重視數學嚴謹性 理解數學本質

陸蕓婷

江蘇省南通市通州區川港中學 226314

數學結論的由來都需要進行論證，特別是幾何部分的內容，強調了證明的必要性，反映出數學學科具有嚴謹性的特點.為了幫助學生更好地理解數學內容，教材會從具體的情境和基本事實導入，以符合學生的認知特點和知識結構水平，幫助學生更好地進入學習的狀態，更快速地理解這一內容.這些基本的生活情境可以使學生更加直觀地感受幾何圖形的變化，使數學從抽象到具象，幫助學生建立起立體幾何的認識，降低了學習的難度，但是給數學的嚴謹性也帶來了沖突［1］.因 此，教師在教學時應該注意數學的嚴謹性.筆者從具體的教學案例出發，談一談如何更好地體現數學教學的嚴謹性.

課標與教材分析

義務教育階段學生需要掌握幾何的基礎知識，主要包括：兩點確定一條直線；兩點之間線段最短的特點；直線垂直的定義；平行線的判定和平行線的相關性質；根據角的性質、邊的相等的特點判定全等三角形；直線被平行線所截，對應線段成比例.這七條基本的數學定義，是學生必須掌握的基礎知識.數學的三段論和推理規則，從原有的知識推導出結論，進而形成新的邏輯和推理方法，這是研究數學的核心原則.數學的定理都需要通過基本的假設和理論進行推導，除了不證自明的定理，其他的事物由來都需要通過基本的假設進行證明.

在各種科學領域當中，有一些不證自明的假設，這些假設被稱為“公理”.在科學領域當中，還有一些沒有經過驗證但被大家所接受的附加的假設，這些假設被稱為 “公設”.公理存在于各個科學的分支當中，不同的科學分支所具有的假設不盡相同，因此各個科學分支的公設是不同的.公設所具有的作用是在于在現實世界的經驗當中，如果公設被大家所懷疑，那么就無法傳遞科學知識.

數學著作《幾何原本》將人們根據經驗總結出來的幾何常識進行了很好的描述，這被稱為公設.同時一些不證自明的理論在書中進行了確定，這些被稱為 “公理”.隨著結構主義數學的發展，人們對于公理和公設的研究進一步深化，兩者之間的差異也逐漸消失了.因此一般的公設可以推導出大量的幾何事實和幾何定理，平面幾何中的定理都可以通過這一公設進行推理而被創造出來.因此當人們改變作為基礎的公設就會得到許多不同的公理和很多的理論，而這樣的理論是建立在公設基礎上的，故而公設不能被作為基于經驗的事實，而只能是單純的形式陳述.隨著現代科學的發展，人們對于公理的認識還在不斷發生變化.

基于這樣的認識，教材中對于具體場景的描述就是公理的一種具體的表現方式.而教材是將這些當作不證自明的公理來對待.從長期來說，這很容易給學生造成認知誤區，缺少了數學的嚴謹性.

公理化

幾何部分的學習是從幾何概念和幾何定理出發，建立起邏輯體系和方法，因此可以分解成以下四個方面：①列舉基礎的概念；②描述基本的定義；③列舉基礎公理；④敘述定理和進行證明.這四個部分具有內在的聯系，相互交織、相互依賴地組成在一起，四個部分按照邏輯原則相互聯系和演繹，構成了公理化的體系.公理化的演繹方法是一個統一的體系，這個體系是由抽象內容和邏輯體系構成.邏輯體系的構成需要不同的概念和公理，如果公理不同，那么形成的幾何體系自然也不一樣.幾何的邏輯結構具有不同的邏輯順序，這主要是由公理的先后次序決定；同樣的幾何體系也可以呈現出不同的邏輯結構，這主要是由公理的編排次序決定.如學生在中學幾何平行公理學完之后，會繼續學習外角定理和三角形全等的“角角邊”定理，這樣就可以根據已經學過的平行公理來繼續推導出“三角形的內角和等于180°”的定理，新的定理很容易獲得證明.但是在歐氏幾何的體系中，公理的順序卻不相同，平行公理的學習在這兩個定理的后面，所以學生就不能使用“三角形的內角和”定理，再加上同一個幾何問題有不同的邏輯結構，所以幾何證明的方法是不同的，它在不同的邏輯結構中使用的方法和次序都是不同的［2］.這就要求 學生在進行幾何證明時選擇準確的邏輯體系和驗證方法，如果出現方法和體系的不對稱，那勢必就會出現證明錯誤.

必要闡釋的“基本事實”

為了使全等三角形的判定證明過程更易于被學生接受，符合學生的認知習慣和特點，教材的教學目標中將所有的不定義概念和所有的公理都刪減了，也沒有將全等三角形的三種判定方法作為一種研究的定理，而是作為“基本事實”進行講解和提出.這實際上是為了使教學更加生動，接近學生的實際認知水平，這是幾何體系中對公理的一種教學上的處理.作為定理在教材中的出現，體現了教材編寫中出于嚴謹性的要求，但是從學生接受的程度上來說，又采取了另外一種處理的方法.那么在教學中教師應該如何處理呢？為了讓學生能夠體會數學的嚴謹性，教師是否可以通過準備材料進行證明呢？讓學生通過教師的呈現了解這三條定理由于難度過大，而被當作了一個 “基本事實”，對于證明的內容和證明方法可以在教學中弱化，但是通過證明這一環節，學生會對這一“基本事實”的認識更加深刻.

數學家根據著名的第五條公設提出的等價公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，這條定理也簡稱為 “平行公理”.第五條公設的內容是這樣的：如圖1，如果一條直線與兩條直線相交，在同一側的內角和比兩個直角小，那么這兩條直線在各自不斷地延伸之后，會在內角和小于兩直角的一側相交.

圖1

經過觀察學生發現，這條公設的內容和他們已經學習過的“同旁內角互補，兩條直線平行”的平行線判定方法是一致的.因此這個判定方法作為一種“基本事實”相較于定理而言更易于學生接受.而“同位角相等，兩條直線平行”的定理作為基本事實則不太合適，這個定理可以通過同旁內角互補的公理進行推理得出，更能體現數學的嚴謹和科學.因此教師在進行教材處理時要仔細斟酌，具體情況具體分析，不能“一刀切”，要從數學學科的特點和學生的發展兩個角度綜合考慮.從數學史發展的過程中可以看出，平行公理與同旁內角互補，兩直線平行的定理可以相互替代，可以說是等價公理.因此不需要將同旁內角互補判定直線平行作為基本事實.綜上所述，同位角相等判定兩直線平行的方法應該作為定理進行學習，而平行公理則可作為“基本事實”.

避免采用“基本事實”說話

教材在很多地方將公理當作了基本事實，這是基于學生的認知特點和認知規律，符合教學的實際情況，但是教師不能在教學中忽視數學學科的嚴謹性.數學定理和結論的得到都是通過實際的觀察和測量得出來的，如幾何中三角形的全等、圖形的平移、旋轉等性質，這些雖然沒有進行嚴格的證明，但是這些可以無須深究.當然也有一些結論的得到是例外，如證明對頂角相等的性質時，通過鄰補角進行證明，這樣的例子并不罕見，筆者不一一贅述.教材的編寫追求數學的嚴謹性，在很多地方得到了體現.

如“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這個結論的由來，教材沒有從“基本事實”進行表述，而是通過證明得到定理.教材在課后設計了一道習題進行證明方法的滲透，證明方法也設計在初中生的能力接受范圍之內，目的是希望學生將其作為定理進行學習.筆者認為在講授這個定理時可以通過這道習題講解證明結論的由來過程，讓學生體會數學邏輯的嚴謹性.

對于不在同一條直線上的三個點確定一個圓的結論，教材中則采用了反向證明法，通過這一方法還同時解決了一個經常應用但是沒有經過證明的結論——兩條直線平行，同位角相等.嚴謹性是數學學科的重要特征，因此在教學過程中教師要注意對定理的由來進行證明，若是有些結論以目前學生的能力還不能證明，也要講解清楚，不是不需要證明，是暫時還不適合進行這樣難度的驗證.等到進一步學習數學，掌握了更加高深的知識，學生就可以體會到數學的本質內涵［3］.

在論述結論為什么需要證明時，教材中進行了充分的描述，數學命題的正確與否需要經過有力的論證，經由充足的理論推理讓人信服，才能發現觀察分析、實驗結論等證明的重要途徑，而證明是驗證數學定理和公式的必經步驟.這就傳遞給學生一個重要的精神，數學需要嚴謹的精神，而不能都通過基本事實描述.

教學反思

（一）注重數學史知識融入課堂教學

數學史是數學從產生到發展的過程，從數學史的學習中學生可以更加深入地了解這一知識產生的緣由和影響，從而在探究過程中能夠吸取前人的經驗，避免走前人走過的彎路，遵循歷史發展的規律，促進數學成果的擴大.學習數學史的發展過程可以讓學生領會前人的研究思想和方法，為課堂教學尋找新的研究路徑開拓思路，也能讓學生感受數學成果的得到需要經過不斷的努力和探究.數學學科的發展是一個長期堅持的過程，不是一蹴而就地突然出現，是在不斷地研究觀察、反復實踐和思考分析中逐漸完善，研究的過程復雜而艱辛，需要巨大的努力和堅強的意志，數學史的學習顯然會讓學生深刻感悟數學家的思維過程，更好地感受教材的本質，理解數學家嚴謹的態度和追求真理的精神，進而不斷學習，形成正確的情感態度與價值觀.

（二）滲透數學論證思想

數學中的每一個結論和定理都不能想當然，都需要通過論證，而每一步論證過程都必須有充分的依據和理由.在證明過程中的理由只能有以下幾種假設：依據不證自明的公理，根據已經證明過的定理，根據理論的定義，根據證明過程中的上一步驟，根據某條邏輯準則.因此在數學學科的學習中，無論是哪一個板塊，都需要通過證明.比如垂線的性質、平行線的判定、全等三角形的判定等都需要通過論證向學生進行講授，不能當作固有的事實進行灌輸，否則就忽視了數學學科的嚴謹性，學生的學習方式就變成了記憶，思維能力沒有得到相應的發展.

（三）完善知識結構，構建邏輯體系

證明的過程一定是完整和嚴謹的，論證有條理有依據，過程理由充分，在一個完整的邏輯體系當中.只有證明過程嚴謹才能引導學生正確論證，避免邏輯錯誤.學生在幾何論證時，容易因為所學內容的順序造成證明過程錯誤，如將沒有得到證明的定理用于證明未知的結論，混淆“已學”與“已證”，或者將還沒有學習過的定理用于前面結論的證明，混淆邏輯順序.因此在教學環節中，教師需要充分理解教材的編排結構和學生的認知結構與認知水平，將學生的所學內容進行有序梳理，完整恰當地安排，形成嚴密的邏輯順序.

學生提取信息的過程與記憶中形成的信息痕跡和提取的線索有著很大的關系，因此教師在教學中梳理整合學生所學的內容，可以幫助學生形成比較嚴密的邏輯思維習慣.

綜上所述，數學教學過程中教師要關注教學的嚴謹性，從學生思維習慣出發進行定理的證明和論證，不能將定理當作基本事實處理，在論證的過程中不斷滲透嚴謹的學科精神，發展學生的思維能力.