圖形旋轉的概念和性質.這樣，學生就很難體會圖形的旋轉到底是如何發生的，又應該如何去探究、發現圖形旋轉的性質.這也導致學生無法用運動的眼光去觀察生活實際、去分析和解決數學問題.

為了解決這個“教與學”的矛盾，筆者從“做數學”理念出發，引導學生動手操作，以直觀地感受旋轉前后圖形所對應的基本元素在形狀、大小和位置關系上的不變性，體會圖形旋轉基本概念和性質的生成過程，進而歸納研究圖形運動的一般方法.學生通過自己的親身體驗來發現問題和解決問題，更能提升數學核心素養.

（三）設計理念

1.以生活實際為源，抽象數學新知

任何知識都離不開生活，筆者從學生生活實際出發，從具體到抽象，從感性到理性，循序漸進地引導學生認識自然界和生活中的運動，并從中抽象出旋轉模型，然后嘗試歸納旋轉的基本概念，探索其性質.

2.以學生操作為主，體會知識生成

對旋轉基本概念和性質的探究是這節課的核心環節.筆者讓學生操作系著砝碼的細繩以歸納旋轉的概念和基本要素，操作半透明的硫酸紙以探索旋轉的基本性質.整個課堂緊扣學生的主體地位，以探究式教學為主，引導學生在“觀察—操作—交流—歸納—應用”的實踐過程中主動探索、合作交流，在“做”的過程中充分體會新知的生成過程.

3.以整體理解為引，架構知識脈絡

笛卡爾指出：“要從錯綜復雜的事物中區別出最簡單事物，然后進行有秩序的研究.這就要求我們在那些已經通過演繹得到真理的推理過程中，觀察哪一個事物是最簡單項，以及觀察這個項與其他項之間關系的遠近，或者相等.”[4]圖形的旋轉是三種基本運動方式之一，那么在研究旋轉時就需要認識到平移、翻折、旋轉之間的整體聯系;同時作為“中心對稱圖形”的章首課，整個課堂不應止于下位知識的探索，而是要幫助學生明確課堂研究的目標是什么，又是如何去研究的，即幫助學生明確圖形的運動要研究的是圖形的“形狀、大小和位置”，要研究的是運動中的“變中不變”，從而真正提升學生發現問題、解決問題的能力.

二、“做數學”理念下“圖形的旋轉”教學設計

環節一：情境引入，梳理脈絡

問題1：法國著名哲學家伏爾泰有過這樣一句名言“生命在于運動”，正是因為各種運動，我們的生活才充滿生機，你能發現下列生活場景中的運動方式嗎？

【設計意圖】社會、數學知識和學生對數學課程發展的影響不是孤立的[5]，“做數學”理念下的教學從生活經驗出發，鼓勵學生從生活實際中發現問題.該問題通過生活場景喚醒學生對圖形運動的認識，引導其梳理幾種運動方式的特征。此外，格言引入式開場白還能夠活躍課堂氛圍，激發學生的學習興趣.

問題2：請說說我們之前是如何研究圖形的平移和翻折的？

【設計意圖】平移、翻折和旋轉是義務教育階段研究的三種基本運動方式，三種運動方式的研究路徑也具有一致性. 該問題從整體建構理念出發，引導學生回憶平移和翻折的相關知識，梳理其研究路徑.在已有學習經驗的鋪墊下，學生探索圖形的旋轉就“有路可循”.同時，這也能讓學生初步感悟圖形運動研究的目標是圖形的“形狀、大小和位置”的“變中不變”，進而培養學生合理聯想、類比推理等能力.

環節二：探索新知，形成概念

問題3：同學們，生活中有不少旋轉現象，你能準確說出旋轉的基本概念嗎？

問題4：讓我們動手操作來探索旋轉的概念（用細繩和砝碼），同時請思考，旋轉需要研究哪些基本要素？

【設計意圖】“做數學”理念下，教師要引導學生應用材料和工具，設計實驗操作、實驗、實踐等活動，讓學生能夠通過具身體驗來獲得數學概念和性質[6]. 旋轉的基本概念和三要素是這節課要研究的重點，也是研究旋轉的起點.學生已經初步知曉了什么樣的生活現象是旋轉，卻不能給出旋轉的數學定義，不論是課件上的圖片還是精美的動畫都無法讓學生直觀、準確地感受到旋轉過程的動態變化，因此也無法幫助學生抽象出旋轉的數學模型.該環節緊扣學生的具身體驗，通過細繩和砝碼設計了實驗操作，讓學生上臺演示旋轉過程.在操作的過程中，教師再引導學生觀察并思考：“拿住細繩一端的手是否能夠改變位置？旋轉過程中細繩的長度是否發生改變？砝碼向哪個方向旋轉？砝碼旋轉的角度是什么？”在觀察運動的過程中，學生歸納出旋轉的基本概念，同時明確旋轉需要研究的三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度.值得注意的是，細繩也代表了旋轉中心與對應點的連線，其長度不變也代表了旋轉中心與對應點的連線長度不發生改變，這也為旋轉性質的探究埋下伏筆.

環節三：實踐操作，探索性質

問題5：我們已經知道了旋轉的概念，下面我們要研究什么？我們又該如何研究呢？

【設計意圖】“做數學”理念強調學生學習的主體性和教學過程的交互性. 旋轉性質的探究是這節課的核心內容，這個環節不是直接告知學生旋轉的性質，而是引導學生知曉研究目的、明確研究方法.研究目的是非常明確的，即旋轉的性質.對于研究方法，問題4中砝碼的旋轉恰好給出了一個范例.我們可以將砝碼抽象成一個點，從點的旋轉開始研究，再研究線段和三角形的旋轉，從特殊到一般，從局部到整體，進而歸納出圖形旋轉的一般性質. 圖形旋轉性質的研究路徑詳見圖1.

問題6：請同學們動手操作（旋轉硫酸紙），在操作的過程中探索點的旋轉有什么性質？

【設計意圖】數學問題的研究應當是有序的，須由淺入深，沿著研究路徑逐步探索復雜問題的解決方法.該環節從點的旋轉入手，拾階而上再研究復雜圖形的旋轉.通過旋轉硫酸紙，學生能夠觀察到點是如何旋轉的，這就解決了“為什么要連接旋轉中心與對應點”這個樸素又關鍵的問題.據此，學生能直觀地發現點的旋轉的基本性質，即對應點到旋轉中心的距離相等.對點的旋轉進行探索能夠幫助學生明確探究的目標，即在旋轉這個動態變化的過程中有哪些元素是不變的，繼而對下階段探究線段和三角形的旋轉產生類比、聯想和深化，明確研究旋轉性質的一般方法.

問題7：你會探究線段旋轉的性質嗎？請按照點的旋轉的研究方法繼續探究.

追問：和點的旋轉不同，線段的旋轉要注意什么呢？

【設計意圖】基于點的旋轉的研究經驗，線段的旋轉性質的探究路線也逐漸明晰.和點的旋轉有所區別的是，在線段的旋轉中，旋轉中心位置具有不確定性，即在線段上和在線段外，這也是在探究過程中需要處理好的問題生成與問題深化之間的關系.在實際操作中，學生從點的旋轉角度延伸能夠自然聯想到的是圖2-1中旋轉中心在線段端點處的情況.這種情況下能夠得到如下發現：AB=AB′，且∠BAB′即為旋轉角.這也是大部分學生得到的結果. 此時應進行追問：旋轉中心的位置是否具有不確定性？在圖2-2中不難有如下發現：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在圖2-3中可以有如下發現：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.

問題8：相信同學們已經知道如何研究三角形的旋轉了，請大家嘗試動手操作.

追問：對于更復雜的圖形的旋轉，你要如何探究？

【設計意圖】系統地研究了點與線段的旋轉后，三角形旋轉的探究路線也躍然紙上，這是從局部到整體的遷移.有了線段旋轉的研究基礎，學生在旋轉硫酸紙的過程中就會很自然地對旋轉中心位置進行分類，分別是在三角形邊上（如圖3-1）、三角形內部（如圖3-2）和三角形外部（如圖3-3）.學生在認識到旋轉是剛體變換的同時也知道如何去探究旋轉的性質，即需要連接旋轉中心和對應點，將目光集中于旋轉角的相等、對應點到旋轉中心連線的長度相等，去探究“變中不變”.對于更復雜圖形的旋轉，探究目標和研究路徑也已然明確.由此，學生不僅習得了性質，更獲得了數學研究的方法，提升了解決問題的能力.

問題9：請同學們歸納圖形旋轉的性質.

【設計意圖】“做數學”理念強調學生獲得認知的主體性，在性質的歸納環節，教師要引導學生從實驗操作的結果中歸納、總結出旋轉的性質. 在學生探究了點、線段和三角形的旋轉之后，教師需引導學生歸納總結三者的共性，即旋轉前后圖形全等、對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角. 值得注意的是，在歸納過程中教師需要幫助學生明確旋轉的整體性，即圖形上的每一個點均隨圖形的旋轉而旋轉.

環節四：巧用性質，旋轉作圖

問題10：你能畫出點A繞點O順時針旋轉90°后獲得的圖形嗎？線段AB繞點O順時針旋轉90°后的圖形呢？三角形ABC繞點O順時針旋轉90°得到的圖形呢？更多復雜的圖形呢？

問題11：如圖4（見下頁），在正方形ABCD中，點E、G分別在BC、AB上，△ABE經過旋轉后得到△ADF.

（1）旋轉中心是哪一點？（2）旋轉角為多少度？（3）你能找到點G的對應點G′嗎？（4）若點M是△ABE內任意一點，你能找到點M的對應點M′嗎？

【設計意圖】性質的應用與性質的探索類似，還是按照從簡單到復雜、從特殊到一般的研究路徑.問題10的設置，是為了引導學生思考如何畫出復雜圖形旋轉后得到的圖形，即可將復雜圖形進行分解，如將三角形的旋轉分解成點的旋轉，從而確定旋轉后得到的圖形，這可讓學生感受到局部（點、線）與整體（三角形、復雜圖形）之間的聯系. 問題11的設置，是為了檢驗學生是否能夠識別旋轉中心、旋轉角，是否能夠找到旋轉后的對應點，以及是否能夠認識到旋轉是整體的.

環節五：課堂小結，梳理框架

問題12：你能說出這節課我們經歷了怎樣的學習過程，是如何來研究圖形的旋轉的嗎？

【設計意圖】課堂小結時，教師要引導學生梳理課堂學習流程，幫助學生梳理研究數學新知的一般路徑，即概念、性質與應用，進一步體現類比思想在探究三種運動方式中的應用. 對研究路徑進行梳理還能幫助學生認識到運動知識的整體性，以及數學知識之間的內在邏輯聯系.圖形的運動研究路徑詳見圖5.

三、對“做數學”理念下的教學設計的反思

（一）聚焦生活情境，讓數學種子在動手操作過程中生根

義務教育階段數學知識的來源、學習素材的選取都和現實生活緊密聯系，因此，課堂教學應該從學生熟悉的生活實際出發.教師要引導學生學會觀察并用數學的眼光觀察生活現象，引發共鳴，產生探索新知的內在需求及主動學習的動機，進而樂于學習.“做數學”理念下旋轉的概念和性質的探究，主張從學生的生活實際出發，強調自主動手探究，這也是其和傳統課堂最大的區別.一方面，教師要強調學生在課堂中應圍繞某個問題，自己動手開展一系列的操作、實驗、歸納等實踐活動，通過自主操作感悟數學知識.另一方面，教師也要鼓勵學生選取生活中常見的材料并設計實驗.

例如，在這節課的教學中，筆者從常見的生活場景出發，引導學生觀察生活情境，抽象出運動方式，引發學生思考：“生活中常見的運動之間有何關聯？旋轉到底具有怎樣的性質？”由此將課堂需要研究的“大問題”拋出，拉開課堂探究的序幕.在這節課安排的“環節二”中，筆者讓學生操作生活中常見的細繩和砝碼，以此探索旋轉的基本概念及三要素，進而抽象出點的旋轉的模型. 實際上，細繩連接的砝碼正是點的旋轉的雛形，細繩這一橋梁解決了“為什么要連線”這個最樸素的問題，旋轉過程中細繩長度不發生改變也恰恰折射出對應點到旋轉中心距離相等這個性質，為后續探究旋轉的性質打下基礎. 經過系列探究，圖形旋轉概念的生成過程不再是機械的記憶，學生用自己的頭腦、情感和肢體去思考、體驗，“做”出默會知識，發展了發現問題、解決問題的能力.

（二）緊扣學生主體，讓學科知識在思維碰撞中生成

知識、技能和能力的獲得最終都需要學生自我進行內化，因此，整個課堂教學應該緊密圍繞學生的主體實踐展開.不論是旋轉的概念、旋轉三要素還是旋轉性質的探究，都需要學生親自動手操作，教師則要進一步引導學生去發現、歸納.整個課堂中教師應起到主導作用，讓學生以小組為學習形態，并充分關注學生個體學習與協同發展，引導學生在“做”的過程中不斷完善研究路線和實驗方案，培養學生思維的有序性和多樣性.

例如，旋轉概念及性質的探究是這節課的核心環節，在“環節三”中，筆者為學生提供了協同學習的材料硫酸紙.在探究過程中，不論是由點的旋轉出發，經歷線段的旋轉和三角形的旋轉的探究路徑，還是由旋轉中心位置的不確定性引發的不同旋轉類型，都需要小組分享、全員溝通，需要教師進行適當引導，從而不斷完善實驗方案.在這樣的協同學習中，學生才能體會知識的生成過程，感受到自身能力的提升.

（三）著眼學科育人，讓核心素養在整體探究中生長

“做數學”的課堂預設是多元的：不僅關注知識的獲取與應用，也關注知識之間的聯系和區別;不僅關注問題的解決和分享，也關注問題的生成與深化. 學生之間思維的碰撞往往能夠激發學生個體的思考、發展創新思維，學生在交流的過程中也更易發現數學的本質.

這節課有一明一暗兩條研究線路. 一是明線，即旋轉概念和性質知識的生成過程.整個過程以學生為主體，教師引導學生動手操作，并在生生、師生對話中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，從而發現圖形旋轉的本質，即旋轉前后兩個圖形對應元素的不變性. 在此基礎上，筆者進一步深化問題，提出“對應點與旋轉中心連線有何性質，又要如何研究”.二是暗線，即將圖形旋轉與平移、翻折之間的聯系與區別貫穿于整個探究過程. 首先明確的是旋轉、平移和翻折研究路徑的一致性，都是從概念出發，繼而研究其基本性質和應用. 在旋轉概念的探究過程中，筆者引導學生觀察旋轉運動的特征，對比平移和翻折的概念，生成旋轉的基本概念，明確研究要素，即繞著一個定點、沿著順時針或者逆時針方向、轉動一定角度. 在旋轉性質的探究過程中，筆者引導學生發現旋轉性質和平移、翻折之間的區別，要研究的是對應點與旋轉中心連線具有的性質，而不是對應點之間連線的性質.

在這節課中，筆者不僅關注旋轉相關知識的探究，還通過“做數學”驅動學生進一步認識三種全等變換之間的邏輯關系，形成解決該類運動問題的一般思維模式，體會數學研究的一般方法，這也是學科育人價值的體現. 整個課堂教學緊緊圍繞學生自主設計實驗方案并動手實踐，達成知識體系的建構，發展學生的數學思維，真正實現了課堂角色的“翻轉”，讓學生的核心素養在整體、深度的探究中不斷生長. [□][◢]

參考文獻：

[1][6]董林偉，石樹偉.做數學：學科育人方式的實踐創新[J].數學通報，2021（4）：22-24，62.

[2]董林偉.“做數學”：中小學生適合教育的實踐構建[J].教育研究與評論，2021（3）：16-21.

[3]劉佳.Hands-on（動手做）在小學數學學習中的運用[D].上海：上海師范大學，2012：11-13.

[4]笛卡爾.探求真理的指導原則[M].管震湖，譯.北京：商務印書館，2005：31-32.

[5]章建躍.中學數學課程論[M].北京：北京師范大學出版社，2011：98-99.