在問題探究中發展數學運算能力

摘? 要：以一道解析幾何題的教學為例，通過問題研究促使學生主動思考，探究在問題的求解過程中如何探究運算思路，選擇運算方法，以及在實施運算過程中遇到障礙如何適當調整以便突破障礙，提高運算能力. 結合例題教學，思考總結了在教學中提高學生運算能力的幾個策略.

關鍵詞：運算方向；運算程序；運算能力

中圖分類號：G633.65????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0057-04

引用格式：周明芝. 在問題探究中發展數學運算能力：以一道解析幾何題的教學為例［J］. 中國數學

教育（高中版），2024（1）：57-60.

基金項目：北京市教育科學“十三五”規劃2020年度一般課題——高中數學實驗教學資源的開發和應用（CDDB2020263）.

作者簡介：周明芝（1973— ），女，高級教師，主要從事高中數學教學和實驗研究.

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學運算是解決數學問題的基本手段，是演繹推理和計算機解決問題的基礎. 運算包括對數字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形中各幾何量的計算求解，等等. 運算求解能力主要包括會根據法則或公式進行正確運算、變形和數據處理；能根據問題的條件尋找與設計合理、簡潔的運算途徑；能根據要求對數據進行估計和近似計算. 運算求解能力是思維能力和運算技能的結合. 在高中階段，學生通過數學課程的學習，要進一步發展數學運算能力，通過運算促進思維的靈活性、深刻性和創造性，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

如何提高學生的運算求解能力是一線教師需要持續探討的重要問題. 除了要掌握運算法則外，在問題的求解過程中如何探究運算思路、選擇運算方法是學生的主要難點所在. 而在實施運算過程中遇到障礙能適當調整以突破障礙，則是運算能力的重要體現.

二、案例探究

例? 已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1]過點[A-2，-1]，且[a=2b].

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）過點[B-4，0]的直線[l]交橢圓[C]于點[M，N]，直線[MA，NA]分別交直線[x=-4]于點[P，Q]，求[PBBQ]的值.

該題第（2）小題考查圓錐曲線中的一類定點定值問題，內涵豐富，解法多樣，注重對學生的基礎知識、基本技能及綜合運用知識解決問題能力的考查，對促進學生分析、解決問題的能力和運算能力有重要的作用. 在教學中，教師要深入挖掘、充分應用試題資源，創設合適的問題情境，從通性通法出發，引導學生進行深入探究，在理解運算對象的基礎上，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果. 下面談談在解決第（2）小題時，教師如何通過問題設計引導學生進行探究.

1. 通法探究，合理設參，探索運算思路

通性通法指具有普遍性的數學解題方法，是對數學知識最高層次的概括與提煉，因此解決一類問題要注重對通性通法的探究，加強對數學思想方法的訓練. 第（1）小題容易求解，得到橢圓的方程為[x28+y22=1.]

畫出圖1輔助分析第（2）小題. 從要求的比值[PBBQ]出發分析，[PB]與[BQ]的取值分別隨點[M，N]位置的變化而變化，而點[M，N]的位置隨著直線[l]的變化而變化. 因此，直線[l]是刻畫問題的主元. 按照通法，構造過點[B]的直線方程，與橢圓的方程聯立，再構造直線[MA，AN，] 分別與直線[x=-4]聯立，得到點[P]和點[Q]的坐標，將坐標代入[PBBQ]后化簡即可.

問題1：如何設直線[l]的方程？

【設計意圖】根據定點的位置不同，可以設方程的不同形式. 每種形式有其特征及運用的情境，選擇不同的方程會有不同的解法. 合理選擇直線[l]的方程形式是進行后續探究的前提條件.

解法1：設過點B的直線方程為[y=kx+4]，與橢圓交于點[Mx1，y1]，點[Nx2，y2].

由[x28+y22=1，y=kx+4，] 得[4k2+1x2+32k2x+64k2-8=0].

由判別式[Δ=32k22-44k2+164k2-8=321-4k2>0，]

解得[-12

直線MA的方程為[y+1=y1+1x1+2x+2]，

將[x=-4]代入，得[yP=-x1+2y1+4x1+2].

同理，可得[yQ=-x2+2y2+4x2+2].

所以[yPyQ=x1+2y1+4x1+2 · x2+2x2+2y2+4]

[=2k+1x1+42k+1x1+2 · x2+22k+1x2+42k+1]

[=x1+4x1+2 · x2+2x2+4]

[=x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8].

故[PBBQ=yPyQ=x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8].

問題2：要化簡[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]，就是要找到[x1，x2]之間的聯系，湊出公因式. 怎樣尋找呢？

【設計意圖】在這類問題中，大多數情況下學生遇到的是能湊成[x1+x2]和[x1x2]的式子，然后代入求解即可. 但是在此題中出現了與以往經驗沖突的情況，此時就需要學生有靈活的轉化能力，能夠通過調整運算來突破遇到的障礙.

解決路徑1：要想求出[PBBQ]的值，就需要式子[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]能約分. 對比分子和分母的差異，發現可以從尋找[x1]與[x2]的關系入手.

由方程[4k2+1x2+32k2x+64k2-8=0]，得

[x1+x2=-32k24k2+1]，[x1x2=64k2-84k2+1=64k24k2+1-84k2+1].

所以[x1x2+8=-2x1+x2-84k2+1+8=-2x1+x2+]

[32k24k2+1=-3x1+x2].

所以[x1x2=-3x1-3x2-8].

代入上式，得[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8 =][-x1+x2x1-x2=1].

所以[PBBQ=1].

解決路徑2：分式[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]及兩根和、積的關系式中有[x1]，[x2]，[k]三個字母，要能達到約分的目的，需要減少未知數的個數，所以可以進行以下代換.

[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8=64k2-84k2+1+2x1+4-x1-32k24k2+1+864k2-84k2+1+4x1+2-x1-32k24k2+1+8=][-32k2-8k2x1-2x18k2x1+2x1+32k2=1].

解題感悟：[x1+x2]和[x1x2]的關系式，本質上是[x1]，[x2]，[k]三個量之間的聯系，故通過兩個關系式總可以把其中的一個量用另外兩個量表示出來，進而減少未知數的個數，達到約分的目的.

問題3：考慮到問題的解決主要依據點[P]和點[Q]的縱坐標，且直線[l]過定點[-4，0]，故可以選擇另外一種直線方程形式[x=my-4]，這樣會給運算帶來什么改變呢？

解法2：設過點[B]的直線為[x=my-4]，點[Mx1，y1]，點[Nx2，y2].

由[x28+y22=1，x=my-4，] 得[m2+4y2-8my+8=0].

直線MA的方程為[y+1=y1+1x1+2x+2]，

將[x=-4]代入，得[yP=-x1+2y1+4x1+2].

同理，可得[yQ=-x2+2y2+4x2+2].

所以[PBBQ=yPyQ]

[=x1+2y1+4x1+2 · x2+2x2+2y2+4=my1+2y1my1-2 · my2-2my2+2y2]

[=m+2y1my1-2 · my2-2m+2y2]

[=my1y2-2y1my1y2-2y2].

因為[y1+y2=8mm2+4]，[y1y2=8m2+4]，

所以[y1+y2y1y2=m]，即[y1=my1y2-y2].（也可以由[y1+][y2=8mm2+4=m · 8m2+4=my1y2]直接得出[y1=my1y2-y2].）

所以[PBBQ=][my1y2-2my1y2+2y2my1y2-2y2][=-my1y2+2y2my1y2-2y2=][my1y2-2y2my1y2-2y2][=1].

解題感悟：可以看出，解法2的運算過程比解法1簡化了一些. 這是由于從命題的結論來看，需要研究點[P]和點[Q]的縱坐標之間的關系，而且直線[l]經過[x]軸上的定點，所以將過點[B]的直線方程設為[x=my-4]. 因此，在計算路徑的選擇上，不僅要關注對題目條件的分析，還要注意對題目結論的剖析. 兩者聯系，才能合理探究運算方向，巧妙設計運算過程，提高運算的合理性和簡潔性.

2. 數形結合，拓展思維，優化運算方法

解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何圖形的性質. 在分析和求解的過程中，學生要具有“動手嘗試、探索實踐”的能力并掌握“先猜后證”的基本研究方法.

問題4：對直線[l]的特殊位置進行觀察、實驗（如[k=0]時），你能有什么發現嗎？

問題5：探求出所求比值為1后，原命題可以進行等價轉化嗎？

追問：可以等價轉化為什么樣的結論呢？

【設計意圖】數形結合，通過特殊值驗證，猜想一般結論，再進行推理證明，有助于整體把握問題的本質.

此題中，探求出所求比值為1后，可以證明原命題的等價命題[yP+yQ=0]，利用兩根和、積的齊次式，結合根與系數的關系進行求解.

解法1：設過點[B]的直線方程為[y=kx+4]，

則[yP+yQ=-x1+2y1+4x1+2-x2+2y2+4x2+2]

[=-2k+1x1+2x2+22x1x2+6x1+x2+16]

[=][-2k+1x1+2x2+22×64k2-84k2+1+6×-32k24k2+1+16]

[=][-2k+1x1+2x2+24k2+1128k2-16-192k2+164k2+1]

[=0].

解法2：設過點[B]的直線方程為[x=my-4]，

則[yP+yQ=-x1+2y1+4x1+2-x2+2y2+4x2+2]

[=-m+2y1x1+2+m+2y2x2+2]

[=-m+2x1+2x2+2y1my2-2+y2my1-2]

[=-m+2x1+2x2+22my1y2-2y1+y2]

[=-m+2x1+2x2+22m×8m2+4-2×8mm2+4=0.]

解題感悟：分析幾何特征有利于簡化抽象的代數運算，是解析幾何中突破思維難點的重要途徑. 構造齊次式“設而不求”是解析幾何運算的一種基本方法，該方法可以化繁為簡. 齊次化體現了數學中的對稱美和和諧美. 探究和選擇運算思路是數學運算的關鍵. 上述問題分析的過程，基于確定直線基本量的條件，通過把握問題的本質，等價轉化，明確算理，合理選擇運算路徑，最終達到優化運算的目的.

優化運算的重點和難點是合理選擇運算路徑，在探究過程中通過層層深入的問題設計讓學生充分體會合理選擇直線方程的形式，以及設直線后能否整體代換，達到運算優化的效果.

3. 變式探究，深度理解，培養運算能力

例題的價值不只停留在知識的鞏固、解法的探究上，還可以圍繞關鍵條件或結論進行一題多變及拓展推廣，有利于培養學生思維的靈活性，提升學生的運算能力.

問題6：基于對以上問題的探究，你能根據題目的條件或結論提出新的問題并求解嗎？提問的出發點是什么？

變式1：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1]過點[A-2，-1]，且[a=2b].

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）若直線[l]交橢圓[C]于點[M，N，] 直線[MA，NA]分別交直線[x=-4]于點[P，Q]，[PB=BQ]. 直線[l]是否經過[x]軸上的定點？若過定點，求出該點坐標；若不過定點，說明理由．

變式2：已知橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的一個頂點為[A0，1]，離心率[e=63]．

（1）求橢圓[E]的方程；

（2）過點[P-3，1]作斜率為[k]的直線與橢圓[E]交于不同的兩點[B，C]，直線[AB，AC]分別與[x]軸交于點[M，N]. 設橢圓的左頂點為[D]，求[MDMN]的值.

【設計意圖】在例題中，由于直線[x=-4]的特殊性，點[B，M，N]三點共線，故可以探究其逆命題，求直線過定點. 也可以將[y]軸上的點改為[x]軸上的點進行變式探究，還可以研究題目中四條直線斜率之間的關系，進行進一步的變式探究.

三、對數學運算能力培養的思考

數學運算指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養. 在教學中要注意以下幾個方面.

1. 精心探索運算思路，設計運算過程，提高運算的合理性和簡潔性

對于數字的計算、估值和近似計算，式子的組合變形與分解變形，幾何圖形中幾何量的計算求解，無論哪種運算，都要先理解運算、掌握運算律. 在運算時，還要探索運算的不同思路，進行分析、比較，選擇運算步驟少、變形簡單、運算量小的解題方案. 另外，還要注意抓住問題的本質進行等價轉化，提高運算的合理性和簡潔性.

2. 靈活運用數學思想方法，化繁為簡，優化運算方法和運算過程

解析幾何的基本思想是用代數的眼光看待幾何問題，在解析幾何中培養學生的數學運算素養需要培養學生“以形助算”的意識和“以算知形”的眼光．借助圖形的幾何特征分析圖形間的關系，通過圖形中蘊含的背景幫助學生從“形”的角度突破思維難點，使運算方法和運算過程得到優化．

3. 重視運算思維過程，通過體驗和反思，獲得運算經驗

提高運算能力的關鍵是思考算理，判斷運算的方向，掌握一些運算的方法. 在教學中，教師需要讓學生親身體驗、思考，進行經驗總結. 因此，在解題教學中要讓學生積極參與整個數學運算思路的探索過程，使學生有體會、有感悟、有收獲、有創新，最終優化運算思維，提升運算素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］朱瀟，李鴻昌. 從數學運算素養的內涵，談運算能力的培養［J］. 中學數學，2018（1）：57-59.

［3］辛民. 高三學生數學運算能力的現狀調查、分析、思考與建議［J］. 中學數學，2017（21）：29-32.