基于深度學習的數學例題教學策略

朱敏敏

［摘? 要］ 深度學習視角下的數學學習，不只是解題，還應探查知識背后的方法、思想，進而浸染數學的思維方式、理性精神. 文章結合數學教材中的一道例題，從深度理解、深度體驗、深度思維和深度評價四個方面，闡述了深度學習視角下數學例題教學的基本策略，這對學生深度理解知識、提升分析問題和解決問題的能力、促進思維能力的進階提供了有益的啟示.

［關鍵詞］ 深度學習；數學例題；教學策略

深度學習，指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的知識和思想，將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習［1］. 具體表現為學生的學習不能僅停留在知識本身，還應深入到知識背后，獲取背后所蘊含的思維價值，實現知識、能力和思維的同步發展. 數學教材上的例題是知識呈現的重要載體，看似簡單的題目都是專家精心挑選的，不過受書面形式和篇幅的制約，試題呈現時隱藏了蘊含在其中的思維過程. 面向核心素養時代的訴求，例題教學已不能僅停留在解決試題本身，還要體悟到專家的編寫意圖，還原知識的生長過程. 教師應該讓例題教學成為學生深度學習的支撐點和生長點，帶領學生走進專家設計例題的思維過程，培養學生分析問題、探究問題的能力，從而領悟數學本質. 下面，筆者結合蘇科版八年級上冊第157頁的例題，從深度理解、深度體驗、深度思維和深度評價四個方面探究深度學習視角下的數學例題教學策略.

例題?某蔬菜基地要把一批新鮮蔬菜運往外地，現有兩種運輸方式可供選擇，主要參考數據如下：

請問：該基地選擇哪種運輸方式更合適？

整合信息，深度理解

整合信息，是指學生與問題對話，對題目的文字進行解讀. 也就是，逐字、逐詞、逐句地分析，圈出關鍵詞或關鍵信息，明確每個條件、每個數據的意義指向，把頭腦中的已有知識與試題信息加以整合，獲得新的發現，從而達到對問題的深度理解.

試題中的眾多信息之間具有一定的邏輯性、結構性，學生可在教師的引導下，聯想、調動、激活已有的學習經驗，以融會貫通的方式重新組織問題，弄清楚試題中各種量之間的關系. 問題“哪種運輸方式更合適”是學生生活中常見的購物選擇問題，與實際聯系緊密；試題的條件以表格形式呈現，認真分析表格，弄清每個數據表示的意義，有助于真正理解問題. 運輸方式選擇的關鍵是比較汽車、火車兩種運輸方式總費用的多少. 由表格可知，運輸的總費用由裝卸費和途中綜合費用兩部分產生，裝卸費是常量，不發生變化，但途中綜合費用是變量，按小時收費，與運輸時間有關，運輸時間又取決于運輸路程的長短，這樣層層分析便能確定問題的關鍵量：運輸路程. 這是學生突破認知障礙的關鍵點.

問題解決，深度體驗

深層次的問題理解，能為下一步的問題解決做鋪墊. 問題解決強調學生深度參與，經歷獨立思考、探索討論、質疑觀點、形成共識的過程，從而獲得深度學習體驗. 其起點是獨立思考，自主認知. 在這個環節，教師要留給學生充足的時間，讓他們思考、加工、書寫想法，從而培養學生的主動思考能力. 此外，教師還要遵循學生的認知規律，設置問題串，幫助有困難的學生小步前行.

問題1：運輸路程為60 km時，選擇哪種運輸方式更合適？運輸路程為100 km呢？120 km呢？

問題2：設運輸路程為x km，汽車、火車的運輸總費用分別為y1元、y2元，請分別寫出y1，y2與x之間的函數關系式.

問題3：該基地到底選擇哪種運輸方式更好？請給出你的方案.

問題是思維的引擎，學生課堂上的思維是圍繞問題展開的［2］. 漸進式的問題設計，引領學生愿想、愿思、愿學、愿做，激發了學生的學習動力，推進了學生深度學習探索活動的開展. 學生帶著自己的思考成果，與同伴交流討論，教師則適時引導、點撥，給學生創造深度體驗的學習氛圍.

“問題1”的設置面向全體學生，根據前面的信息整合，由已知運輸路程可確定運輸時間，進而分別計算出汽車、火車兩種運輸方式的總費用，比較總費用的多少從而做出選擇. 給出運輸路程的具體數值，能幫助學生獲得對問題最初的直觀認識，從而為后面問題的解答做鋪墊.

“問題2”的設置體現了從特殊到一般的思想——通過確定問題中的變量，建立函數模型. 在運輸路程為x km的條件下，分別表示出汽車、火車兩種運輸方式所用的時間，這對部分學生來講是個難點. 表格中的信息體現了運輸總費用隨運輸時間的變化而變化，所以在這個難點上教師可組織學生思考討論、交流觀點、深化認識，從而得出y1，y2與x之間的函數關系式為y1=4.5x+200，y2=2.4x+410.

“問題3”是本例的核心，涉及核心知識——建立數學模型，把生活問題數學化. 在已經得知y1=4.5x+200，y2=2.4x+410的基礎上，如何進行運輸方式的選擇呢？此時可把思維過程再次還給學生，組織學生交流互助、討論爭辯，激發學生的靈感，從而產生新觀點、新思路，使理解走向深入. 運輸方式的選擇就是比較兩個函數值的大小. 由“問題1”“問題2”的解答可知，y1，y2的大小關系并不固定，隨著x取值的不同，y1，y2的大小關系也隨之發生變化. 比較y1，y2的大小關系時，可采用如下兩種方法.

方法一，在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，結合函數圖象，分段討論，可以獲取直觀的解釋，如圖1所示.

兩個函數圖象產生交點，即產生特殊值x=100. 接著，教師引導學生弄清楚x=100的實際意義，從而順利地將比較y1，y2的大小問題轉化為自變量x與特殊值100的大小關系，最終得出解決問題的方案：

當x=100時，y1=y2，即當運輸路程為100 km時，兩種運輸方式的總費用相同，此時選擇汽車運輸或火車運輸均可；

當x＜100時，y1＜y2，即當運輸路程不足100 km時，選擇汽車運輸更劃算；

當x＞100時，y1＞y2，即當運輸路程超過100 km時，選擇火車運輸更劃算.

方法二，通過“作差法”來比較y1，y2的大小，即把y1，y2的比較大小問題轉化為一元一次方程和一元一次不等式，通過解方程和解不等式來求解. 這種方法不需要畫圖，通過運算就能解決，操作過程簡捷，更受學生的歡迎.

當y1-y2=0時，（4.5x+200）-（2.4x+410）=0，解得x=100. 所以，當運輸路程為100 km時，兩種運輸方式的總費用相同，此時選擇汽車運輸或火車運輸均可；

當y1-y2＜0時，（4.5x+200）-（2.4x+410）＜0，解得x＜100. 所以，當運輸路程不足100 km時，選擇汽車運輸更劃算；

當y1-y2＞0時，（4.5x+200）-（2.4x+410）＞0，解得x＞100. 所以，當運輸路程超過100 km時，選擇火車運輸更劃算.

核心問題承載著學生對知識的整體建構，其他外圍問題是在幫助學生逼近核心知識，最終消化理解，體現深度學習的著力點. 問題解決的過程，體現出課堂因“賦權”而“增能”，學生在完成問題解決和知識建構的同時，能力、思維和情感都得到了發展，從深度學習的角度來看，學生獲得了更為深刻的學習體驗.

遷移應用，深度思維

在課堂學習中，核心知識具有很強的再生力. 核心知識的習得能夠幫助學生獲得解決一類問題的能力［3］，這就是我們常說的遷移應用能力. 遷移應用需要學生具有綜合能力和實踐創新意識. 學生通過問題的解決，快速整合資源產生新的問題，這是遷移，遷移是經驗的擴展與提升. 教師的追問可以幫助學生遷移出更多的問題，引發學生更多的想法，增大學生的思維容量，促進思維的進階發展，促進學生批判性思維和創新能力的發展. 學生能在聽懂的基礎上，利用所學知識解決新生問題，這是應用. 應用是將內化的知識外顯化，是學生學習成果的體現.

問題4：若飛機的運輸速度為500 km/h，裝卸費為500元，途中綜合費用為3600元/h，此時應怎樣選擇呢？

問題5：結合自己生活中熟悉的方案選擇問題，如購物、配送、上網等，利用數學知識分析最佳方案的選擇，寫出有關的活動報告.

有價值的問題能不斷地轉化學生的學習能力，為學生的深度學習鋪設臺階. 給出問題4之后，教師要把時間留給學生，引導學生帶著剛收獲的經驗再判斷，再思考，再交流，再討論.

“問題4”的設計鏈接了新情境，形成了新任務，能讓學生積累新經驗. 航空運輸方式的介入讓學生感到新奇，解答“問題4”能很好地反映學生對剛剛習得知識的掌握情況，且能讓學生進一步體會、感悟函數圖象法和代數作差法兩種思想. 設運輸路程為x km，飛機的運輸總費用為y3元. 由題意得y3=7.2x+500. 在同一平面直角坐標系中畫出y1，y2，y3的圖象，如圖2所示. 觀察圖象，發現直線y3與直線y1，y2并沒有交點，此時教師可組織學生結合實際生活想想這是為什么，并讓他們說說汽車、火車、飛機三種運輸方式的優缺點. 函數圖象直觀地告訴我們，飛機運輸雖然速度快，但費用明顯高于汽車運輸和火車運輸，這點與實際生活情境一致. 三種運輸方式的選擇同“問題3”的答案. 此時教師還可以讓學生通過作差法驗證結論，再次感受到函數圖象法與代數作差法都可以作為解決購物選擇類問題的通法. 從而體會到數學來源于生活，又服務于生活.

“問題5”要求學生類比例題，自編自解，目的是引導學生在生活中學習，在學習中思考，在思考中樹立正確的價值判斷. 受課堂時間的限制，“問題5”留在課后解決，教師第二天收集每個學生的活動報告，并張貼在教室，供全班交流、評議.

例題學習的背后蘊含著豐富的思維和智慧. 實際問題的解決，能讓學生體會到函數在解決實際問題中的建模作用；用函數圖象法解題，能強化數形結合思想的應用，并從新的高度挖掘學生的思維潛能，促進學生形成勇于創新的思維品質. 在平時的教學中，教師要幫助學生遷移所學，創造性地解決問題，讓學生在“學會”和“會學”上有所提升，從而引領學生走向深度學習. 深度學習重視學生的實踐意識和遷移應用能力. 遷移應用能激活和增進學生的深度理解，其價值取向是將獲取的核心知識當作一粒種子，使其生發出思維的生長力，這也正是問題背后所蘊含的價值.

反思認知，深度評價

深度學習本身具有反思特征. 學生對學習過程保持良好的批判精神，有利于深度學習的實現. 質疑是為了更好地相信，反思是為了更健康地成長. 一些教師總認為反思是學生自己的事，其實要使反思增值，作為教師，要善于捕捉課堂上的各種信息，重視學生對各種方法的理解，傾聽他們的想法，感受他們想法的由來，以此作為引導學生反思的途徑，從而培養學生的反思能力和自我批評能力.

“基于例題的解決過程，你能用自己的語言，敘述學習過程中的收獲嗎？”“在問題解決的過程中，你是否關注到了重要信息并合理應用？”“今天的例題學習涉及以前所學的什么知識？蘊含了哪些數學思想？”“在學習過程中，你是如何調動已有經驗的？”“面對問題，你是否會主動地思考？”“你的一些新奇想法是在他人想法基礎上的改進還是自己的創新？”“你們小組成員合作得如何？在挑戰性的問題下你為小組活動做了哪些貢獻？”……隨著反思的不斷深入，學生對知識的理解更加深刻，思維能力更加深廣，數學核心素養的培育更深、更實.

數學素以簡捷美而著稱. 數學教材中的例題雖然形式簡單、呆板，卻是數學知識呈現的主要載體，其背后蘊含著深刻的思維. 在平時的教學中，教師只有鉆得深，研得透，方能引導學生學得深，學得透，給學生帶來更加滿意的學習體驗. 深度學習是“真”的教學，內含學生積極主動地學習，關注學生深層次的思考，是培養學生核心素養的有效途徑之一. 問題情境、知識建構、問題解決、遷移應用、反思改進的過程，能促使學生實現知識上的高層次認知目標，達到思維上的進階. 深度學習是“好”的教學，每一位教師都要致力于教學態度上一往情深，教學方法上探索創新，教學過程上體驗動心，教學效果上喚醒求真. 要讓學生的深度學習在課堂上真正發生！教育需要“阿凡達”，去開啟學生眼中的“創新亮光”.

參考文獻：

［1］何玲，黎加厚. 促進學生深度學習［J］. 現代教學，2005（05）：29-30.

［2］余文森. 核心素養導向的課堂教學［M］. 上海：上海教育出版社，2017.

［3］龍寶新. 走向核心知識教學：高效課堂教學的時代意蘊［J］. 全球教育展望，2012，41（03）：19-24+62.