尋思路 凝通法 提素養

余鵬 賀建銘

摘要：初中數學的學習應該重視數學結果的形成過程，為此教師需要改變“滿堂灌”的觀念.課堂教學的目的不是教會學生這道題怎么解，而是讓學生經歷探索解答的過程，歸納多種解法的共性，掌握解決這一類問題的解題思路，提煉解題的通法，最終達到提升學生素養的目的.

關鍵詞：解題思路；通法；素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：重視數學結果的形成過程，處理好過程與結果的關系.因此，在課堂教學中，教師應該“放下”自身的主體地位，扮演好組織者、引導者的角色，讓學生通過不斷的思考，嘗試獨立解決問題.只有學生真正經歷過思考探究的過程，才能更加深刻地體會到數學學習帶來的成就感，才能更有效地助推素養的提升.下文中，筆者以一道幾何題為例，具體闡述在解題教學中如何教學生尋思路、凝通法、提素養.

1 題目呈現

題目 如圖1，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC=.

2 尋思路

本題以矩形為背景，作矩形一個直角的角平分線，其實已經暗含了45°角，學生很容易得到△ABE是一個等腰直角三角形.同時題目指出EF是∠BED的角平分線，學生又可以得到∠EFD=22.5°.再觀察條件，給出了AB=9，DF=2FC，又能進一步得到AE=AB=9，DF=6，CF=3.基于以上信息求BC的長度.

2.1 見角平分線，構建等腰三角形

題目的解答，要給學生獨立思考和自主解答的機會，同時讓學生嘗試講解，在這個過程中潛移默化培養數學素養.這道幾何題的教學中，教師可以引導學生對題目進行分析，求BC的長度其實就是求DE的長度.由BE平分∠ABC，可以得到△ABE是等腰三角形，類比遷移，EF平分∠BED，能不能也得到一個等腰三角形？引發學生思考，圖形中隱藏的等腰三角形在哪里，怎么去構造.學生會順其自然地聯想到“角平分線+平行線”模型，進一步思考并嘗試解決這個問題.通過尋思路，可以得出以下兩種構建等腰三角形的解法.

解法1：如圖2，延長EF交BC的延長線于點G.由題可得△BEG是等腰三角形，即BE=BG且DF=6，CF=3.又因為△DEF∽△CGF，DE∶CG=2，于是設CG=x，所以DE=2x.又因為△ABE是等腰

解法2：如圖3，過點F作FG∥BC分別交AB，BE于點G，H.可以得到△BGH是直角邊為3的等腰直角三角形，△HEF是等

2.2 見角平分線，作垂直

繼續引導學生思考，EF是∠BED的角平分線，角平分線除了構建等腰三角形外，還有什么用途.學生立刻想到教材中角平分線的性質定理.通過角平分線的性質定理，順其自然就能聯想到作垂直[1].如圖4，

過點F作PF⊥BE于點P，交DA于點Q，

但是只能得到△PEF≌△DEF，∠DFQ=45°，依然無法求出BC的長.啟發學生∠DFQ=45°很重要，要充分利用這個條件，所以要圍繞該角構建等腰直角三角形DFQ.再次讓學生思考和解決問題.

解法3：（角平分線作垂直法）如圖4，過點F作FP⊥BE，分別交BE，AD于點P，Q.易得△PEF≌△DEF，所以∠DFQ=45°，即△DFQ和△PEQ都是等腰直角三角形.因此PQ=PE=ED=QF-PF=62-6，則BC=AE+ED=6+3.

2.3 尋特殊角，構建特殊的直角三角形

初中幾何問題，還有一種非常重要的解題思想，即圍繞特殊角構造直角三角形.比如，圖形中有30°或45°角時，可以構造含30°或者45°的直角三角形.這道題中有22.5°，不是一個很特殊的角，但是它與45°存在倍數關系.那么，能不能構造倍角來解答這道題？

其實22.5°也可以看成一個比較特殊的角，如果能夠求出tan 22.5°的值.這道題就變得更簡單了.如何求tan 22.5°的值？基礎好的學生很快就會給出如下過程.如圖6，△MNP是等腰直角三角形，在NP的延長線上取一點Q，使得PQ=MP，則tan ∠MQN即為所求.

3 凝通法

選取題目的目的本身就是促進學生對知識的強化和靈活運用，一題多解顯然能夠有效達到這個目的.以上五種解法復習了矩形的性質、角平分線性質定理、等腰直角三角形性質與判定定理、等腰三角形性質與判定定理、三角函數，以及相似三角形的性質和判定定理等.題目解法講完后的總結更為重要，比如，可以讓學生將這五種解法分類，然后找出每一類解法的共性.通過分類，可以發現這道題本質是兩種思維：①“角平分線+平行線”構造等腰三角形法（解法1和解法2）；②本題中有已知的角度22.5°，所以構造特殊的直角三角形法（解法3～5）.這就是多解歸一，它是對教材知識的升華，讓學生真正明白這些解法在解題思路上是有共性的，而這種共性恰好就是以后解決此類問題的關鍵.

4 解題反思

作為一線教師，要與時俱進.在教學中，我們的目標要從教學生“學會”，轉變為學生“會學”.要想達到這樣的教學目的，課堂教學方式就需要轉變.

第一，在教學中滲透類比遷移思想.比如，在解法5中，當學生求出tan 22.5°的值時，讓學生類比剛才的解法，嘗試著求tan 15°的值，其目的就是滲透類比遷移的思想，發展學生的核心素養.

第二，一節好課，教學思路需要精心設計，教學中的題目也要用心挑選.當一道數學題涉及到的知識不夠全面時，可以通過一題多變來完善和強化所學的知識體系.同時，在課堂中滲透解題的通法，讓學生能夠從“會一題”到“會一類”.比如，在解法2中，再次進行變式，追問線段HF，DE，FD三者之間有何數量關系，滲透證明一條線段等于兩條線段和的常用方法.通過這種不斷的變式，一節課的知識體系會變得越來越完善.

第三，教學時，讓學生在解決問題的過程中深度體會模型思想[2]，有利于發展學生的核心素養.數學核心素養的一個重要內涵就是會用數學的思維思考現實世界，那么教學中培養學生的模型觀念就很重要.上文的解題教學中就滲透了一些解題模型，比如“角平分線＋平行線”模型、截長法模型、出現角平分線作垂直模型、倍角模型等.

第四，教學活動要凸顯學生的主體地位，讓學生在“知行合一”中促進素養落地.教師作為課堂的組織者、引導者，要引導學生在正確理解的基礎上，自己動手實踐去解決問題，讓他們在這個過程中體驗思維的來路、分析的思路、解答的出路，激發他們對數學的求知欲和興趣，增強學習信心，體現數學的育人價值.

參考文獻：

[1]趙霞.例析“角平分線”在思路探究中的作用[J].中學數學，2022（16）：61-62.

[2]蒲厚金.二次函數框架中平行四邊形的存在性問題[J].中學數學教學參考，2021（8）：47-51.