思政元素融入大學數學課程的思考與實踐
——以微積分學課程為例

李靜澎 張柳霞

2016 年12 月，習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調，高校思想政治工作關系高校培養什么樣的人、如何培養人以及為誰培養人這個根本問題。要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿到教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面。[1]育德與育才的辯證統一是在學校教育中難以回避的問題，是每位教師在教學過程中持續思考并不斷實踐的內容。課堂教學作為主渠道，應與思想政治理論課同向同行，形成協同效應。挖掘每門課程中所蘊含的思政元素，對于落實立德樹人根本任務、實現價值引領具有積極意義。[2]

一、大學數學課程特點及融入思政元素的必要性

作為基礎學科的基礎，數學貫穿于人們的學習、勞動與生活，也為所有學科的發展提供力量，引領世界的改變。大學數學課程是高校開設的公共基礎課程，也是很多專業的專業基礎課程，其重要性不言而喻。大學數學課程的下述特點，決定其可以且應當成為思想政治教育的重要載體，承擔起價值塑造、知識傳授、能力培養的任務。

（一）課程開始時間早，持續時間長

由于課程的基礎性，數學課程往往作為新生課程，在入學之初就進入學生視野，學習時間短則一學期，長則要延續到大學三年級（多為理工科學生）。課程的基礎性和持續性既與數學課程本身的遞進性特點有關，例如概率論知識的學習需要一定的微積分學基礎；又與專業課程的需求結構有關，例如經濟管理專業的學生學習經濟學需要一定的微積分知識儲備。數學課程的開始時間和持續性，使得借助其開展思政教育具備優勢。大學階段是學生人生觀、世界觀和價值觀形成的關鍵階段，新生進入大學學習，面臨著轉變身份、適應新環境的挑戰，而他們的思維與人格品質等仍然不夠成熟，面對外部環境的變化和復雜性，容易迷失或者迷茫。在學生學習數學課程的過程中，恰當地融入發揮價值引領作用的思政元素，將有益于學生在大學環境中逐步適應、調整狀態、把握節奏并獲得成長。

（二）專業支撐性強，應用性廣泛

從專業知識儲備的角度看，數學課程的理論、思路和方法是后續很多專業課程的知識基礎和重要工具，數學學科本身蘊含的理性、邏輯、嚴謹、思辨的特質和結構化、步驟化的解決問題方式，也有益于學生素養和能力的提升。從應用范疇的角度看，社會經濟、科學研究的方方面面都離不開數學知識。引入思政元素后的數學課程，可突出數學與科研前沿、社會經濟生活、各行業專業領域的相關性，既能增進學生對專業的把握，又可增強對數學學科的認識。

（三）高度的抽象性，邏輯的嚴密性

抽象與嚴謹是數學學科的顯著特點，大學數學課程則體現出更高程度的抽象性與邏輯的嚴密性，高度概括且嚴謹的數學語言、巧妙的證明思路、嚴格的推理在課程中一一展現，對學生抽象能力、邏輯思維能力的訓練貫穿于課程的全過程。此時如果能把價值觀、辯證思維、數學史等思政元素有機融入教學，既可增強數學知識的趣味性，有效調動學生學習數學的積極性，又可“如鹽入水”般自然地實現知識傳授、能力培養和價值引導。

（四）豐富的文化內涵

數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，還包含數學史、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系等。[3]大學數學課程中蘊含著豐富的文化內涵，其文化教育價值為培養學生的科學精神、人文精神和數學素養奠定了基礎。[2]大學生大多數經歷了長達12 年的基礎數學教育，難免在應試的壓力下忽視數學的文化屬性，進入大學階段后，教師可突破學生長期以來將數學視為“解題訓練”的慣性思維，將數學的文化屬性在課堂上展示出來，這既能更好地激發學生學習數學課程的興趣和動力，又能引導學生領略豐富的文化內涵，體現數學的人文教育價值。

二、思政元素與大學數學課程的結合點

每個學科專業的課程都蘊含著思政元素和育人資源，要在確保專業課程知識體系科學性和邏輯關系嚴密性的基礎上，在遵循思政工作規律、教育教學規律、學生成長規律的前提下，把課程中蘊含著的思政元素挖掘出來并融進課程教學。[4]下文以大學數學課程開設內容中最為普遍的微積分學為例，闡述在大學數學課程中如何挖掘出思政元素并將之融入課程教學。

（一）哲學思維的植入

數學與哲學的關系密不可分。數學本身即是哲學思考產生的一個重要來源，為哲學的生存與發展提供了豐富的實踐環境。[5]數學與哲學都來源于實踐并作用于客觀世界，二者相互影響、相互促進。數學的發展深刻詮釋了“從生動的直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實踐”的過程，與辯證唯物主義認識論的“認識從實踐中產生”“認識的真理性只有在實踐中得到檢驗”等觀點一致。

許多基本數學概念和方法都蘊含著豐富的哲學思想，伴隨著課堂教學即可自然巧妙地植入哲學思維。例如微積分學中的極限知識點，描述極限定義的時候，需要從感性的認識、具體例子的推演、數學分析的語言、幾何形態的描述等幾個方面去反復釋義，讓學生對不斷逼近、有限的變化、無限的變化進行深入的思考，逐步加深對于極限定義的理解。教學過程本身蘊含著有限與無限的對立統一、量變到質變的辯證規律等深刻的哲學思想。課程講授全過程中既有極限定義的逐步深入講解，亦可有效傳遞哲學思想，可于無形中進一步加深學生對辯證規律的認識和理解。通過引導學生總結歸納，更有利于提高學生的辯證思維能力，樹立且形成辯證唯物主義的世界觀與方法論。

（二）數學文化的融入

學生對數學知識的理解應該不僅僅包含學習數學知識的經驗，而是應該建立在他個人具有的全部經驗基礎上。數學知識經歷和其他各種經驗經過整合并有機地聯系在一起，形成他自己個性化的知識。在數學學習中，學生獲得的不僅僅是顯性的知識，如數學符號和法則，還包括隱性的精神、思想、方法和價值觀念，后者服務于人的個性的不斷成長。[6]學習數學的過程，可以成為接收數學所蘊含的豐富文化內涵的過程，其主要有以下途徑。

1.數學史的嵌入

在課程講授中適時嵌入數學史的知識，既可以讓學生更好地理解數學的概念和方法，又可以在追溯數學工作者研究數學的歷史過程中所處的背景、對人類社會的影響等時，將新知識的學習放在歷史背景中展開，增加學生學習數學知識的興趣，并引發其對相關歷史背景的思考，達到滋養其人文素養的目的。

例如，在講授導數概念的時候，往往以牛頓和萊布尼茲發現導數的過程為例，體現“數學來源于生活”“數學與實踐之間的密切聯系”。與此同時，教師可進一步介紹微積分發明權之爭，指出牛頓的擁護者否認牛頓與萊布尼茲對微積分發明的獨立貢獻，堅持認為是萊布尼茲剽竊了牛頓的研究成果，對牛頓的盲目崇拜、對英國數學在國際上地位的盲目自信，導致了英國數學故步自封。[7]這在引起學生對導數概念興趣的同時，也引發其對這一段歷史中所折射出來的盲目又狹隘的民族主義所帶來的負面影響的思考。

2.數學美的展現

數學類課程中充滿著美的要素，概念之嚴謹、公式之簡潔、定理之深刻、圖形之勻稱、理論之和諧、應用之廣泛，充分展示著數學之美。[8]不論是心形線、星形線、螺旋線、馬鞍面等數學圖像所體現出來的直觀上的美感，還是莫比烏斯帶、斐波那契數列、黃金分割比等具有完美特征讓人忍不住發出驚嘆的數學現象，抑或是簡潔的公式、嚴謹的定理，都在闡述著數學中的美感。教師可結合所授內容，將與數學之美有關的案例向學生展示，這既可以激發學生的興趣，又可以使學生體會到數學之美的含義，從而提升審美能力，實現感性與理性兼具的審美感受。

例如，在講授極限定義的時候，從描述性的定義到用魏爾斯特拉斯的定義，學生可以從中感受到數學的簡潔之美；在講授微分中值定理的時候，從羅爾定理、拉格朗日中值定理到柯西中值定理，教師可以分析三個定理之間包含與推廣的關系，向學生展示數學定理之間的和諧之美；而多元函數微積分學部分，則可以通過引入空間圖形的實例，例如廣州塔“小蠻腰”（單葉雙曲面）、廣東星海音樂廳的屋頂（拋物雙曲面），讓學生直觀感受數學圖形的美感及其在社會生活中的廣泛應用。

（三）對專業知識、生活實踐的支撐

專業領域的知識、專業的應用前景等無疑是在校學生最為關注的問題，經過大學階段的學習，學生終將邁入社會，將所學的專業知識應用于工作和生活的實踐中。長期以來，受到應試思維的影響，很多學生對數學學科的認識停留在其“工具性”上，枯燥乏味的“刷題”模式讓學生對數學的學習失去了興趣，因而進入大學后很多學生對數學課程學習的必要性抱有懷疑態度，認為只要專業課程過關，數學課程無足輕重。另有一種看法是，擺脫高考即是擺脫了數學，數學只是高度抽象的數字游戲，與日常生活并無關系。而實際上，數學尤其是大學階段的數學課程，對學生專業課程的學習以及進一步深造的支撐作用是不容忽視的。因此，教師需要在教學過程中將如下觀念傳遞給學生：一是糾正學生對數學課程的態度，幫助他們正確理解所開設課程對專業課程的支撐作用；二是開闊學生對數學應用范圍的思路，將實際應用問題轉化為數學模型問題，改變學生對數學學科的認知；三是充分調動學生的積極性，引導學生參與到思考的過程中來，挖掘并歸納其中的數學思維模式，認識到知識的應用也許會有局限，但數學思想、數學方法的應用則廣闊且深遠。

數學課程中很多知識點與專業領域相關，二者的有機融合可以在課堂中以引例、數學模型、案例分析等方式得以呈現。例如，經濟學中均衡價格、邊際成本、邊際利潤、需求價格彈性等概念都和函數及其導數有關；社會經濟問題中的評價模型需要基于指標體系、采用一定的賦權方法才能得以應用；定性數據的分析離不開對均值和方差的理解，而定性描述向定量數據的轉化無疑需要數學概念和方法的幫助。解讀生活中的現象與問題同樣離不開數學，例如與人們生活密切相關的房價拐點、疫情時代新聞媒體上頻頻出現的疫情拐點，都應該建立在對“拐點”這一概念的正確解讀和認知上，才能突破認知的盲區，避免錯誤理解。

（四）價值觀的塑造

大學階段是塑造學生世界觀、人生觀、價值觀的重要階段。在當今社會復雜深刻的國際形勢、多元文化思潮沖擊的背景下，大學生接收信息的渠道廣且速度快，十分有必要在課堂教學的過程中，將愛國、敬業、誠信、友善等社會主義核心價值觀融入其中，讓學生接受正確的思想引領。教師可將有益于學生價值觀塑造的思政元素融入課程教學，具體可有以下方面。

1.提升學生的民族自豪感、愛國情懷與文化自信

中國古代數學的輝煌成就、古典文學中蘊含的數學思想、當代中國科技取得的巨大成就中數學的強有力支撐，這些案例可以在教學中恰當融入，提升學生的民族自豪感和責任感，激發愛國情懷，增強文化自信。

例如，講授極限概念的時候可以將劉徽的割圓術以及祖沖之在此基礎上計算圓周率的故事作為引例，指出這一成就比法國數學家韋達的成果早一千多年；講述定積分的時候，引入祖暅利用劉徽的“牟合方蓋”理論去計算體積，并提出了著名的祖暅定理——“緣冪勢既同，則積不容異”，比意大利數學家卡瓦列里提出的卡瓦列里原理早一千年；中國高鐵的快速發展被國人引以為傲，高鐵的平穩運行離不開“曲率”的概念，此外在航空航天、信息技術、材料科學等領域，都離不開數學的貢獻；而李白著名的詩句“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”，則可以引導學生感受古代文學與極限思想的完美結合。

2.引導學生建立理性、客觀與誠信的態度

嚴密的邏輯性是數學的特點，數學課程的學習對于引導學生理性思考、在紛繁雜亂的信息面前保持客觀具有積極的作用。如果能再結合生活實際進一步引發學生的思考，對于塑造其科學誠信的價值觀會更為有益。

例如，微積分中第二個重要極限與連續復利模型密切相關，教師可以先講解知識點，再指出當前消費貸、校園貸陷阱頻發的社會現象和具體案例，引導學生利用復利模型去分析其背后高利率與高風險的隱患，引導學生樹立正確的消費觀，避免高息貸款的陷阱。講授極限計算著名方法——洛必達法則的時候，則可以適時引入洛必達法則發明背后的故事，向學生介紹洛必達法則實際上是約翰·伯努利發現的，但最終卻被命名為洛必達法則的緣由，由此引導學生關注學術誠信問題。

3.激勵學生勇于創新、敢于面對挫折、不懈求真的精神

數學知識中蘊含著很多做人的道理，只需在課堂教學的過程中稍做提示，或者鼓勵學生歸納總結，引導學生討論分享，即可達到育人的目的。借助數學概念，可引導學生端正態度，勇于挑戰，敢于面對挫折。例如講到極值的概念，可以提到極值如同人生起落，要正確看待人生的每個階段，遇到挫折時不要悲觀絕望，取得成績時不要驕傲自滿，無論低谷還是頂峰，都是新起點。而新思路新方法的提出，即可凸顯創新精神的重要性，例如引入定積分概念時，通過分割（化整為?。?、近似（以直代曲）、求和（化小為整）、取極限（精確化），可以引導學生用所學知識解決新問題，鼓勵創新意識。數學計算追求嚴謹，必須考慮全面，否則將“失之毫厘，謬以千里”，以此鼓勵學生不懈求真。

三、微積分學課程教學中融入思政元素的實踐與反饋

（一）以極限定義為例的課程思政實踐

一般而言，微積分學課程于大學一年級開設，主要涵蓋極限、導數與微分、不定積分與定積分、多元函數微積分學等內容。其中極限的定義是連續、導數、定積分等知識的基礎，在整個微積分的學習中具有貫穿全局的重要作用。于學生而言，極限是大學生學習數學的第一個新知識點，一般在開課的第1—2 周開始講授，與新生適應大學生活的節奏同步，同時又因其高度的抽象性而成為學生學習微積分學課程所面臨的第一個挑戰。在極限部分的課程講授中，恰當融入思政元素，開展課程思政的教學實踐，將傳授知識、價值塑造、能力提升融合在一起，可以使學生在理解概念的同時，進一步強化對學科的認識，助力其價值觀的塑造。這既具有恰當的契機，又具有現實的可操作性，并可進一步檢驗課程思政實踐的效果。

2022—2023 學年秋季學期，筆者講授三個專業、兩門涉及微積分學教材的數學課程，分別是人力資源管理專業本科、會計學專業本科的《經濟數學——微積分》以及數字媒體技術專業的《高等數學Ⅰ》。在極限定義部分的講授中，課程思政主要從以下四個方面切入。

1.極限定義的引入

以劉徽的割圓術作為案例引入極限概念，提升學生的民族自豪感和愛國情懷。

案例具體如下：劉徽是魏晉時期偉大的數學家，中國古代數學理論的奠基人之一，公元263 年寫了著名的《九章算術注》。在該書中劉徽創立了“割圓術”這一新的數學方法：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！边@一方法其實就是極限思想的體現。進一步提及中國古代數學家在圓周率計算方面的成就：到了南北朝時期，祖沖之在劉徽研究的基礎上繼續努力，使圓周率精確到了小數點以后的第七位；在西方，這個成績是由法國數學家韋達于1593 年取得的,比祖沖之晚了一千一百多年。

通過劉徽割圓術的展示，引導學生建立對極限思想的直觀感受，同時介紹了中國古代數學的輝煌成就，以此引發學生的民族自豪感，進一步激發學生的愛國熱情，激勵學生學以致用，為中華民族的復興而努力奮斗。

2.極限定義的描述

通過極限定義的描述性分析，揭示有限與無限、量變到質變的思想，引導學生加強對辯證唯物主義世界觀和方法論的認識，提升學生的思維能力。

數列部分是學生在高中階段學習過的內容，課程講授中以具體數列作為切入點，例如數列，通過n＞10，n＞100，n＞1000 等情況，解釋un與1 的接近程度，以此來逐步歸納出數列極限的直觀描述，使學生對數列極限產生具象的體會，建立由具體到抽象的數學思維模式，同時感受有限與無限的對立統一、量變到質變的辯證規律，體會數學中蘊含的哲學思維。進一步，在講授ε的任意性和暫時固定性時，讓學生體會到事物的兩面性，建立多維度看待問題的思維方式。

實際上，微積分學中，整個極限部分的內容都充分體現了辯證唯物主義的哲學思想，包括極限定義之后涉及的無窮小與無窮大、函數連續等內容。學生通過反復學習、思考并且應用極限思想，對其哲學思維品質的提升無疑是有益的。

3.極限定義的提出

數列極限的“ε-N”、函數極限的“ε-X”“ε-δ”等定義的描述與對比，展露出抽象、嚴謹兼具的數學特性，呈現了數學學科的簡潔之美。

極限的定義可以使學生感受到微積分學高度抽象和邏輯嚴密的特質，但部分學生表示這部分內容難以理解。此處教師可以多次重復、反復“滲透”，以對比及類比的方式逐步加強學生對這一定義的理解，同時要強調這一定義所呈現出的數學之美：簡潔之美、嚴謹之美，讓學生體驗數學學科的魅力。

4.極限定義的理解

利用古詩詞中蘊含的極限思想，加強學生對極限思想的理解，并體會到數學之美。唐朝詩人李白的名篇《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中有一句“孤帆遠影碧空凈”，正是極限思想的體現，如果把帆影的長度看作一個函數，這句詩描述的正是函數極限為0 的情況。這個案例巧妙地將古代詩詞與數學知識結合起來，既有助于學生更好地理解函數極限，又增加了數學的文化屬性，讓學生體驗到數學之美。同時，這句詩詞反映出的內容恰是“無窮小”，可作為后續課程的一個鋪墊，體現出課程思政的延續性。

上述四個方面，除“割圓術”部分需要通過課件具體展示，占據一定時長外，其余內容均只需在授課過程中“點到即止”，既不會由于占用過多學時而影響教學進度，又可落實思政教育目標。

（二）思政元素融入大學數學課程實踐的反饋

思政元素在課程中的融入，既要尊重學科的特征，又要符合學生的特點，尊重學生的需求。在教學實踐過程中，為更好地把握學生對于學科和課程的認識，檢驗課程思政的實踐效果，了解學生對課程學習的需求和期望，筆者在經過一段時間的課程思政教學實踐之后，采用調查問卷的形式，對所授班級學生展開了調研。

調研的基本情況為：在講授完“數列極限、函數極限定義”之后，講授“無窮小量與無窮大量”之前，在課堂教學開始前完成問卷發放。利用“問卷星”軟件在學生微信群中發放問卷，學生人數共計120人，最終回收問卷112 份。

調研主要圍繞兩部分內容展開：第一部分是學生對極限部分涉及的課程思政相關內容的反饋，包括對“劉徽割圓術”案例的反饋和學生對極限概念所蘊含的哲學思想、體現的學科特點的感受；第二部分是學生對數學學科的認識，包括數學學科的特征、數學與生活、專業的關系等。此外，為了更好地開展教學工作，圍繞學生對課程學習是否有信心、既往數學學習中有何經驗、目前學習中存在的困難發布了相關問題，其中經驗和困難部分主要用于教師教學過程的參考，其內容本文不再贅述。

1.對“劉徽割圓術”案例的反饋

表1 呈現了學生對“劉徽割圓術”案例的部分反饋，可以看出這一案例對學生的觸動比較大：一方面通過割圓術的展示和描述，學生對極限思想有所理解；另一方面，古代數學的輝煌成就激發了學生的民族自豪感，增強了文化自信，也觸動了學生的愛國熱情。

表1 部分學生對“劉徽割圓術”案例的反饋

2. 對極限概念所蘊含的哲學思想、體現的學科特點的感受

極限概念是微積分的基礎，其中蘊含著豐富的哲學思想，充分體現了數學學科的特點。 筆者在問卷中提出“通過極限定義的學習，你認為從中體會到了以下哪些方面”的問題，并給予選項，表2 列舉了學生對所給選項的感受情況。 數據反映出通過極限概念的講授和分析，確實可以促進學生對哲學思想的挖掘和體會，強化學科特點的顯現，這對于提升學生思維品質不無裨益。

表2 學生對極限定義的理解和認識

3. 學生對數學學科特點的認知

表3 體現了學生對數學學科特點的認知。 從表中可見，學生對于數學的嚴謹性、抽象性、簡潔性、蘊含哲學思想、蘊含美感的認可程度普遍較高，經過多年數學課程的學習，學生對數學學科特征的認識比較清晰，個別特征上的感受略有不同。

圖1 將持有“認同”和“非常認同”觀點的數據進行匯總， 觀察學生對數學學科特點的認可程度?？梢灾庇^地看到，認可程度最高的是嚴謹性，認可程度相對較低的是簡潔有力和數學美。 可見有必要在教學過程中進一步通過實例融入數學之美，呈現數學的廣泛應用性，以促進學生對數學學科認識的多元化。

圖1 學科特點認知數據比較

4. 學生對數學學科與生活、專業關系的態度

表4 顯示了學生對數學學科與生活、專業關系的態度。 與學科特點調研中大多數學生表示認同或非常認同的統計結果不同，在數學與生活、專業、工作等方面關系的態度上， 有相當數量的學生持 “一般”態度。 這一結果反映出學生對數學課程的實用性認可度不高，也與學生群體中“數學無用論”的看法存在一定程度的吻合， 這必然導致學生學習動力和興趣的不足。 該結果提示，教師需要在課堂中注重傳遞數學對各學科的支撐及對個體未來生活和職業生涯發展的積極支持作用， 從學習動機角度去提高學生的學習意愿。

表4 學生對數學學科與生活、專業關系的態度

5. 學生學習數學課程的信心程度

圖2 體現了學生對數學課程學習的信心狀態。整體來看，大部分同學對課程的學習有一定程度的信心， 非常缺乏信心和缺乏信心的學生占比總計為15.17%。 這提示教師要注重引導，鼓勵學生更多參與課堂，課后加大對部分學生的指導，以增強學生對課程學習的信心。

圖2 學生學習數學課程的信心程度

上述調研數據體現出，通過將思政元素融入極限定義的教學中，可以較為恰當地處理知識、能力、情感態度和價值觀三者之間的關系，證實了微積分學課程思政的可行性與有效性。 調研數據也反映出學生對數學學科的認識和學習的信心，對于指導教學實踐具有參考價值。

綜上所述， 課程思政是落實立德樹人要求、實現“三全育人”的需要，也是學生德智體美勞全面發展的需要。 本文在理論分析與具體課程實踐的基礎上，以調研數據驗證了課程思政實踐的效果，從而得到以下啟示：作為大學教師，在教學實踐中，要持續深入挖掘思政元素，尋求思政元素與課程教學內容的有機結合，不斷提升教學水平，落實立德樹人根本任務。